江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期一模数学试卷

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密·启用前江苏省南京师范大学数学之友2021届高三下学期一模数学试卷题号一二三四总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1.已知全集U=AB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为AmnBm+nCnmDmn2.设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z等于（ ）A5B5C7D73.已知随机变量服从正态分布N2,2，且P4=0.8，则P02=（ ）A0.5B0.3C0.4D0.24.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的

2、南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2x2b2=1(a0,b0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）Ay=±3xBy=±33xCy=±xDy=±2x5.不等式x+2xx+22的解集为（ ）A,3222,+B,2222,+C,222+2,+D,2+22+2,+6.钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有

3、学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为7.87g/cm3，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（ ） A800,1200B1200, 1600C1600,2000D2000,24007.若sin+cos=tan02，则的取值范围是（ ）A0,6B6,4C4,3D3,28.已知

4、e是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，33，3ee3，ee，正确的个数为（ ）A0B1C2D3评卷人得分二、多选题9.设O0,0，A1,0，B0,1，点是线段AB上的一个动点，AP=AB，若OPABPAPB，则实数的值可以为（ ）A1B12C13D1410.若ab0，则下列不等式恒成立的是（ ）A1ab1aB1|a|1|b|C(a+1b)2(b+1a)2D(a+1a)2(b+1b)211.若直线y=2a与函数y=ax1（a0，且a1）的图象有两个公共点，则a的取值可以是（ ）A14 B13C12D212.设nN*，下列恒等式正确的为（ ）ACn1+Cn2+Cnn=2n1B1Cn

5、1+2Cn2+nCnn=n2n1C12Cn1+22Cn2+n2Cnn=nn+12n2D13Cn1+23Cn2+n3Cnn=4n32n1评卷人得分三、填空题13.在等差数列an中，a1=1，前n项和Sn满足S2nSn=4n+2n+1，n=1，2，则1S1+1S2+1S2021=_14.直线y=33x+2与圆D：x32+y12=3交与A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为_15.若函数fx=ax13+bx1+x1存在N*个零点，则所有这些零点的和等于_16.在锐角三角形ABC中，A=B3，BCAC,u，则的最小值为_评卷人得分四、解答题17.已知ABC中，D是AC边的中点，且BA=3；BC=7

6、；BD=7；A=60°.（1）求AC的长；（2）BAC的平分线交BC于点E，求AE的长.上面问题的条件有多余，现请你在，中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是_，请写出用剩余条件解答本题的过程.18.某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分下表是家长所打分数X的频数统计分数X5678910频数482024168（1）求家长所打分数的平均值；（2）若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”

7、的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？附：K2=nadbc2a+bc+da+cb+dPK2k00.100.050.010.005k02.7063.8416.6357.87919.如图所示，设正方体ABCDEFGH的棱长为1，J是棱EF的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿该正方体的表面直线型爬行一圈，蚂蚁首先爬到点J，然后在上底面EFGH爬行，再在右侧面爬行到点C，最后沿CA回到起点A，蚂蚁爬行一圈的封闭路径正好在平面内（1）求证：蚂蚁在上底面EFGH上爬行的路线l与AC平行；（2）求平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值20.如图所示，已知椭圆C：x2a2+y2b2=

8、1(ab0)的离心率为32，且过点P(2,1)，（1）求椭圆C的方程；（2）设Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过作两条直线分别交椭圆C于两点A，B，直线PQ平分APB，且直线AB过点R(1,0)，求四边形PAQB的面积21.对任意正整数m，n，定义函数fm,n如下：f1,1=1；fm+1,n=fm,n+2m+n；fm,n+1=fm,n+2m+n1（1）求fm,1的解析式；（2）设e是自然对数的底数，nN*，gn=fn,nen1，比较gn与en的大小22.设Mm,n为定点，A是抛物线C：y=x2上的一点，若抛物线在A处的切线恰好与A，M两点的连线互相垂直，则称点A为点M的“f伴点”（1）求抛物线

9、C的焦点F的“f伴点”；（2）设m0，问：当且仅当m，n满足什么条件时，点M有三个“f伴点”？试证明你的结论参考答案1.D【解析】因为(UA)(UB)=UAB所以AB=U(UA)(UB)，所以AB共有mn个元素，故选D2.A【解析】设出复数z的代数形式，利用复数相等求出z的实部与虚部的关系即可作答.设z=a+bi(a,bR)，则z2=(a+bi)2=a2b2+2abi，而z2=3+4i，于是a2b2=3ab=2，则a2+b2=(a2+b2)2=(a2b2)2+4a2b2=32+422=5，所以z=a2+b2=5.故选：A3.B【解析】利用正态分布密度函数的对称性将求P(02) 转化为P(24)

10、，进而可得结果.如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数图象关于直线x=2对称，所以P(2)=0.5，则P(02)=P(24)=P(4)P(2)=0.80.5=0.3.故选：B.4.B【解析】由y2a2x2b2=1(a0,b0)，设下焦点为0,c，渐近线方程为y=±abx，然后根据双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2求得ab即可.因为y2a2x2b2=1(a0,b0)，所以下焦点为0,c，渐近线方程为y=±abx，即 ax±by=0，则下焦点到ax±by=0的距离为d=bca2+b2=b=2，又因为e=ca=1+ba2=2，解得ba=3，即ab=

11、33，所以渐近线方程为：y=±33x故选：B5.B【解析】根据题意，分x2和x2两种情况去绝对值，然后再解一元二次不等式，即可求出结果.当x2时，x+2xx+22，可得x2+221x20,所以x22或x12，又x2，所以x22；当x2时，x2xx+22，可得x2+22+1x+20，解得x22或x12，又x2，所以x22；综上，不等式x+2xx+22的解集为,2222,+.故选：B.6.A【解析】由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，分别求出各个部分的体积即得解. 由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，长方体的体积：3×5×5=75；

12、三棱柱的体积：12×3×5×5=752；两个三棱锥的体积：2×13×12×3×5×52=252；所以几何体的体积为75+752+252=125，所以这只斧头的质量为7.87×125=983.75.故选：A7.C【解析】利用辅助角公式化简，结合正弦型函数的有界性和正切函数的单调性，得出选项sin+cos=2sin+4，当02时，此式的取值范围是1,2，而tan在0,4上小于1，故排除AB；在3,2上tan3，不可能相等，所以排除D，故选：C8.D【解析】构造函数fx=lnxx，利用导数判断fx的单调性，由此

13、判断不等式正确的个数.构造函数fx=lnxxx0，f'x=1lnxx2，所以fx在区间0,e上f'x0，fx递增；在区间e,+上f'x0,fx递减，由于e3，所以lneeln33ln，所以：lneeln333lneeln3lne3ln3e3ee3，lneelnlneelnlnelneee，ln33lnln33lnln3ln333，所以不等式正确的个数为3.故选：D9.ABC【解析】设出P点的坐标，结合OPABPAPB求得的取值范围.设Px,y，由AP=AB01得x1,y=1,1=,，所以x1=y=P1,，由OPABPAPB得1,1,1,1,1，1+11，21222,22

14、4+101221+22，由于01，所以1221.1,12,13122,1，所以ABC正确，D错误.故选：ABC10.AC【解析】根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.对于A选项, 由于ab0,故ab0,所以1ab1a=a(ab)a(ab)=ba(ab)0, 即1ab1a,故A选项正确;对于B选项, 由于ab0,故ab0, 1|a|1|b|=|b|a|a|b|=ab|a|b|0,故1|a|1|b|,故B选项错误;对于C选项, 因为ab0,故01a1b,所以0b+1aa+1b,所以(a+1b)2(b+1a)2,故C选项正确;对于D选项,令a=2,b=12,则a+1a=b+1b=52,所以(a+

15、1a)2(b+1b)2不成立,故D选项错误;故选:AC11.AB【解析】对a分类讨论，利用数形结合分析得解.（1）当a1时，由题得02a1,0a12，因为a1，所以此种情况不存在；（2）当0a1时，由题得02a1,0a12，因为0a1，所以0a12.故选：AB12.BC【解析】由二项式定理可得1+xn=Cn0+xCn1+x2Cn2+xnCnn，令x=1即可判断A；对式子两边求导后，令x=1即可判断B；对B中式子两边同乘x后再求导，令x=1即可判断C，对C中式子两边同乘x后再求导，令x=1即可判断D.解：由二项式定理可得1+xn=Cn0+xCn1+x2Cn2+xnCnn，令x=1可得Cn0+Cn

16、1+Cn2+Cnn=2n，所以Cn1+Cn2+Cnn=2n1，A不正确；对二项式定理式子两边求导可得n1+xn1=Cn1+2xCn2+nxn1Cnn，令x=1可得n2n1=Cn1+2Cn2+nCnn，故B正确；由B知n1+xn1=Cn1+2xCn2+nxn1Cnn，两边同乘x可得nx1+xn1=xCn1+2x2Cn2+nxnCnn，两边求导可得n1+xn1+nn1x1+xn2=Cn1+22xCn2+n2xn1Cnn，令x=1可得n2n1+nn12n2=nn+12n2=Cn1+22Cn2+n2Cnn，C正确；由C可得n1+xn1+nn1x1+xn2=Cn1+22xCn2+n2xn1Cnn，两边同

17、乘x可得,nx1+xn1+nn1x21+xn2=xCn1+22x2Cn2+n2xnCnn，两边求导可得，n1+xn1+nn1x1+xn2+2nn1x1+xn2+nn1n2x21+xn3=Cn1+23xCn2+n3xn1Cnn，令x=1可得Cn1+23Cn2+n3Cnn=n2n1+nn12n2+2nn12n2+nn1n22n3=n+nn12+nn1+nn1n242n1=n2n+32n3，D不正确；故选:BC.13.20211011【解析】根据已知条件求得d，由此求得Sn，利用裂项求和法求得所求表达式的值.依题意S2nSn=4n+2n+1，S2S1=4+21+1,a1+a2a1=3,2a1+da1

18、=2+d1=3，所以d=1，所以Sn=na1+nn12d=nn+12，所以1Sn=2nn+1=21n1n+1，所以1S1+1S2+1S2021=2112+1213+1202112022=2112022=20211011.故答案为：2021101114.43【解析】由题意，作出图象，结合直线的倾斜角，由三角形内角和定理求解.如图所示：直线y=33x+2的斜率是33，则倾斜角为6，则1=6,2=6+ ，因为AD=BD，所以1=2，所以6=6+，即+=43.故答案为：4315.【解析】构造函数g(x)=ax3+bx+x并讨论其奇偶性，再利用函数fx与g(x)的关系即可作答.函数g(x)=ax3+bx

19、+x，xR且x0，g(x)=a(x)3+bx+(x)=g(x)，即g(x)是其定义域上的奇函数，其图象关于点(0，0)对称，而fx=g(x1)，则fx图象可由g(x)图象右移一个单位而得，于是fx图象关于点(1，0)对称，因fx存在N*个零点且点(1，0)不在fx图象上，从而为偶数，设这个零点依次为x1,x2,x1,x，点(xi,0)与(xi+1,0)(iN,i)关于点(1，0)对称，即xi+xi+1=2(iN,i)，所以x1+x2+x1+x=2(x1+x)=.故答案为：16.332【解析】利用ABC为锐角三角形，求出角B的范围，再利用正弦定理求出BCAC的范围即可得解.因ABC为锐角三角形，

20、则0B320B20(2B3)2，解得512B2，由正弦定理得BCAC=sinAsinB=sin(B3)sinB=sinBcos3cosBsin3sinB=12321tanB，tan512=tan(4+6)=tan4+tan61tan4tan6=1+331133=2+3，tanB在(512,2)上递增，tanBtan512=2+3，01tanB23，则23BCAC12，依题意(23,12)(,)，即23,12，则12(23)=332，所以的最小值为为332.故答案为：33217.删去条件见解析；（1）2；（2）635.【解析】若删去，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删，在ABD中和ABC中分别

21、利用余弦定理建立关系可求解，再利用SABE+SACE=SABC可求AE的长；删，在ABD中，由余弦定理有cosADB=x2227x，在BCD中，cosCDB=x27，由cosADB=cosCDB求得x，利用SABE+SACE=SABC可求AE的长.删.（1）设AD=CD=x,BA=y，在ABD中，由余弦定理可得x2+y2xy=7，在ABC中，由余弦定理可得4x2+y22xy=7，联立方程解得x=1,y=3，所以BA=3,AC=2；（2）设AE=m，则由SABE+SACE=SABC得12×3msin30+12×2msin30=12×3×2sin60，解得m

22、=635；删，则在ABD中，由余弦定理有BD2=AB2+AD22ABADcosA，即7=9+AD26ADcos60，解得AD=1或AD=2，则AC=2或4，有2解，不满足题意；删，在ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC22ABACcosA，即7=9+AC26ACcos60，解得AC=1或2，有2解，不满足题意；删.（1）设AD=CD=x，在ABD中，由余弦定理有cosADB=BD2+AD2AB22BDAD=7+x2927x=x2227x，同理，在BCD中，cosCDB=x27，cosADB=cosCDB，x2227x=x27，解得x=1，AC=2；（2）设AE=m，则由SABE+SAC

23、E=SABC得12×3msin30+12×2msin30=12×3×2sin60，解得m=635.18.（1）395；（2）有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关【解析】（1）直接利用平均数公式求解；（2）先完成列联表，再利用独立性检验求解.解：（1）家长所打分数的平均值为X¯=180×5×4+6×8+7×20+8×24+9×16+10×8=395（2）填写列联表如下：男生女生合计自制力强183048自制力一般24832合计423880提出假设H0：“自制力强”与性别无

24、关，则K2=80×18×824×30242×38×48×3210.8277.879，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关19.（1）证明见解析；（2）13【解析】(1)正方体上下底面平行，由面面平行的性质即可得证；(2)以正方体的顶点A为原点，射线AB，AD，AE分别为x，y，z轴非负半轴建立坐标系，利用空间向量的坐标表示即可得解.（1）正方体ABCDEFGH中，平面ABCD/平面EFGH，平面平面ABCD=AC，平面平面EFGH=l，所以l/AC；（2）以A为坐标原点，射线AB，AD，AE分别为x、y、z轴非负半轴建立空

25、间直角坐标系，如图： 则A0,0,0，C1,1,0，J12,0,1，所以AC=1,1,0，AJ=12,0,1， 则平面ABCD的一个法向量为n1=AE=0,0,1，设平面的法向量为n2=x,y,z，则n2AC=0n2AJ=0，所以x+y=012x+z=0，取x=2，则y=2，z=1，即n2=2,2,1，设平面与平面ABCD所成的锐二面角为，则cos=cosn1,n2=|n1n2|n1|n2|=114+4+1=13，所以平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值13.20.（1）x28+y22=1；（2）15【解析】（1）由题知a2=4b2，4a2+1b2=1，进而解得a2=8，b2=2，即椭圆C

26、的方程为x28+y22=1；（2）根据题意，设AB：y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，进而与椭圆联立方程得x1+x2=8k24k2+1x1x2=4k284k2+1，再根据直线PQ平分APBkAP+kBP=0，进而化简整理得6k2+5k+19k21=0，解得k=12，x1+x2=1x1x2=72，进而得|y1y2|=12|x1x2|=152，最后计算四边形PAQB的面积S=12|PQ|y1y2|.解：（1）由离心率e=ca=a2b2a=32，得a2=4b2（*），由于点P(2,1)在椭圆C上，故4a2+1b2=1（*），联立（*）（*）得a2=8，b2=2，所以椭圆C的方程为

27、x28+y22=1（2）由直线AB过点R(1,0)，可设AB：y=k(x+1)，它与椭圆C的方程联立得(4k2+1)x2+8k2x+4k28=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8k24k2+1x1x2=4k284k2+1，因为直线PQ平分APB，所以kAP+kBP=0，即k(x1+1)+1x12+k(x2+1)+1x22=0，整理得2kx1x2(k1)(x1+x2)4(k+1)=0，将代入上式并化简得6k2+5k+19k21=0，所以k=12，所以x1+x2=1x1x2=72，所以|y1y2|=12|x1x2|=12(x1+x2)24x1x2=152，所以四边形PAQB的

28、面积S=12|PQ|y1y2|=12×4×152=1521.（1）fm,1=m2+m1；（2）gnen【解析】（1）由条件：fm+1,1fm,1=2m+1，逐一写出m=1,m=2，累加法可得fm,1f1,1，代入f1,1=1可得fm,1；（2）由（1）可知fm,1=m2+m1，再由条件，同样采取累加法计算fm,nfm,1，代入fm,1，可得fn,n=2n12.猜想gnen，做差比较可等价于n2n1en1，令hx=x2x1exx3，求导证明并补充说明x=1,x=2也成立即可.解：（1）由条件得fm+1,1fm,1=2m+1，所以，f2,1f1,1=2×2，f3,12

29、,1=2×3，fm,1fm1,1=2×m，将上述m1个等式相加，得fm,1f1,1=m2+m2，因为f1,1=1，所以fm,1=m2+m1（2）由条件得fm,nfm,n1=2m+n2，fm,n1fm,n2=2m+n3，fm,n2fm,n3=2m+n4，fm,2fm,1=2m，将上述n1个等式相加，得fm,nfm,1=2×n12m+n22=n12m+n2，因为fm,1=m2+m1，所以fm,n=n12m+n2+m2+m1=m2+2mn+n2m3n+1，所以fn,n=n2+2n2+n2n3n+1=2n12，所以gn=fn,nen1=2n1en1，所以gnen证明如下：gnen2n1en1enn2n1en1，易知，n=1时，n2n1en=1e1；n=2时，n2n1en=6e21；n3时，设hx=x2x1exx3，则h'x=2x2+5x1ex，因为2x2+5x1=2x542+178，所以当x3时，函数y=2x2+5x1单调递减，所以2x2+5x12×32+5×310，因此h'x0，所以hx=x2x1exx3是单调