第三章1不定积分ppt课件

1、(Advanced Mathematics) M yz x0 不定积分不定积分习题课习题课( (一一) )第三章第三章 一元函数积分学及应用一元函数积分学及应用l 原函数与不定积分原函数与不定积分l 不定积分的积分方法不定积分的积分方法不定积分不定积分 基基本本概概念念 基本性质基本性质 常常用用积积分分公公式式) d)( xxf不不定定积积分分,( 原函数原函数; ,( 微分运算间关系微分运算间关系与求导与求导)线性可加性线性可加性法法分分积积 换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法有理函数的积分有理函数的积分)(凑微分法凑微分法, (三角代换三角代换 第第二二类类换换元元)倒倒代代换换四

2、四种种基基本本形形式式的的积积分分可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 第第一一类类换换元元 一、复习一、复习不定积分不定积分1 1、原函数、原函数定义定义 ),()( xfxF . )( )( 上的原函数上的原函数在区间在区间为为则称则称IxfxF , 上上若若在在区区间间 I , Ix 2 2、不定积分、不定积分(1) 定义定义.d)( xxf , 上上在区间在区间 I, )(上的不定积分上的不定积分在区间在区间 Ixf )(的所有原函数称为的所有原函数称为xf记记为为返回返回不定积分不定积分 xxgxfd)()(10 xxgxxfd)(d)(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的微

3、分运算与求不定积分的运算是互逆的. xxkfd)(20,d)( xxfk(3) 不定积分的性质不定积分的性质 )(d)(ddxfxxfx xxfxxfd)(d)(d CxFxxF)(d)( CxFxF)()(d. 0为常数为常数 k返回返回不定积分不定积分 Ckuukd)1( Cuuu1d)2(1 Cuuulnd1)3( Caauauulnd)4( Ceueuud)5(3 3、基本积分公式、基本积分公式 Cuuusindcos)6( Cuuucosdsin)7(返回返回不定积分不定积分 Cuuuucscdcotcsc )11( Cuuutandsec)8(2 Cuuucotdcsc)9(2 C

4、uuuusecdtansec )10( Cuuuarcsin1d )12(2 Cuuu arctan1d )13(2返回返回不定积分不定积分4 4、第一类换元法、第一类换元法 xxxfd)()( )(d)(xuuuf ,)( 具具有有原原函函数数设设xf ,)( 是可微函数是可微函数xu 则则(凑微分法凑微分法);d)( . 11xxxfnn ;d)( . 2xxxf常见类型常见类型:;d)(ln . 3xxxf;d)1( . 42xxxf返回返回不定积分不定积分;dcos)(sin . 5xxxf;d)( . 6xaafxx;dsec)(tan . 72xxxf;d1)(arctan . 8

5、2xxxf 5 5、第二类换元法、第二类换元法 )( 1d)()(d)(xttttfxxf ,)( 连续连续函数函数设设xf ,)( 具具有有连连续续导导数数tx 则则 ,)( 1存在且可导存在且可导xt 返回返回不定积分不定积分常用代换常用代换:.,)( . 1Rbatx 三角函数代换三角函数代换 . 2倒代换倒代换 . 36 6、分部积分法、分部积分法.dduvuvvu ,)( 22xaxf 如如.sin tax 令令.1 tx 令令返回返回不定积分不定积分7 7、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1有理函数的积分有理函数的积分四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;l

6、nd . 1CaxAaxxA ;)(1()(d . 21CaxnAaxxAnn 返回返回不定积分不定积分CqxqNpppMp 424222arctan xqpxxNMxnd)( . 42 xqpxxNMxd . 32qpxxM 2ln2 xqpxxNnMpd)(22 nqpxxxpxM)(d)2(22返回返回不定积分不定积分令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 uuxd12d2 xxxRd)cos,(sinuuuuuuRd1211,122222 (2) 三角函数有理式三角函数有理式的的积积分分 )cos,(sinxxR返回返回不定积分不定积分（3） 简

7、单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型讨论类型:),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法:作代换去掉根号作代换去掉根号. necxbaxt 令令; nbaxt 令令返回返回不定积分不定积分二、典型例题二、典型例题例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdttx )23(令令不定积分不定积分 dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx 123ln12tdt原式原式不定积分不定积分例例2 2解解.cos1)s

8、in1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 不定积分不定积分例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 不定积分不定积分例例4 4解解.1122 dxxxx求求,1 tx 方法一：令方法一：令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttd

9、dttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代换倒代换)不定积分不定积分dxxxx 1122 11222xxdxxxdx 222111xxdxxxdx其其中中121arcsin111Cxxxd 返回返回方法二：方法二：不定积分不定积分dttttttxxxdx tansectansecsec1222令令 2sincosCttdtCxxxdxxxx 11arcsin112221x12 x返回返回不定积分不定积分例例5 5解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201

10、ln2110Cxx 不定积分不定积分例例6 6解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则有则有 原式原式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 不定积分不定积分例例7 7解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 不定积分不定积分例例8 8解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(

11、32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 不定积分不定积分三、练习题三、练习题D( (一一) )选择题选择题的的一一个个原原函函数数，是是设设)( . 1xfex ）（则则 )(dxxxfcexAx )1()(cexBx )1()(cexCx )1()(cexDx )1()(A) ()( ),()( . 2 xdFxfxF则则若若CxFDCxfCxFBxfA )( )( )( )()( )( )( )(不定积分不定积分B,)( . 411 xxedxexf设设那那么么)()( xf

12、（A)（B)（D)（C)21x C21xx1 x1(A) (A) 有极限存在；有极限存在； （B B连续；连续；(C) (C) 有界；有界； （D D有有限个间断点有有限个间断点就可保证它的就可保证它的在某区间内具备了在某区间内具备了 ) ( )( . 3xf.原函数一定存在原函数一定存在不定积分不定积分B ,)2cos()( . 5cxxdxxf若若）为为（则则 )( xf)2sin(2cos)(xxxA )2sin(2)2cos()(xxxB )2sin(2sin)(xxxC )2sin(2sin)(xxxD B 1 ,2 . 6时时且且已知一个函数的导数为已知一个函数的导数为 xxy)

13、( , 2 则则这这个个函函数数是是 y. 1 )( ;2 )(; 1 )( ; )(222 xyDCxyCxyBCxyA不定积分不定积分DB ;11 (B) ; )(32dxxdxeAx7.下列积分能用初等函数表出的是（下列积分能用初等函数表出的是（ ）则则且且 , ,)()( . 8batxCxFdxxf ) ()( dttf.)( )( ;)( 1 )(;)( )( ;)( )(CbatFDCbatFaCCtFBCxFA ;ln (D) ;ln1 )(dxxxdxxC不定积分不定积分DC) ( ln . 92 dxxx;1ln1 )( ;1ln1 )(CxxxBCxxxA ) ( )14

14、( .1010 xdx;)14(1361 )( ;)14(191 )(99CxBCxA CxxxDCxxxC 1ln1 )( ;1ln1 )(.)14(1361 )( ;)14(1361 )(119CxDCxC 不定积分不定积分则则它它的的原原函函数数为为为为连连续续奇奇函函数数若若 , )( .11xfB不不一一定定非非奇奇非非偶偶偶偶奇奇 . . . .DCBA. )(函数函数不定积分不定积分 dxxx1 . 33Cxx 25665_)(,cos)(sin . 222 xfxxf则则设设Cxx 221( (二二) )填空题填空题 xxfxfd)2(,)( . 1 则则连连续续可可导导设设C

15、xf )2(21,)(cos . 4的一个原函数的一个原函数是是已知已知xfxx xxxxfdcos)( 则则Cxx 2)cos(21不定积分不定积分( (三三) ) 计算题计算题 dxx21 . 1求求 22)1( . 2xdx求求 xxx22cos2sind . 5求求 42tancos . 3xxdx求求 dxxex22)1(tan . 4求求不定积分不定积分xxxdsinlncot . 6 求求.d12 . 8243xxxx 求求 dxxxx)1(arctan . 9求求 )1( . 72xxeedx求求不定积分不定积分.)2(21Cxf xxfd)2(. 1解解：解答解答（二（二)

16、) 填空题填空题.1)( ,1cos ,sin . 222ttftxxt 则则则则设设Cttdtttf 2)1()( 2故故Cxxxf 2)( 2即即返回返回 )2d()2(21xxf不定积分不定积分 dxxxdxxx)(1 . 321613Cxx 25665Cxx 2)cos(21 xxdxxxxxxfcoscosdcos)(, )(cos . 4的一个原函数的一个原函数是是xfxx返回返回不定积分不定积分 )1(11 . 1 :222xxdxxdxx解解)1111(12222 dxxdxxxxx从中解出从中解出返回返回( (三三) ) 计算题计算题 dxxxxdxx2221121121Cx

17、xxx 221ln2112 dxxdxxxx2221111不定积分不定积分,sectan . 22tdtdxtx ，则则令令 dtttdtdttt22cos1cossecsec242则则原原式式返回返回 42tancos . 3xxdx )(tan)(tan41xdxCx 43)(tan34CxxxCtt )1(arctan21)2sin21(212Cxx )arctan2sin(41arctan21或或不定积分不定积分 dxxxex)tan21(tan22 xdxexdexxtan2)(tan22返回返回 dxxex22)1(tan . 4 dxxedxxexxtan2sec222 xdxexdxexexxxtan2tan2tan222Cxex tan2不定积分不定积分返回返回 xxx22cos2sind . 5 2tansec22xxdx 2tan)(tan2xxd.2tanarctan21Cx xxxdsinlncot . 6 xxsinln)sind(ln.sinlnlnCx 返回返回不定积分不定积分返回返回 )1( . 72xxeedx )1()1(1 222ttdtttdttte