积分变换二章12节ppt课件

1、第二章第二章 LaplaceLaplace变换变换2.1 Laplace2.1 Laplace变换的概念变换的概念2.2 Laplace2.2 Laplace变换的性质变换的性质2.3 Laplace2.3 Laplace逆变换逆变换2.4 2.4 卷积卷积2.5 Laplace2.5 Laplace变换的应用变换的应用2.1 Laplace变换的概念变换的概念1 问题的提出2 Laplace变换 存在定理3 典型例题1.问题的提出定定义义于于 ，而而不不必必考考虑虑时时取取值值的的函函数数；绝绝对对可可积积的的条条件件太太强强。许许多多简简单单函函数数的的傅傅氏氏变变换换或或者者不不存存在在

2、，或或者者为为非非常常义义下下的的广广义义函函数数给给应应用用带带来来很很大大的的不不方方便便。(1)0),0(2)t 对于任意一个函数),(t使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？能否经过适当地改造 因而因而, 几乎所有的实用函数几乎所有的实用函数j(t)乘上乘上u(t)再乘再乘上上e-bt后得到的后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存傅氏变换都存在在. 首先将首先将j(t) j(t) 乘上乘上u(t), u(t), 这样这样t t小于零的部小于零的部分的分的函数值就都等于函数值就都等于0 0了了. . 而大家知道在各种函数中而大家知道在各种函数中, 指数函数指数函数ebt (

3、b0)的上升速度是很快的了的上升速度是很快的了, 因而因而e-bt下降的下降的速度也速度也是很快的是很快的.tf (t)Otf (t)u(t)e-btO对函数对函数j(t)u(t)e-bt(b0)取傅氏变换取傅氏变换, 可得可得j( )( ) ( )eedttGt u tt (j)00( )ed( )edtstf ttf tt 其其中中j,( )( ) ( )sf tt u t若若再再设设( )jsF sG 则则得得0( )( )edstF sf tt 定义定义 设函数设函数f(t)f(t)当当t t0 0时有定义时有定义, , 而且积分而且积分是是一一个个复复参参量量0( )ed()stf

4、tts 0( )( )ed(2.1)stF sf tt 在在s s的某一域内收敛的某一域内收敛, , 则由此积分所确定的函数可写则由此积分所确定的函数可写为为称此式为函数称此式为函数f(t)的的Laplace变换式变换式(简称拉氏变换式简称拉氏变换式), 记记为为F(s)= f(t)F(s)称为称为f(t)的的Laplace变换变换(或称为象函数或称为象函数). 而而f(t)称为称为F(s)的的Laplace逆变换逆变换(或象原函数或象原函数)记为记为f(t)= -1F(s)注注：的的变变换换，实实际际上上就就是是的的变变换换。( )(0)( ) ( )tf t tLaplacef t u t

5、 eFourier 例例1 1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数的的变变换换00( )10tu tLaplacet . .0 ( )edstu tt 解解: : 根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, , 有有这个积分在这个积分在Re(s)0时收敛时收敛, 而且有而且有011ede.0ststtss 1 ( )(Re( )0)u tss 1u ts所以例例2 2 求指数函数求指数函数f(t)=ektf(t)=ekt的拉氏变换的拉氏变换(k(k为实为实数数).).根据根据(2.1)(2.1)式式, , 有有()00 ( )e ededktsts k tf ttt()011e(Re( ).s k ts

6、ksksk 其实其实k为复数时上式也成立为复数时上式也成立, 只是收敛区间为只是收敛区间为 Re(s) Re(k).1ktesk 2.2.拉氏变换的存在定理拉氏变换的存在定理 若函数若函数f(t)f(t)满足满足: :(1). (1). 在在t t0 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段连续; ;(2). (2). 当当t t时时, f(t), f(t)的增长速度不超过某一指的增长速度不超过某一指数函数函数数, , 即存在常数即存在常数M0M0及及c c0, 0, 使得使得|f(t)|f(t)|Mect, 0Mect, 0ttc上一定存在上一定存在, 右端的积分在右端的积分在Re(s

7、)c1c 上绝对收敛而且一致收敛上绝对收敛而且一致收敛, 并且在并且在Re(s)c的半平面内的半平面内, F(s)为解析函数为解析函数.例例3 求求 f(t)=sinkt (k为实数为实数) 的拉氏变换的拉氏变换.0sinsinedstktktt jj01(ee)ed2jktktstt (j )(j )00jeded2sk tsk ttt (j )(j )00j112jjsk tsk teesksk22j112j(R ( )0)je sksksksk 解：解： 22sinkktsk 同理可得同理可得0coscosedstktktt jj01(ee)ed2ktktstt (j )(j )001e

8、ded2sk tsk ttt (j )(j )001112jjsk tsk teesksk221112jj(Re( )0)sskskssk 22cossktsk 000ttt u ttt 解：解： 0011( )0sts tstttedtteedtss 21( )( )ttu ts 例例5 5 求单位斜坡函数求单位斜坡函数 的的LaplaceLaplace变换变换例例4 4 求单位脉冲函数求单位脉冲函数d(t)d(t)的拉氏变换的拉氏变换. .0 ( )( )edstttt 0( )ede1ststttt 解：解： 1t 21 0 Re ss例例6 求函数求函数f(t)=e-btd(t)-be

9、-btu(t)(b0)的拉氏变换的拉氏变换.0 ( )( )edstf tf tt 0e( )e( )edttsttu tt ()()00( )ededststttt ()()0ee0ststts 1sss 解：解： 在今后的实际工作中, 我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换, 有现成的拉氏变换表可查, 就如同使用三角函数表, 对数表及积分表一样. 本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录II(P149)中, 以备查询.例例7 求求sin 2t sin 3t的拉氏变换的拉氏变换.解解j2j2j3j31sin2 sin3(ee)(ee):4tttttt j5jjj51(e

10、eee)4tttt 11111sin2 sin3 45jjj5jttssss 2222122124251(25)(1)sssssss 也可查附录也可查附录IIII的公式的公式(20)(20)得到得到. . 2.2 Laplace变换的性质变换的性质1 1 线性性质线性性质2 2 微分性质微分性质3 3 积分性质积分性质4 4 位移性质位移性质5 5 延迟性质延迟性质 本讲介绍Laplace变换的几个性质, 它们在Laplace变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求Laplace变换的函数都满足Laplace变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统

11、一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件.1. 线性性质线性性质 设设1( )F s 1( )ft 2( )ft2( )F s , 为常数则为常数则1212( )( )( )( )f tftF sF s 11212( )( )( )( )F sFsftft 那么一般地一般地, ( )( )(0) ()ftsF sfRe sC ( ),F s ( )f t假设假设 ( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsff 特别地特别地, ,当当(1)(0)(0)(0)(0)0nffff 时, ( )( )( )nnfts F s 可以证明可以证明 ( )( )nnts

12、此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.2. 微分性质1象原函数的微分性质00( )( )eded( )ststftfttf t 00e( )( )deststf tf t 0(0)( )edstfsf tt 证证 根据分部积分公式和根据分部积分公式和LaplaceLaplace变换公式变换公式( )( )(0) (Re( )f tsF sfsc 即即 s ( )(0)f tf ( )( )( 1)nnFs ( ),Re( )nt f tsc 假假设设( )F s 那那么么 ( )tf t从而 ( )( )tf tFs ( ),F s ( )f t 1( )( )

13、Fstf t 一般地, ( )0( )( )nnstndFsf t edtds 00( ( )( )()nstnstndf t edtf ttedtds 2象函数的微分性质象函数的微分性质()( ),Re( )ntf tsc 例例1 1 利用微分性质求函数利用微分性质求函数f(t)=cos ktf(t)=cos kt的拉氏变换的拉氏变换. .220cos(Re( )sktssk解解: :由于由于f(0)=1, f (0)=0, f (t)=-k2cos kt, f(0)=1, f (0)=0, f (t)=-k2cos kt, 那那么么 -k2cos kt= f (t)=s2 f(t)-sf(

14、0)-f (0).即即-k2 cos kt=s2 cos kt-s移项化简得移项化简得例2 求函数 sintkt解解 因为因为 同理同理, 2222222cosdssktktdssksk 22sinkk tsk所以所以, 222222sindkkstktdssksk 例例3 3 求求 的的LaplaceLaplace变换变换m m为正整为正整数）。数）。 mf tt 10000由由于于而而,!mmfffftm ()mft mtsmfms!mm 1! ;u tms 一方面一方面 另一方面另一方面 ；mt110!(Re).mmss mt1!ms mt3. 积分性质积分性质01costtdts 假假

15、设设0( )( )tF sf t dts 那那么么( ),F s ( )f t（1象原函数的积分性质象原函数的积分性质 一般地一般地000 1( ) ( )tttnn dtdtf t dtF ss 次次 如如 求求 的的Laplace变换变换. 0costf ttdt 221111cossts ss 且积分且积分 收敛收敛假假设设( ) ( )sf tF s dst 那那么么( ),F s ( )f t（2象函数的积分性质象函数的积分性质 一般地一般地 ( ) ( )nsssn f tdsdsds F st 次次 ( )sF s ds 证明证明:0( )( )stssF s dsf t edt

16、 ds 0( )stsf t eds dt 0( )stsef tdtt 0( )stef tdtt = = ( )f tt推论推论假假设设那么( ),F s ( )f t且积分且积分 收敛收敛 ( )sF s dssintt00( ) ( )f tdtF s dst例例4 4 求求 解解: : 因为因为 21sin1ts 所以所以 2sin1 arctanarctan21sstdsssts 2000sin1 arctan21tdtdssts 顺便可得顺便可得sinarctan2tst 例例5 5 求函数求函数sh( )tf tt的拉氏变换的拉氏变换. . 211shts 211sshtdst

17、s 11111ln21121sssdssss 11ln21ss 因为因为由积分性质由积分性质4.位移性质位移性质假设 ( )f t( ),F s a为实常数为实常数, ,那么那么 ( )()ate f tF sa 证明证明 0( )( )atatstef tef t edt ()0( )s a tf t edt ()F sa 例例6 6 求求 的拉氏变换的拉氏变换. . sinatf tekt解解 因为因为 22sinkk tsk 所以所以 22sin()a tkektsak 5.5.延迟性质延迟性质假设 ( )f t( ),F s0t为非负实常数为非负实常数, ,那么那么 00 ()( )s

18、tf tteF s 010( )()steF sf tt或或 函数f (t-t)与f (t)相比, f (t)从t = 0开始有非零数值.而 f (t-t)是从t =t 开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t. 从它的图象讲, f (t-t)是由f (t)沿 t 轴向右平移t 而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)例例7 7 求函数求函数001() ()tbu tbbtb的拉氏变换的拉氏变换解解 因为因为 1( )( ) u tF ss所以所以 1() sbu tbes证明证明 000 ()()stf ttf ttedt00000()()tststtf ttedtf

19、 ttedt000()( )u t ts u tf u edu令令 000( )( )ststsuef u edueF s例例8 8 求函数求函数2( )sin3tf ttet 的拉氏变换解解 因为因为 23sin39ts 所以所以2sin3tet 23(2)9s 2sin3ttet 23413dds ss22612(413)sss例例9 9 求如图所示的阶梯函数求如图所示的阶梯函数f(t)f(t)的拉氏变的拉氏变换换. .0( ) ( )()(2 )()kf tA u tu tu tAu tktttf(t)4A3A2A1AOtt2t3t解解: : 利用单位阶跃函数利用单位阶跃函数u(t)u(t)可将可将f(t)f(t)表示表示为为一般地一般地, , 假设假设00()kkf tkt()f tkt f(t)=F(s), 则对于任