线性代数第三章课件

1、1第一节第一节 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质2一一、特征值和特征向量的概念、特征值和特征向量的概念则称：则称： 是矩阵是矩阵 A 的的特征值特征值；定义定义 1 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果存在数阶矩阵，如果存在数 和非零向量和非零向量 x,使得使得xAx x 是是 A 的对应于的对应于(或属于或属于)特征值特征值 的的特征向量特征向量.3(3) 由于由于 亦可写成齐次线性方程组亦可写成齐次线性方程组 xAx OxEA )( 说明说明(1) 特征值问题是对方阵而言的；特征

2、值问题是对方阵而言的；因此，因此，使得使得 有非零解的有非零解的 值都是矩值都是矩阵阵 A 的特征值的特征值.OxEA )( 即，即，使得使得 的的 值都是矩阵值都是矩阵 A 的特征值的特征值.0 EA (2) 特征向量特征向量 x O；4定义定义 2 设设 n 阶矩阵阶矩阵 ，记，记)(ijaA )(Af 212222111211nnnnnnaaaaaaaaa E 则，则， 称为称为 A 的的特征多项式特征多项式；称为称为 A 的的特征矩阵特征矩阵.称为称为 A 的的特征方程特征方程； AE EA 0 EA 5(1) 求特征值求特征值 ，就是求特征方程，就是求特征方程 的根；的根；0 EA

3、(2) 有有 n 个根个根 (其中有些根可能相同其中有些根可能相同)，0 EA 其中的其中的 k 重根也称为重根也称为 k 重特征值重特征值.(4) 特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量可能是复向量.说明说明（3）A 的属于特征值的属于特征值 0 的全体特征向量是：的全体特征向量是： 的解集中除零向量外的全体解向的解集中除零向量外的全体解向量量.OxEA )(0 6定理定理3.13.1是是A A的属于的属于 特征值的特征向量的特征值的特征向量的充分必要条件充分必要条件是是为为 特征方程的根，特征方程的根，设设 为为 阶矩阵阶矩阵, ,ij

4、aAn0000)det(EA0)(0XEA则则 是是A A的特征值，的特征值，是齐次线性方程组是齐次线性方程组的非零解（向量）。的非零解（向量）。注：注： 如果如果 是是A A的特征值，常称之为的特征值，常称之为A A的特征根的特征根；07由定理由定理3.13.1，有，有0)0(c0c推论推论1 1 如果如果 是是A A的属于特征值的属于特征值 的特征向量，的特征向量，则对任意常数则对任意常数 ，也是也是A A的属于特征值的属于特征值 的的特征向量。特征向量。且且 ，则，则21,0021210推论推论2 2如果如果都是都是A A的属于特征值的属于特征值 的特征向量，的特征向量，也是也是A A的

5、属于特征值的属于特征值 的特征的特征向量。向量。 为数值。为数值。k,210)0(2211kkccc0kccc,21推论推论3 3 如果如果都是都是A A的属于特征值的属于特征值 的特征的特征向量，向量， 则则也是也是A A的属于特征值的属于特征值的特征向量，的特征向量， 其中其中8求矩阵全部特征值、特征向量的步骤求矩阵全部特征值、特征向量的步骤 )det(EA第一步第一步 对给定下的矩阵对给定下的矩阵 ，计算特征多项式计算特征多项式 ; ;A0)det( EAn,21第二步第二步求出特征方程求出特征方程 中的全部根中的全部根( (即即A A的全部特征值，其中可能有重根的全部特征值，其中可能有

6、重根或成对出现、重数相同的复数根或成对出现、重数相同的复数根););( (它就是它就是 的属于特征值的属于特征值i0)(XEAiAiisii,21Ai第三步第三步 对每一个特征值对每一个特征值 , , 求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组的一个基础解系的一个基础解系的极大无关的特征向量组的极大无关的特征向量组) ), ,由此可求出由此可求出 的属于的属于)0(2211issiiccckccc,21的全部特征向量的全部特征向量 ，其中其中为数值为数值. .9例例 1 1 求矩阵求矩阵 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多项式为的特征多项式为2)(1(2 2

7、01034011 EA令令 ，得，得 A 的的 3 个特征值个特征值：(单重特征值单重特征值)21 (二重特征值二重特征值)132 0 EA 10将特征值分别代入将特征值分别代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )2(21 0010140132EA 000010001 r得基础解系得基础解系.1001 则，对应于则，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 .)0( 111 kk 21 11 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )(132 101024012EA 000210101 r得基础解系得基础解系.1212 于是，对应

8、于于是，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为132 )0( 222 kk 12二二、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质13如果如果 A 是是 n 阶对角阵或上阶对角阵或上(下下)三角阵，三角阵，那么，那么，A 的特征值就是其的特征值就是其 n 个主对角元个主对角元.证证 设对角矩阵设对角矩阵 A 的主对角元为的主对角元为 ，nnaaa , , ,2211)()(2211 nnaaa上式亦为上上式亦为上(下下)三角阵的特征多项式，故有同样结论三角阵的特征多项式，故有同样结论. 2211 nnaaaEA则，特征多项式为则，特征多项式为令令 ，可得对角阵的特征值就是其主对角元，可得对

9、角阵的特征值就是其主对角元.0 EA 14定理定理3. 2 A 和和 AT 的特征值相同的特征值相同 (即特征多项式相同即特征多项式相同).说明说明 A 和和 AT 的特征向量不一定相同的特征向量不一定相同.例如，例如， 皆有二重特征值皆有二重特征值 ， 1101 ,1011121 10 ,01kk但它们相应的特征向量分别为但它们相应的特征向量分别为)0( k证证TEA)( 因此，因此， A 和和 AT 有完全相同的特征多项式有完全相同的特征多项式. 证毕证毕EAEAT EAEATT )(TTEA)( EAT 15是它的任一特征值都不等于零。是它的任一特征值都不等于零。nA定理定理3.33.3

10、阶方阵阶方阵可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件则则 ，假定假定 不可逆，不可逆，于是于是n0detA证明：证明： 必要性必要性： 设设A阶方阵阶方阵可逆，可逆， 则则 ，0)det()det()0det(AAEA的任一特征值都不为零。的任一特征值都不为零。AA即即0 0不是不是 的特征值，的特征值，亦即亦即于是于是AA0detA充分性充分性：设设的任一特征值都不为零，的任一特征值都不为零，0)det()det()0det(AAEAAA这表明这表明0 0是是 的特征值，的特征值， 与已知条件矛盾。与已知条件矛盾。故故 必然可逆。必然可逆。16例例 3 3 求矩阵求矩阵 314020112 A的

11、特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多项式为的特征多项式为2)(2(1 314020112 EA(单重根单重根)11 (二重根二重根)232 令令 ，得，得 A 的的 3 个特征值个特征值：0 EA 17将特征值分别代入将特征值分别代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )(11 414030111EA 000010101 r得基础解系得基础解系.1011 则，对应于则，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 .)0( 111 kk 11 18 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )2(232 11400011

12、42EA 000000114 r得基础解系得基础解系.401 ,11032 则，对应于则，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为)0 ,( 323322不同时为不同时为kkkk 232 19性质性质 1 设设 0 是矩阵是矩阵 A 的特征值，的特征值， 是是 A 的属于的属于 0 的的特征向量，则特征向量，则 k 0 是是 kA 的特征值的特征值 (k 是任意常数是任意常数)； 是是 的特征值的特征值 (m 是正整数是正整数)；m0 mA 设一个设一个 k 次多项式次多项式 ，011)(axaxaxkkkk 则，则， 是矩阵是矩阵 A 的的 k 次多项式次多项式 的特征值；的特征值；)(0

13、)(A 若若 A 可逆，则可逆，则 是是 的特征值；的特征值；10 1 A并且，并且， 仍然是以上仍然是以上中中这些矩阵的分别属于这些矩阵的分别属于特征值特征值 的特征向量的特征向量. 10000 ),( , , fkm20特征向量总是相对于特征值而言的，特征向量总是相对于特征值而言的，一个特征向量一个特征向量不能同时属于不同的特征值不能同时属于不同的特征值. 说明说明两式相减两式相减O )(21由于由于 ，则有，则有 .021 O 这是不可能的这是不可能的 (与与“特征向量是非零向量特征向量是非零向量”矛盾矛盾) 21AA即即假设假设 同时是属于特征值同时是属于特征值 1, 2 ( 1 2)

14、 的特征向量的特征向量,21线性无关。线性无关。Anm,21A)( nm m,21Am,21m,21定理定理3.43.4设设是是阶方阵阶方阵, ,是是 的个彼此不同的特征值，的个彼此不同的特征值，分别是分别是 的的属于属于 的特征向量，的特征向量，则则个彼此不同的特征值，个彼此不同的特征值，属于属于 的线性无关的特征向量组，的线性无关的特征向量组，Anm,21A)( nm iisii,21Ai), 2 , 1(mi111211,s,222221s定理定理3.53.5设设是是 阶方阵阶方阵, ,是是的的是是的的则则mmsmm,21是线性无关向量组。是线性无关向量组。22定理定理 矩阵矩阵 A 的

15、属于的属于 k 重特征值的线性无关的特征向重特征值的线性无关的特征向量的最大个数不超过量的最大个数不超过 k .即，如果即，如果 是矩阵是矩阵 A 的一个的一个 k 重特征值，属于重特征值，属于 的的线性无关的特征向量的最大个数为线性无关的特征向量的最大个数为 l，则，则 l k .0 0 23n 阶矩阵阶矩阵 A 的主对角元之和，称为的主对角元之和，称为 A 的迹的迹记作记作 tr(A).定理定理 3.6 设设 n 阶矩阵阶矩阵 的的 n 个特征值为个特征值为 ,)(ijaA 则，则，n ,21)(tr221121Aaaannn An 21说明说明故,21nA若若 ，则，则 A 至少有一个特

16、征值等于零至少有一个特征值等于零.0 A若若 ，则，则 A 的特征值全为非零数；的特征值全为非零数；0 A24例例 2 2 已知已知 11 yxA的的 2 个特征值为个特征值为 ，解解4 , 221 求求 (1) x, y；(2) ；(3) 的秩的秩.EA2 EA3 (1) 816)tr(2121 xyAyxA 33yx(2) 2 是一个特征值，故是一个特征值，故02 EA(3) 3 不是特征值，即不是特征值，即 ，03 EA2)3( EAR故是故是 满秩矩阵，满秩矩阵， .EA3 25小结小结1. 求求 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值和特征向量的步骤的特征值和特征向量的步骤：(1) 求求矩阵

17、矩阵A 的特征多项式的特征多项式 ；EA (2) 求特征方程求特征方程 的的 n 个根，个根，0 EA 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值；n , , ,21(3) 对特征值对特征值 ，解非齐次线性方程组，解非齐次线性方程组它的所有非零解都是对应于它的所有非零解都是对应于 的特征向量的特征向量. OxEAi )( i i 2. 特征值和特征向量的特征值和特征向量的 性质和性质和5 个定理个定理.263.2 3.2 相似矩阵与矩阵对角化的条件相似矩阵与矩阵对角化的条件 一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件 27例例1 1 0011B 0001A

18、可逆1011P 一、一、相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质1*1PPP1121122211AAAA1011AB 1011 0001 1011B1101110011001PAP如果存在如果存在n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P,P, 定义定义3.3 3.3 设设A,BA,B是是n n 阶矩阵阶矩阵, ,成立成立, ,则称矩阵则称矩阵A A与与B B相似相似, ,使得使得 AB1PAPB记为记为28则则 。4291,2543BABA设设 ，例例2 2使得使得2543A2111P对对 解：解：存在存在可逆矩阵，可逆矩阵，21112543111221112543211111APPB42912111681011

19、所以所以 。BA29有有: :1514Q对于可逆矩阵对于可逆矩阵 ，CAQQ700215142543151411于是于是 。CA说明：说明：与矩阵A相似的矩阵不是唯一的，也不全是 对角矩阵。302. 相似矩阵的性质相似矩阵的性质 A 和和 B 等价的充要条件：等价的充要条件：存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P, Q，使得，使得BPAQ 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P，使得，使得 A 和和 B 相似的充要条件：相似的充要条件：BAPP 1可见，相似关系也是一种等价关系，故有如下性质：可见，相似关系也是一种等价关系，故有如下性质： 反身性：反身性：A A； 对称性：若对称性：若 A B，则，则 B A；

20、传递性：若传递性：若 A B，B C，则，则AC性质性质 131具有相同的特征值。具有相同的特征值。BABA,定理定理3.73.7设设 ，则矩阵则矩阵具有相同的特征多项式，具有相同的特征多项式，证明：证明： BABAPP1)(det()det()det(11PAEPAPPEBE)det(det)det()det(1AEPAEP这表明矩阵这表明矩阵 具有相同的特征多项式，具有相同的特征多项式，BA,从而具有相同的特征值。从而具有相同的特征值。说明：说明：相似矩阵的特征向量不一定相同。相似矩阵的特征向量不一定相同。例如，例如， 互为相似矩阵，互为相似矩阵， 2001 ,1002令令P=P(1,2)

21、即可证明它们相似即可证明它们相似它们的特征值皆为它们的特征值皆为 ，但属于，但属于 的特的特征向量则分别为：征向量则分别为：2 , 121 01 ,10kk)0( k11 32其中其中 为正整数。为正整数。BAmmBA定理定理3.83.8设设 ，则则 , ,m有有BA,1BAPPm)()()(1111APPAPPAPPAPPBmm证明：证明：对任意为正整数对任意为正整数 ，PAPPAPPAPPAPPPm11111)(所以所以mmBA33除上述性质外，相似矩阵还具有以下性质：除上述性质外，相似矩阵还具有以下性质：若若 , ,则则 . .BABA （1 1）BA)()(BrAr（2 2）若若 ,

22、,则则 ，即相似的矩阵即相似的矩阵有相同的秩有相同的秩. . 有有 。BABA,11BA（3 3）若若 , ,则则具有相同的可逆性，具有相同的可逆性， 可逆时可逆时34二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件 定义定义就称就称 可以对角化可以对角化. .为为 阶矩阵阶矩阵, , 若若 可以相似于一个对角阵可以相似于一个对角阵 , ,AnAA设设对角阵对角阵称为称为 的的相似标准形相似标准形A矩阵。矩阵。例如例如 例例2 2中的矩阵有相似标准形的。中的矩阵有相似标准形的。注：并非所有矩阵都有相似标准形存在。注：并非所有矩阵都有相似标准形存在。35条件是条件是个线性无关的特征向量个线性无关的特

23、征向量. .nAnAn定理定理3.93.9阶矩阵阶矩阵相似于相似于阶对角阵阶对角阵的充分必要的充分必要有有证明：证明：可以对角化可以对角化. .nAnAAA推论推论阶矩阵阶矩阵如果有如果有 个不同的特征值个不同的特征值, ,则则 可以对角化可以对角化. . 即如果即如果 的特征多项式无重根的特征多项式无重根, ,则则36i定理定理3.103.10 n n阶矩阵阶矩阵A A与对角矩阵相似的充分必要条与对角矩阵相似的充分必要条件是对于件是对于A A的每一个的每一个n ni i重特征值重特征值 ，特征矩阵，特征矩阵 的秩为的秩为n-nn-ni i。)(AEi37矩阵可对角化的矩阵可对角化的范例范例

24、例例2 2 对矩阵对矩阵 ，324202423A83， T)2, 1, 2(3属于属于8 8的特征向量为的特征向量为121特征值特征值（二重），（二重），属于属于 的线性无关特征向量为，的线性无关特征向量为， 1TT) 1, 0, 1(,)0, 2, 1(2138根据定理根据定理3.103.10知知 该矩阵可以对角化。该矩阵可以对角化。 ，210102211),(321P取取。8111APP则则根据定理根据定理3.103.10知该矩阵不可对角化。知该矩阵不可对角化。100320111A12123T)0, 0, 1 (1T)0, 1, 1 (3例例3 3 对矩阵对矩阵特征值特征值（二重）（二重）

25、属于属于1 1的的线性无关特征向量线性无关特征向量为为属于属于2 2的特征向量为的特征向量为39应满足的条件。应满足的条件。0011100yxAyx,例例4 4 设矩阵设矩阵可相似于一个对角矩阵，可相似于一个对角矩阵，试讨论试讨论) 1() 1(01110)det(2yxAE解：解： 矩阵矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为11132特征值为特征值为 ，（二重），（二重），系数矩阵的秩为系数矩阵的秩为1 1。 A0)(XAE由由 可相似于一个对角矩阵知可相似于一个对角矩阵知属于属于1 1的线性无关特征向量的线性无关特征向量应有两个。应有两个。于是，于是， 对应齐次线性方程组对应齐次线性方程组

26、40由由000001011010101xyyxAE0 yx知必有知必有 ，应满足的条件。应满足的条件。Ayx,这是所给矩阵这是所给矩阵 可相似于一个对角矩阵可相似于一个对角矩阵41解解例例 5 5 设矩阵设矩阵 163053064 A(1) A 是否能对角化？若能，则求出可逆矩阵是否能对角化？若能，则求出可逆矩阵 P，使，使得得 成为对角阵成为对角阵 ；(2) 求求 (m为正整数为正整数).APP1 mA 212 所以，所以，A 的全部特征值是的全部特征值是. 2 , 1321 163053064EA(1)42将特征值分别代入将特征值分别代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 当

27、当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )(121 063063063 EA 000000021 r得基础解系得基础解系.100 ,01221 (二重特征值有两个线性无关的特征向量二重特征值有两个线性无关的特征向量)43 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )2(23 3630330662 EA 000110101 r得基础解系得基础解系.1113 (单重特征值有一个线性无关的特征向量单重特征值有一个线性无关的特征向量)44 , 110101102,321 P令令, 211),(321 diag由于：每个特征值的重数由于：每个特征值的重数 = = 属于该特征值的线性无属于该特征值的线

28、性无关的特征向量的最大个数关的特征向量的最大个数(也可以说，也可以说，3 阶矩阵有阶矩阵有 3 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量)故，矩阵可对角化故，矩阵可对角化 .则有则有. 1APP 注意，注意，P 中的列向量和中的列向量和 中的特征值的位置要对应中的特征值的位置要对应.45(2) 求求 (m为正整数为正整数)mA1 PPAmm, 110101102 P, 0211210111 P, ) 2(11mm其中其中得，得， 1)2(210)2(110)2(22111mmmmA463.3 3.3 实对称矩阵特征值和特征向量实对称矩阵特征值和特征向量一、一、 实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵

29、特征值的性质二、二、 实对称矩阵对角化方法实对称矩阵对角化方法47实数域上的对称矩阵简称为实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵实对称矩阵。定理定理 3.12 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。一、一、 实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵特征值的性质说明：进一步地，实对称矩阵的特征向量都是实向量。说明：进一步地，实对称矩阵的特征向量都是实向量。（证明略）48定理定理3.13 实对称矩阵实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量的属于不同特征值的特征向量相互正交。相互正交。对上面第一式两边左乘对上面第一式两边左乘 ，的特征向量。的特征向量。 12A1212证明：证明：设设 ，是实对称

30、矩阵是实对称矩阵 的不同特征值，的不同特征值，分别是属于特征值分别是属于特征值 ，) 0(1111A) 0(2222AT2于是于是，得到得到 （3.12）12112TTA而而122122121212)()()(TTTTTTAAA于是有于是有121T0)(1221122TT这样，由这样，由 得到得到 21012T21是正交的。是正交的。，即，即与与49324202423A例例1 1 实对称矩阵矩阵实对称矩阵矩阵 和和 对应特征对应特征向量向量121），1 , 0 , 1 - ( , ) 0 , 21 - (T83的特征值的特征值 （二重）对应的特征向量（二重）对应的特征向量正交。正交。T) 2

31、, 1, 2 (50定理定理3.14设设A A为为n n阶实对称矩阵，则存在阶实对称矩阵，则存在n n阶正交阵阶正交阵Q Q，使，使为对角阵为对角阵. .AQQAQQT1（证明略）推论推论 实对称矩阵实对称矩阵k重特征值恰有重特征值恰有k个线性无关个线性无关的特征向量。的特征向量。51二、二、 实对称矩阵对角化方法实对称矩阵对角化方法具体步骤如下具体步骤如下:根据定理根据定理3.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。任意一个实对称矩阵都可以对角化。其中其中 为为 重的，重的，求出求出 A 的所有特征值的所有特征值 ,0)det( AEAm,21iinnnnnm21第一步第一步对给定实对称矩阵对

32、给定实对称矩阵 ， 解特征方程，解特征方程，；对每个对每个 ,i0)(XAEiiinii,21), 2 , 1(mi第二步第二步解齐次线性方程组解齐次线性方程组求出它的一个基础解系求出它的一个基础解系 ；正交化得到正交向量组正交化得到正交向量组 ， iinii,21iinii,21第三步第三步 利用施密特正交化方法将利用施密特正交化方法将52iinii,21iinii,21), 2 , 1(mi再把再把 单位化，单位化， 得到一个得到一个标准正交组标准正交组 ， ；为正交矩阵，且则矩阵令QQmmnmnn),.,.,.,( 122111121第四步第四步),(2122111 mnmmnnTdiagAQQAQQ应与应与Q Q的列向量组（的列向量组（特征向量特征向量）的排列顺序）的排列顺序相对应相对应。 注意注意： 对角矩阵主对角线元素（对角矩阵主对角线元素（特征值特征值）的排列顺序）的排列顺序53142412222AQAQQ1例例2 对矩阵对矩阵求一正交阵求一正交阵 ,使使成对角矩阵。成对