10对数函数与幂函数

1、2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习第十课时对数函数与幂函数(1)高考要求：对数函数：B，幕函数：A复习目标：1、掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程2、对数函数的图象和性质，会解对数函数在生产实际中的简单应用3 、掌握幕函数的形式特征，能应用幕函数的图象和性质解决有关简 单问题。知识梳理1、对数恒等式：alogaNN换底公式：logaNlOg m N(a 0, a 0, m 0, m 1, N 0), logmalogab logba 1；logambn logab。m2、对数函数的图象与性质3、 幂函数(1) .幕函数的基本形式是y x，其中x是自变量， 是常数. 要

2、求掌握yx，y x2，y x3，y x1/2，y x1这五个常用幕函数的图象(2) .观察出幕函数的共性，总结如下：当0时，图象过定点 _ ；在(0,)上是函数.当0时，图象过定点 _ ；在(0,)上是函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近(3) .幕函数y x的图象，在第一象限内，直线x 1的右侧，图象由下至上，指 数 .课前练习1 函数 y= loga(x1)+ 2(a0，a 1)的图象恒过一定点是 _2._ 函数 y=寸 2Iog2x 的定义域是_113.设 2a= 5b= m，且1+_2，贝 Um=4.已知函数 f(x) = ln x， g(x)= lg x， h(x)

3、= log3x， 直线 y= a(av0)与这三个函数的交点的横坐标分别是X1， X2，X3，贝 U5.已知对数函数 f (x) (m22014 届启东市大江中学高三数学一轮复习X1，X2，X3的大小关系是m 1)log(m1)x,则f(27)例 1、求值:翥；(2)(lg 5)2+ lg 50 lg2; (3)隔 2+ logg2) (1og43+ logs3)2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习1例2、点(2,2)在幕函数f(x)的图象上，点(一2,4)在幕函数g(x)的图象上(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)问当x为何值时，有：g(x)vf(x):f(x)=g(x):f(x

4、)vg(x).例3、已知函数f(x)=loga(2ax)，是否存在实数a,使函数f(x)在0,1上是关于x的减函数, 若存在，求a的取值范围.变式：已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-务1-3上是单调递减函数.求实数a的取值范围例4、.已知f(x)=2+log3x,x1,9，求y=f(x)2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.当堂反馈1已知a=logo.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,贝Va,b,c的大小关系是 _22.求函数y log1(x x 2)的单调区间233已知函数 y=loga2(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，求 a 的取值

5、范围.2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习对数函数与幂函数(2)2例 5已知幕函数f(x)=xm 2m 3(m N*)的图象关于y轴对称，且在(0,+)上递减,mm求满足(a 1)空(32a)的a的范围.例 6.若 f(x) = x2 x+ b，且 f(log2a)= b, log2f(a) = 2(a0 且 1).(1)求 f(log2x)的最小值及相应 x 的值；若 f(log2x)f(1)且 log2f(x)vf(1)，求 x 的取值范围.练习：已知表中的对数值有且只有一个是错误的x35689lg x2a ba+ c 11 + a b c 3(1 a c)2(2a b)试将错误的对

6、数值加以改正_.作业. . 2 2 . .2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习1.幕函数f(x)=(m3m+3)xmm-2的图象不经过原点，则实数m的值为_2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习2.若yf(x)是幕函数，且满足 加-,则f(3)f(2)23若xlog34=1,贝U 4x+4一x的值为_.log(a23)(ax 4)在1,1上是单调增函数，则实数a的取值范围是x3x 07.已知函数f(x)ln(x 1),x 0若f(2-x2)f(x)则实数x的取值范围是且满足f(x+2)=- f(x)，当x :0,1时，f(x)=2x-1.9.已知函数f( x)=loga(x+1)(

7、a1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x0,1)时总有f(x)+ g(x)m成立，求m的取值范围.4.若函数f x5.已知幕函数f(x)=kx的图象过点1，贝Uk+a216 若(a 1)21(3 2a)2则a的取值范围是8.已知定义域为R的函数f (x)为奇函数,(1)求f(x)在-1,0)上的解析式;(2)求f(log124).22014 届启东市大江中学高三数学一轮复习对数函数与幕函数(1)课前练习1 函数 y= loga(x1)+ 2(a0, a 1)的图象恒过一定点是 _.2 函数 y= .2

8、log2x 的定义域是()(0,41 13.设 2a= 5b= m,且 a+ b=2,贝 Um=()104. (2012 杭州月考)已知函数 f(x) = In x, g(x)= Ig x, h(x) = log3x,直线 y= a(aV0)与这三个函数的交点的横坐标分别是X1, X2, X3,则 X1, X2, x3的大小关系是.由图可知，X2VX3VX1.5.已知对数函数 f (x) (m2m 1)log(m1)x,则f (27)【答案】3例 1、求值:(fogif； (2)(lg 5)2+ Ig 50 Ig 2； (3) (Iog32+ Iogo2) (1og43 + Iog83)2解原

9、式=310原式=(Ig 5)2+ lg(10 x5)lg 二(Ig 5)2+ (1 + Ig 5)(1 Ig 5) = (Ig 5)2+ 1 (Ig 5)2二 1.【例2】点(.2,2)在幕函数f(x)的图象上，点(一2,丁)在幕函数g(x)的图象上(1)求f(x)、g(x)的解析式；问当x为何值时，有：g(x)Vf(x):f(x)=g(x):f(x)Vg(x).【解析】(1)设f(x)=xa，因为点(一2,2)在幕函数f(x)的图象上，将(.2,2)代入f(x)=xa中, 得2=(a，解得a=2,即f(x)=x2.设g(x)=Xb,因为点(2,4)在幕函数g(x)的图象上，将(2,1代入g(

10、x)=xb中，得4=(2)b，解得b= 2,即卩g(x)=x2.1当x1或xV1时，g(x)Vf(x);(2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知:2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习2当x= 时，f(x)=g(x);3当一1Vxv1且 时，f(x)Vg(x).例 3、已知函数 f(x)= loga(2 ax)，是否存在实数 a,使函数f(x)在0,1上是关于 x 的减函数，若存在，求 a 的取值范围.解/a0,且 a 1, u= 2 ax 在0,1上是关于 x 的减函数.又 f(x)二 loga(2 ax)在0,1上是关于 x 的减函数，函数 y= loga

11、u 是关于 u 的增函数，且对 x 0,1时，u = 2 ax 恒为正数.a 1其充要条件是，即 1vav2.2 a 0 a 的取值范围是(1,2).例 4、.已知 f(x) = 2+ Iog3x, x 1,9，求 y=f(x)2+ f(/)的最大值及 y 取最 大值时 x 的值.K x 9，【解】-f(x)的定义域为1,9，-y=f(x)2+ f(x2)的定义域由。得K x2 9，Kx3，A定义域为1,3.y= f(x)2+ f(x2) = (2 + Iog3x)2+ (2 + Iog3x2) = (Iog3x)2+ 6log3x+ 6.令 t=Iog3x(1wx3),则 0Wt1,则 y=

12、t2+6t+6(0t-1.综上，得-11,在区间(-g1- ,3上是减函数，所以 g(x)=x2-ax-a 在区间(-g1- .3上也是单调减函数，且 g(x)0.1a22=2，2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习解得 2-23W0 且 a 1).(1) 求 f(log2x)的最小值及相应 x 的值；若 f(log2x)f(1)且 Iog2f(x)vf(1)，求 x 的取值范围.【解】(1) f(x) = x2 x+ b,2f(log2a) = (Iog2a) Iog2a+ b= b,a 1, Iog2a0log2a= 1,.a= 2.又 fog2f(a)=2,f(a)=4./a2a+b

13、=4,.b=2.2f(x)= x x+ 2.2127f(log2x) = (Iog2x) Iog2x+ 2= (Iog2x刁刁 + 4.17f当 Iog2x=q,即 x= ,2 时，f(log2x)有最小值 4.2Iog2x Iog2x+ 2 2,(2) 由题意知Iog2x2x+2v2.Iog2xv0 或 Iog2x 1,0vxx+2v4.0vxv1 或 x2,0vxv1.1vxv2.，即a(12 2 33)2a(13)13a2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习练习：已知表中的对数值有且只有一个是错误的x35689lg x2a ba+ c 1 1 + a b c3(1 a c)2(2a

14、b)试将错误的对数值加以改正_ 解析 由 2a-b= lg 3，得 lg 9 = 2lg 3 = 2(2a b)从而 Ig 3 和 lg 9 正确，假 设 lg 5 = a+ c-1 错误，则由1 + a b c= lg 6 lg 2 + lg 3 ,lg 2 1 a c,得所以 lg 5 1 31 a c lg 8 3lg 2 ,lg 3 2a b,lg 2 a+ c.因此 lg 5 a+ c 1 错误，正确结论是 lg 5 a+ c.答案 lg 5 a+ c作业1._ 幕函数f(x) (mi 3m+ 3) xmi m- 2 的图象不经过原点，则实数 m 的值为_ . 解析因为函数是幕函数，

15、2 2所以 m 3m+ 3 1，二 m2 3m+ 2 0，二 m 1 或 m 2.当 m 1 或 m 2 时，函数的图象都不经过原点，所以 m 1 或 m 2.2. 若vf(x)是幂函数，且满足丄理,则f(3)_ .f2【答案】乜33. 若 xlog34 1，求 4x+ 4x的值.解由已知 x log43，“Xx1 10则 4 + 4 4log43 + 4log43 3+ 3 .334. 若函数 f xlog(a2 3)(ax 4)在 1,1 上是单调增函数，则实数a的取值范围是【答案】2, .3 U 2,45._给出关于幕函数的以下说法： 幕函数的图象都经过(1,1)点；幕函数的图 象都经过

16、(0,0)点；幕函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；幕函数的图 象不可能经过第四象限；幕函数在第一象限内一定有图象； 2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习幕函数在(一X，0)上不可能是递增函数.其中正确的说法有.解析 命题显然正确；只有当a0 时幕函数的图象才能经过原点(0,0)，若1a0,必有 y0,所以幕函 数的图象不可能在第四象限，故命题正确，命题也正确；幕函数y=X 在(%, 0)上是递增函数，故命题错误因此正确的说法有.答案6 .若(a 1)2(312 a)2则 a 的取值范围是解析 令 f (x)1x2则 f(x)在(0)上是减函数a 10故得3 2a0解得2 a32 a 1

17、32a答案(33)X3，x 0.取值范围是_解析 画图象可知 f (x)在(x， +x)上是单调递增函数， 于是由 f(2x2)f (x)， 得 2 x2x，即 x2+ x 2v0，解得一 2vxv1.答案(一 2,1)8.已知定义域为 R 的函数 f (x)为奇函数，且满足 f(x+2)=- f(x)，当 x0,1时，f(x)=2x-1.(1) 求 f(x)在-1 , 0) 上的解析式；(2) 求 f(log124).2解(1)令 xE1,0),则-x0,1, /.f (-x)=2-x-1.又行(x)是奇函数，/f (-x) =-f (x), /-f (x) =f (-x) =2-x-1 ,

18、若 f(2 x2) f(x)，则实数 x 的2014 届启东市大江中学高三数学一轮复习1x/ (x) =-(;)+1.2(2).f(x+2)=-f(x), .T(x+4)=-f(x+2)=f(x),. f(x)是以 4 为周期的周期函数,logr24=-log224q-5,-4),Jog124+4q-1,0),2 21log 1 24 41 1f(log124)=f(log124+4)=-( -)2+1=-24x一+1=-.2 22 16 29.已知函数 f(x)=loga(x+1)( a1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称 点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象.(1) 写出函数 g(x)