第三讲函数的连续性ppt课件

1、医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、函数的连续性一、函数的连续性第四节第四节 函数的连续性函数的连续性三、连续函数的性质三、连续函数的性质医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室0,xxx 自变量的增量0 xxx)(xfy xoy0 xxxy0( )f xx设在的某领域内有定义一、一、 函数连续性函数连续性0( )()yf xf x 函数的增量：0f x f x00()()fxxfx 负增量指改变量，可正可医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室0lim0 xy 00000000 ( ) - ()-(),lim0 ( )continuit

2、y) ( )xyf xxxxx xyf xxf xyyf xxxf x 定义1.9 设函数在 的某领域内有定义，当 点给自变量以增量，相应的函数的增量如果 ，则称函数在 点连续（，并称点 为函数的连续点。0)()(lim000 xfxxfx 000lim()xxxxxfxfx 医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室可见 , 函数)(xf在点0 x0000001.10 ( ) ( )() lim( )(), ( ).xxyf xxxxf xf xf xf xf xx定义设函数在 点的某一个邻域内有定义，若当时，函数的极限存在且等于，即则称函数在 点连续(1) )(xf在点0 x即)(0 x

3、f(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件:存在 ;有定义 ,存在 ;医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室（2假设)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上延续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 0fxx（1）函数在 处连续的充要条件是：说明： 00limxxf xf x左连续 00limxxf xf x右连续 0limxxf x0f x 0 lim xxf x)(xf)(xf)(xf医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)

4、(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点discontinuous point） 在无定义无定义 ;医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室间断点分类间断点分类: :000lim()lim( )xxxxfxfxx， 称为 可 去 间 断 点 ；00lim( )lim( )xxxxf xf x及中，至少一个不存在，0 x若 其 中 有 一 个 为， 称为

5、 无 穷 间 断 点 ；第一类间断点第一类间断点:00lim( )lim( )xxxxf xf x及均存在，第二类间断点第二类间断点:000lim()lim( )xxxxfxfxx， 称为 可 跳 跃 间 断 点 .0 x若其中有一个为振荡，称 为振荡间断点医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室xytan) 1 (为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin02xk医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(2

6、1xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室定理定理. 连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续三、连续函数的性质三、连续函数的性质定理定理1.3. 在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差差 , 积积 ,连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .如如,如如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).在 1 , 1

7、上也连续单调递增.递增(递减递减)也连续单调1. 连续函数的运算医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室 0000000 ( )lim( )(); () ( )lim( )()xxxxuxxxxxyf uuxyfxxxfxfx定理1.4若函数，当 时连续即函数在相应点连续，则复合函数当 时连续，即000000lim lim( )()(lim )xxxxxxxxxf xf xfx注：由函数在一点 处连续定义及有即 连 续 函 数 的 极 限 符 号 与 函 数 关 系 符 号 可 以 交 换 次 序 000lim( ),xxxuyf uu若函数在 点连续， 00lim(limxxxxfxfx

8、医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室10limcos(1)xxx 例 求极限1100: limcos(1) =cos lim(1)xxxxxx解=cose0log (1)lim.axxx例 1.24 求10lim log (1)xaxx解 ： 原 式ealogaln1,0ae x说明：当时)1ln(xx医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室01lim.xxax例求1,xta解：令log (1),axt则0limlog (1)tatt原式aln,0ae x说明：当时1xex01 lim xxex练 习 :(1) (2) limxaxaeexa1lim xaaxaeexa01 lim

9、=taatexateet令医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而2.基本初等函数的连续性医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室xoyab)(xfy 123.闭区间上连续函数的性质 Th1.5 , a bfxMm（最值定理） 闭区间上的连续函数在该区间上必能取到最大值和最小值 2 .说明：（1）若函数在开区间上连续，（ ）在

10、闭区间内有间断点，结论不一定成立mM医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室 , ( )xa bf xk因此当时，bxoya)(xfy 12mM由定理 1.5可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设( ) ,f xa b,)(Mxfm有max,0kmM取 , a bfx推论 闭区间上的连续函数一定有界医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室 ( ) , ( )

11、( ), ( ,)( )f xa bf aAf bB ABCABa bfCTh1.6 （介值定理）设函数在闭区间上连续且，为 与 之间的任意一个值，则，使得Abxoya)(xfy BC ( ) ,( ) ( )0 ( ,) ,( )0.f xC a bf a f ba bf推论且使xyoab)(xfy 医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室例例. 证明方程证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然显然32( )410,1,f xxxx,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423阐明阐明:,21x,0)(8121f内必有方程的根

12、;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有那么那么医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室,4,0)(上连续在闭区间xf练习：13xex至少有一个不超过 4 的 证：证：证明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理 , )4,0(,0)(f使原命题得证 .)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根 .医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数

13、的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续阐明阐明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.作业：作业：P19 23 24P19 23 24医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室第一章第一章 习题课习题课一.内容小结二.典型题目解答医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室一.内容小结1. 初等函数的定义 分段函数不是初等函数2.极限概念极限过程反映了自变量向某一目标趋近的过程中因变量的变化趋势.任何有极限的变量都可以表示为其极限值与一个无穷量之和.医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室 两个重要极限 0sin

14、(1)lim1Cc(2)lim ( 1)e C0 lim (1)Ce或3.函数连续的定义 一切初等函数在其定义区间上都是连续的.4.几个关系函数在一点有无极限与在此点的函数值无关；函数在一点连续不仅要求函数在此点有定义，而且在此点的极限必须存在且等于在此点的函数值.医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室;_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx010二、课后典型题目解答（一）填空0sin4. lim xxx10tan25. lim sin5xxx；25医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室01sin1lim1 cosxxxx补充02

15、sinlim2 sin1sin12xxxxxx原 式 （ ）2202sin1lim2sin1sin1xxxxxxx1医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室20arcsinarctan lim.2xxxx补充arcsin ,sintxxt解：令则；001limlim2sintantststs原式arcsin xxarctan,tansxxs令则；001111limlimsintan22tststsarctan xx医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室上连续，综上：函数在其定义域20医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室医用高等数学医用高等数学数学教研室数学教研室计算下列极限.24aaaaaxxaaxxxxxeeexaxaxaxa