第一换元积分法ppt课件

1、第二讲第二讲 第一换元积分法第一换元积分法 内容提要内容提要 1.第一类换元积分法的分析；第一类换元积分法的分析； 2.第一类换元积分法的运算和熟悉；第一类换元积分法的运算和熟悉； 3.基本积分表。基本积分表。 教学要求教学要求 掌握并能熟练运用第一类换元积分法。掌握并能熟练运用第一类换元积分法。 一、第一类换元法一、第一类换元法22cos2)(sinxxx dxxx2cos2Cx 2sin我们知道我们知道所以所以dxxx)(cos22 22cosdxx Cx 2sin定理定理1 ,)()(CuFduuf设设具具有有连连续续的的导导数数，)(xu .)()()(CxFxdxf 则则 duuco

2、sCu sin2xu 这里这里 dxxx2cos2证明：证明： )(uF)()()(xuFxF )()(xuf )()(xxf 的的一一个个原原函函数数，是是即即)()()(xxfxF dxxxf)()( 从从而而.)()()(CxFxdxf 即即 ,)()(CuFduuf设设具具有有连连续续的的导导数数，)(xu .)()()(CxFxdxf 则则定理定理1由复合函数的求导法则由复合函数的求导法则,)(uf，CxF )( ,)()(CuFduuf设设具具有有连连续续的的导导数数，)(xu .)()()(CxFxdxf 则则指出：指出：.,1公公式式仍仍然然成成立立换换成成中中间间变变量量变变

3、量量把把基基本本积积分分公公式式中中的的自自可可知知由由定定理理ux )3(3xdex例例,3Cex )(ln)cos(lnxdx0102应用定理应用定理1的思路如下：的思路如下：)()(xdxf dxxg )(恒等变形恒等变形.)(CxF )(xu 代代换换duuf )(CuF )()(xu 回回代代熟练之后，虚框部分可省略熟练之后，虚框部分可省略.定理定理1Cx )sin(ln? dxx7)32(例例1 1 求求解解 dxx7)32()32()32(7 xdx31 duu731Cu 8241Cx 8)32(241)()(xdxf dxxg )(恒等变形恒等变形.)(CxF )(xu 代代换

4、换duuf )(CuF )()(xu 回回代代21 dxex212 求求例例解解 dxex21)21(21 xdexCex 2121.121dxx 求求解解dxx 121)12(12121 xdxduu 121Cu ln21.12ln21Cx 练习练习例例3 3 求求dxxx sincos 解解dxxx sincos )(sin)(sin21xdx Cx 23)(sin32dxxx ln1求求例例4 4解解dxxx ln1)(lnln1xdx Cx lnln例例5 5 xdxtan求求解解 xdxtandxxx cossin)(coscos1xdx Cx |cos|ln类似地，得类似地，得Cx

5、xdx |sin|lncot.)ln21(1. 1dxxx 求求解解dxxx )ln21(1)ln21(ln21121xdx .|ln21|ln21Cx 练习练习.ln41dxxx 求求例例6 6 解解dxxx ln41)ln41()ln41(21xdx 41 Cx 23)ln41(61.2sin. 2 xdx求求解一）解一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 解二）解二）解三）解三）a1 dxaxa 22

6、)(111)()(1112axdaxa dxxa 221例例7 7 求求解解dxxa 221dxxa 221求求解解dxxa 221dxaxa 2)(11)()(112axdax Cax arcsin)0( a)0( a练习练习Caxarctg 例例8 8 求求.122dxxa 解解dxxa 221221xa axaxaxaxa21)()()( a21 dxxaxaa)11(21 )(1)(121xadxaxadxaa xaa (ln21Cxaxaa ln21类似可推出：类似可推出：dxax 221Caxaxa ln21)11(xaxa )lnxa C 例例9 9 求求解解xdx 2cosxd

7、x 2cosdxx 22cos1)2cos(21 xdxdx dx(21x(21 )2sin21x C )22cos21 xxd例例10 10 求求xdxx 32cossin解解xdxx 32cossinxdxxxcoscossin22 )(sin)sin1(sin22xdxx )(sin)sin(sin42xdxx )(sinsin)(sinsin42xxdxxd x3sin31 x5sin51 C .cossin52 xdxx求求 xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.s

8、in71sin52sin31753Cxxx 说明说明:当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项解解练习练习去凑微分去凑微分. xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxCxx cos1cos1ln21.|tansec|lnsec Cxxxdx例例11 11 求求 xdxcsc解解dxxa 221Cxaxaa ln21Cxx cotcscln类似可推出：类似可推出： xdxcscCxx cotcscln.2cos3cos xdxx例例12 12 求求),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos21

9、2cos3cos.5sin101sin21Cxx 解解例例13 13 求求dxexx121 解解dxexx121 xdex11Cex 1例例14 14 求求解解dxxx )1(12dxxx )1(12dxxxxx )1(1222dxxxx 211 dxx1|ln x dxxxdxx 211Cx )1ln(212)1(1122xdx 21 ;|cos|lntan)14( Cxxdx;|sin|lncot)15( Cxxdx;|tansec|lnsec)16( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)17( Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa 我们把它作为公式使用：我们把

10、它作为公式使用：;arcsin1)20(22Caxdxxa 在上面的例题中有些函数的不定积分今后经常用到，在上面的例题中有些函数的不定积分今后经常用到，;ln211)19(22Cxaxaadxxa 例例15 15 求求解解.12dxxx dxx 221411 21214112xdxCx )12arcsin(Cx 2121arcsin原式原式;arcsin122Caxdxxa 例例16 求求.3212dxxx 解解dxxx 3212dxx 4)1(12)1(4)1(12 xdxCxx 31ln41;ln21122Caxaxadxax Cxx 2)1(2)1(ln41 求求.25812dxxx 解

11、解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx 49)4(12 xdxCaxadxxa arctan1122练习练习dxxxx 2212172求求例例解解dxxxx 223222dxxxx 22222dxxx 22132)22(22122 xxdxx 2)1(113x)22ln(2 xxCx )1arctan(3dxxxx 22122)1( xd练习练习小结：小结：用凑微分法求不定积分，用凑微分法求不定积分，第一换元积分法第一换元积分法.11dxex 求求解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 的恒等变换的恒等变换.（凑微分法）（凑微分法）有时也要结合代数或三角有时也要结合代数或三角).(cos)(sin. 12xfxxf，求求已已知知 解解xxf2cos)(sin 因因为为xxdxdxfsincossin)(sin2 所所以以xxdxdxfsincossin)(sin2 xdxxf sin)sin1()(si