西邮通原课件第10章 最佳接收

1、1通信原理第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收2数字通信系统信源译码信源信源编码加密信道调制信道编码解调解密信道译码信宿数字频带传输系统数字基带传输系统Ch9Ch9Ch11Ch11Ch7、Ch10Ch6数字传输系统模数变换数模变换数字基带处理数字基带处理3第10章 数字信号最佳接收l10.1数字信号的统计特性：数字信号的统计特性：n以二进制为例研究接收电压的统计特性。以二进制为例研究接收电压的统计特性。n假设假设：通信系统中的噪声是均值为：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为；并设发送的二进制码

2、元为“0”和和“1”，其发送概率分别为，其发送概率分别为P(0)和和P(1)，且有，且有P(0) + P(1) = 1n若此通信系统的信号的基带截止频率小于若此通信系统的信号的基带截止频率小于fH，则根据低通，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示。信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示。抽样抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH抽样间隔为抽样间隔为1/ 2fH 。n设在一个码元持续时间设在一个码元持续时间Ts内以内以2fH的速率抽样，共得到的速率抽样，共得到k个个抽样值：，则有抽样值：，则有k Ts/（1/2fH）= 2fH Ts 。4第10

3、章 数字信号最佳接收n由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为概率密度可以写为式中，式中， n 噪声的标准偏差；噪声的标准偏差； n2 噪声的方差，即噪声平均功率；噪声的方差，即噪声平均功率； i 1，2，k。n设接收噪声电压设接收噪声电压n(t)的的k个抽样值的个抽样值的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为 222exp21)(nininnf),(21kknnnf5第10章 数字信号最佳接收n由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍

4、为高斯分布。所以，系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，。这样，此此k 维联合概率密度函数可以表示为维联合概率密度函数可以表示为n当当k 很大时，在很大时，在一个码元持续时间一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率内接收的噪声平均功率可以表示为：可以表示为： 注：注：k 2fH Ts 或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(ki

5、isHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(16第10章 数字信号最佳接收n利用上式关系，并注意到利用上式关系，并注意到 式中式中 n0 噪声单边功率谱密度噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中式中 n = (n1, n2, , nk) k 维矢量，表示一个码元内噪声的维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。个抽样值。n需要注意，需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量是后者在定积分内，积分后已经与时间变

6、量t无关。无关。n是一个是一个k维矢量，维矢量，它可以看作是它可以看作是k 维空间中的一个点。维空间中的一个点。 Hnfn022220101111( )expexp( )222skTikkinnnfnnt dtnn)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn nkiisHTsnTfdttnTs120221)(1ssTTHkiHiHdttnndttnffnnfn020021020)(1)(221217第10章 数字信号最佳接收n在码元持续时间在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度、噪声单边功率谱密度n0和抽样数和抽样数k（它和（它和系统带宽有关）给定后，系统带宽有关）给定后，f(

7、n)仅决定于该码元期间内噪声的仅决定于该码元期间内噪声的能量：能量：n由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。另一些则无错。20( )sTnt dt20011( )exp( )2sTknfnt dtnn20011( )exp( )2sTknfnt dtnn8第10章 数字信号最佳接收n设接收电压设接收电压r(t)为信号电压为信号电压s(t)和噪声电压和噪声电压n(t)之和之和:r(t) = s(t) + n(t)则

8、在发送码元确定之后，接收电压则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 n2，但是均值变为但是均值变为s(t)。所以，当发送码元。所以，当发送码元“0”的信号波形的信号波形为为s0(t)时，接收电压时，接收电压r(t)的的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为式中式中 r = s + n k 维矢量，表示一个码元内接收电压维矢量，表示一个码元内接收电压的的k个抽个抽 样值；样值； s k 维矢量，表示一个码元内信号电压的维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽个抽样值。样值。20000

9、11( )exp( )( )2sTknfrr ts tdtn20011( )exp( )2sTknfnt dtnn9第10章 数字信号最佳接收n同理，当发送码元同理，当发送码元“1“的信号波形为的信号波形为s1(t)时，接收电压时，接收电压r(t)的的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为n顺便指出，若通信系统传输的是顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元之一，则按上述原理不难写出当发送码元是是si时，接收电压的时，接收电压的k 维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为仍需记住，以上三式中的仍需记住

10、，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间维联合概率密度函数不是时间t的的函数，并且是一个标量，而函数，并且是一个标量，而r 仍是仍是k维空间中的一个点，是一维空间中的一个点，是一个矢量。个矢量。2110011( )exp( )( )2sTknf rr ts tdtn20011( )exp( )( )2sTiiknf rr ts tdtn10第10章 数字信号最佳接收l10.2 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收n“最佳最佳”的准则：的准则：错误概率最小错误概率最小n产生错误的原因：暂不考虑信道失真的影响，主要讨产生错误的原因：暂不考虑信道失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪

11、声引起的错误概论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。率最小。n判决规则判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为的概率为P(1)，发送码元发送码元“0”的概率为的概率为P(0)，则总误码率，则总误码率Pe等于等于式中式中Pe1 = P(0/1) 发送发送“1”时，收到时，收到“0”的条件概率；的条件概率； Pe0 = P(1/0) 发送发送“0”时，收到时，收到“1”的条件概率；的条件概率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。上面这两个条件概率称为错误转移概率。01)0() 1 (eeePPPPP11第10章 数字信号最佳接收按照上述

12、分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个以用一个k 维矢量维矢量(一个码元中抽的一个码元中抽的k个样个样)表示。接收设备需表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“0”，还是，还是“1”。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和和f1(r)的曲线的曲线画在下图中（在图中把画在下图中（在图中把r 当作当作1维矢量画出。）：维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域可以将此空间划分为两个区域A0和和A1，其边界是，其边界是r0 ，并将判

13、，并将判决规则规定为：决规则规定为： 若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)12第10章 数字信号最佳接收显然，区域显然，区域A0和区域和区域A1是两个是两个互不相容的区域。当这两个区互不相容的区域。当这两个区域的边界域的边界r0 确定后，错误概率确定后，错误概率也随之确定了。也随之确定了。这样，总误码率可以写为这样，总误码率可以写为式中，式中，P(A0/1)表示发送表示发送“1”时，矢量时，矢

14、量r落在区域落在区域A0的条件概的条件概率率 P(A1/0)表示发送表示发送“0”时，时， 矢量矢量r落在区域落在区域A1的的条件概率条件概率这两个条件概率可以写为：这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r13第10章 数字信号最佳接收将上两式代入将上两式代入得到得到参考上图可知，上式可以写为参考上图可知，上式可以写为上式表示上式表示

15、Pe是是r0 的函数。为了求出使的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点最小的判决分界点r0 ，将上式对，将上式对r0 求导求导 并令导函数等于并令导函数等于0，求出最佳分界点求出最佳分界点r0的条件：的条件：)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP14第

16、10章 数字信号最佳接收即即当先验概率相等时，即当先验概率相等时，即P(1) = P(0)时，时，f0(r0) = f1(r0)，所以最，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。值上。在判决边界确定之后，按照在判决边界确定之后，按照接收矢量接收矢量r 落在区域落在区域A0应判为收应判为收到的是到的是“0”的判决准则的判决准则，这时有：，这时有：若若 则判为则判为“0” ；反之，反之，若若则判为则判为“1” 。在发送在发送“0”和发送和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简的先验概率相等时，上两式的条件简化为：化为：0)()0()() 1 (0001r

17、 rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，则判为“0” 若f0(r) f1(r)，则判为“1”似然比准则15第10章 数字信号最佳接收这个判决准则常称为这个判决准则常称为最大似然准则最大似然准则。按照这个准则判决就可。按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。p以上对于二进制最佳接收准则的分析，可

18、以推广到多进制信以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码进制数字通信系统中，可能的发送码元是元是s1，s2，si，sM之一，它们的先验概率相等，能之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是量相等。当发送码元是si时，接收电压的时，接收电压的k 维联合概率密度函维联合概率密度函数为数为于是，若于是，若 则判为则判为si(t)，其中，其中，20011( )exp( )( )2sTiiknf rr ts tdtn( )( ),ijf rfr1, 2,jijM16第10章 数字信号最佳接收l10.3 确知数字信号

19、的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机n确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。n判决准则判决准则当发送码元为当发送码元为“0”，波形为，波形为so(t)时，接收电压的概率密度为时，接收电压的概率密度为当发送码元为当发送码元为“1”，波形为，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为时，接收电压的概率密度为且两码元能量相等且两码元能量相等E因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：若：若：则判为则判为“0”2000011( )exp( )( )2sTknfrr tstdtn21

20、10011( )exp( )( )2sTknf rr ts tdtn)()()0() 1 (10r rr rffPP17第10章 数字信号最佳接收若若则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；若；若 则判为发送码元是则判为发送码元是s1(t)。 将上两式的两端分别取对数，得到，若将上两式的两端分别取对数，得到，若则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是；反之则判为发送码元是s1(t)。由于。由于已经假设两个码元的能量相同，即已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。所以上式还可以进一步简化。 2210000011(1)exp( )( )(0)exp( )

21、( )ssTTPr ts tdtPr tstdtnn2210000011(1)exp( )( )(0)exp( )( )ssTTPr ts tdtPr tstdtnn2201000011ln( )( )ln( )( )(1)(0)ssTTnr ts tdtnr ts tdtPP220100( )( )ssTTst dtst dt)()()0() 1 (10r rr rffPP18第10章 数字信号最佳接收若若式中式中则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。可以看作是由先验概率决定的加权

22、因子。n最佳相干接收机最佳相干接收机u按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：11000( )( )( )( )ssTToWr t s t dtWr t st dt) 0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 00100011ln( )( )ln( )( )2(1)2(0)ssTTnnr t s t dtr t st dtPP19第10章 数字信号最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比较判决积分器积分器11000( )( )( )( )ssTToWr t s t dtWr t st dt20r(t)S0(t)S1(t)积分器积

23、分器比较判决t = Ts第10章 数字信号最佳接收若此二进制信号的先验概率相等，则上式若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为简化为最佳接相干收机的原理方框图也可以简化成最佳接相干收机的原理方框图也可以简化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(21第10章 数字信号最佳接收由上述讨论不难推出由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构进制通信系统的最佳接收机结构 u上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。所以

24、常称这种算法为相关接收法。u由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。 积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比较判决积分器积分器22第10章 数字信号最佳接收l10.4 确知数字信号最佳接收的误码率确知数字信号最佳接收的误码率n总误码率总误码率在最佳接收机中，若在最佳接收机中，若则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)。因此，在发送码元为。因此，在发送码元为s1(t)时，若时，若上式成立，则将发生错误判决。所以若将上式成立，则将发生错误判决。所以若将r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，代入上式，则上式成立的概率就是

25、在发送码元则上式成立的概率就是在发送码元“1”的条件下收到的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概率的概率，即发生错误的条件概率P(0 / 1)。此条件概率的。此条件概率的计算结果如下计算结果如下 ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(23将将y(t)=sy(t)=s1 1(t)+n(t)(t)+n(t)代入判决式中可得错误判代入判决式中可得错误判决条件为决条件为化简得到化简得到 2021212001( )1( )( )( )ln( )( )2( )2TTnP sn ts ts tdts

26、 ts tdtP s令：令：Tdttststn021)()()(TdttstssPsPna0221120)()(21)()(ln2dtsnsPndtsnsPnssToTo0221002111)(1ln)(1ln24第10章 数字信号最佳接收式中式中同理，可以求出发送同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到时，判决为收到s1(t)的的条件错误概率条件错误概率式中式中axdxeaPP22221)() 1/0(sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)(bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb02100

27、)()(21)0() 1 (ln2Tdttststn021)()()(2525的数学期望为的数学期望为: : 120 ( ) ( )( )0TEE n ts ts t dt的方差为的方差为: : 式中式中E En(t)n()n(t)n()为高斯白噪声为高斯白噪声n(t)n(t)的自相关函数，由的自相关函数，由第第 2 2 章随机信号分析可知章随机信号分析可知: : 2121222122221112110012112112221200 lim( )( )( )( )( )( )lim ( ) ( ) ( )( ) ( )( )TTttTTttDEEEn tS ts tdtn tS ts tdtE

28、 n t n ts ts ts ts tdt dt 01212 ( ) ( )()2nE n t n ttt21210012120lim ( ) ( )lim()lim( )22ttttnnE n t n ttt 2121212112112221200212112112221211211000 lim ( ) ( ) ( )( ) ( )( )lim() ( )( ) ( )( ) ( )( )22TTttTTToottDE n t n ts ts ts ts tdt dtnntts ts ts ts tdt dts ts tdt 26第10章 数字信号最佳接收因此，总误码率为因此，总误码率为

29、n先验概率对误码率的影响先验概率对误码率的影响当先验概率当先验概率P(0) = 0及及P(1) = 1时，时，a = - 及及b = ，因此由上式计算出总误码率，因此由上式计算出总误码率Pe = 0。在物理。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的即是确定的“1”。因此，不会发生错误。同理，。因此，不会发生错误。同理，若若P(0) = 1及及P(1) = 0 ，总误码率也为零。，总误码率也为零。sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222

30、dxePdxePPPPPPbxaxeSTdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln227第10章 数字信号最佳接收u当先验概率相等时：当先验概率相等时：P(0) = P(1) = 1/2，a = b。这样，上式可以化简为。这样，上式可以化简为式中式中上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率 2，误码率仅和两种码元波形之差误码率仅和两种码元波形之差s0(t) s1(t)的能量有关，的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，码率而与波形本身无关。差别越大，码率Pe也越小。也越小。 u当先验概率不等时：当先验概率不等时：由计算表明

31、，先验概率不等时的误码率将略小于先验概由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。坏的情况。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2STdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln228第10章 数字信号最佳接收n先验概率相等时误码率的计算先验概率相等时误码率的计算在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别。现在给出元的区

32、别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数即码元的相关系数 ，其定义如下：，其定义如下：式中式中E0、E1为信号码元的能量。为信号码元的能量。当当s0(t) = s1(t)时，时， 1，为最大值；当，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时，时， 1，为最小值。所以，为最小值。所以 的取值范围在的取值范围在-1 +1。 sTdttstsc0210)()(2110010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(dxePcxe22221sTd

33、ttstsnD020102)()(2)(29第10章 数字信号最佳接收当两码元的能量相等时，令当两码元的能量相等时，令E0 = E1 = Eb，则上式可以写成，则上式可以写成并且并且将上式代入误码率公式，得到将上式代入误码率公式，得到为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换：为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换：令令则有则有bTEdttstsS010)()()1 (t)t)s(s 2)()(21)()(2101012020210bTTEdttstsdttstscSSdxedxePbExcxe)1(22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz 30第10章 数字信号最佳接收

34、于是上式变为于是上式变为式中式中 利用下式中利用下式中 2和和n0关系关系代入上式，得到误码率最终表示式：代入上式，得到误码率最终表示式：2222(1)/ 2(1)/ 2(1)/ 2(1)/ 21122(1)1121()222bbbbEEzzzzebEEedzedzEedzePdzerfc22022(),()xzzxerf xedzerfc xedz)1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe22222(1)(1)22(1)bbobEEn E31第10章 数字信号最佳接收式中式中 误差函数误差函数 补误差函数补误

35、差函数 Eb 码元能量；码元能量； 码元相关系数；码元相关系数； n0 噪声功率谱密度。噪声功率谱密度。上式是一个非常重要的理论公式，它给出了上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出。在下图中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。但是绝对不可能超过它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc32第10章 数字信

36、号最佳接收n误码率曲线误码率曲线dB02)1 (21nEerfcPbe33第10章 数字信号最佳接收n最佳接收性能特点最佳接收性能特点u误码率仅和误码率仅和Eb / n0以及相关系数以及相关系数 有关，与信号波形及噪声有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。功率无直接关系。 u码元能量码元能量Eb与噪声功率谱密度与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号之比，实际上相当于信号噪声功率比噪声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽。因为若系统带宽B等于等于1/Ts，则有则有按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为需的最小带宽为(1/

37、2Ts) Hz。对于已调信号，若采用的是。对于已调信号，若采用的是2PSK或或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两倍，即恰好是两倍，即恰好是(1/(2Ts)=1/Ts (Hz) ) Hz。所以，在工程上，。所以，在工程上，通常把通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待。当作信号噪声功率比看待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (0(1)122beEPerfcn34第10章 数字信号最佳接收u相关系数相关系数 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同，对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同，相关系数最大，即相关系数

38、最大，即 = 1时，误码率最大。这时的误码率时，误码率最大。这时的误码率Pe = 1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即 = -1时，误码率最小。这时的最小误码率等于时，误码率最小。这时的最小误码率等于 例如，例如，2PSK信号的相关系数就等于信号的相关系数就等于 -1。u当两种码元正交，即相关系数当两种码元正交，即相关系数 等于等于0时，误码率等于时，误码率等于u例如，例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。信号的相关系数就等

39、于或近似等于零。010212121nEerfcnEerfcPbbe）（0002212)1 (21nEerfcnEerfcPbbe0(1)122beEPerfcn35第10章 数字信号最佳接收u若两种码元中有一种的能量等于零，例如若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，则信号，则误码率为误码率为u比较以上比较以上3式可见，它们之间的性能差式可见，它们之间的性能差3dB，即，即2ASK信号的信号的性能比性能比2FSK信号的性能差信号的性能差3dB，而，而2FSK信号的性能又比信号的性能又比2PSK信号的性能差信号的性能差3dB。21101( )22sTEcs tdt 010204212)

40、1 (211nEerfcnEerfcPEEbeb22212/2 2220110000112221(),( )( )2422sexzxcEzTbedzedzEnEerfcs ts tdtnPn0(1)122beEPerfcn36第10章 数字信号最佳接收n多进制通信系统多进制通信系统u若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，则其最佳误码率计算结果如下：则其最佳误码率计算结果如下：式中，式中，M 进制数；进制数； E M 进制码元能量；进制码元能量； n0 单边噪声功率谱密度。单边噪声功率谱密度。由于一个由于一个M 进制码元中含有的比特数

41、进制码元中含有的比特数k 等于等于log2M，故每个，故每个比特的能量等于比特的能量等于并且每比特的信噪比为并且每比特的信噪比为下图画出了误码率下图画出了误码率Pe与与Eb/n0关系曲线。关系曲线。 dyedxePyMnEyxe212222/10221211MEEb2log/knEMnEnEb0200log37第10章 数字信号最佳接收u误码率曲线误码率曲线由此曲线看出，对于由此曲线看出，对于给定的误码率，当给定的误码率，当k增大时，需要的信噪增大时，需要的信噪比比Eb/n0减小。当减小。当k 增增大到大到 时，误码率曲时，误码率曲线变成一条垂直线；线变成一条垂直线；这时只要这时只要Eb/n0

42、等于等于0.693(即即-1.6 dB)，就能，就能得到无误码的传输。得到无误码的传输。Pe0.693Eb/n038相干相干2ASK信号信号非相干非相干2ASK信号信号相干相干2FSK信号信号非相干非相干2FSK信号信号相干相干2PSK信号信号差分相干差分相干2DPSK信号信号同步检测同步检测2DPSK信号信号第10章 数字信号最佳接收l10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较实际接收机和最佳接收机的性能比较4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nE

43、erfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb实际接收机的实际接收机的Pe最佳接收机的最佳接收机的Pe39第10章 数字信号最佳接收 在接收机输入端信号功率和信道相同时比较两种结构接在接收机输入端信号功率和信道相同时比较两种结构接收机的误码性能。由上表可以看出，在相同的条件下：收机的误码性能。由上表可以看出，在相同的条件下：若若 ，则实际接收机误码率小于最佳接收机误码率；，则实际接收机误码率小于最佳接收机误码率； 若若 ，则实际接收机误码率大于最佳接收机误码率；，则实际接收机误码率大于最佳接收机误码率；若若 ，则实际接收机误码率等于最

44、佳接收机误码率。，则实际接收机误码率等于最佳接收机误码率。 前面已经分析，只有当实际系统带宽等于奈氏准则时，有前面已经分析，只有当实际系统带宽等于奈氏准则时，有基带信号带宽为基带信号带宽为Bm=1/(2Ts)Bm=1/(2Ts)，双边带已调波带宽为，双边带已调波带宽为: : B=2Bm= B=2Bm= 2 2* *1/(2Ts)=1/Ts,1/(2Ts)=1/Ts,这样的话：这样的话：Eb/n0=PTs/=PTs/n0=P/=P/n0(1/Ts)=P/(1/Ts)=P/n0B= P/B= P/N=r 实际接收机误码率等于最佳接收机误码率，而奈氏带宽实际接收机误码率等于最佳接收机误码率，而奈氏带

45、宽式理论极限，实际达不到。因此，实际接收机质量总是低于式理论极限，实际达不到。因此，实际接收机质量总是低于最佳接收机。最佳接收机。0/brEn0/brEn0/brEn40第10章 数字信号最佳接收l10.8 数字信号的匹配滤波接收法数字信号的匹配滤波接收法n什么是匹配滤波器？什么是匹配滤波器？ 用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器出信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。n假设条件：假设条件：u接收滤波器的传输函数为接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为，冲激响应为h(t)，滤，滤波器输入码元波器输入码

46、元s(t)的持续时间为的持续时间为Ts，信号和噪声之和，信号和噪声之和r(t)为为式中，式中，s(t) 信号码元，信号码元， n(t) 高斯白噪声；高斯白噪声；sTttntstr0),()()(41第10章 数字信号最佳接收u并设信号码元并设信号码元s(t)的频谱密度函数为的频谱密度函数为S(f)，噪声，噪声n(t)的双的双边功率谱密度为边功率谱密度为PR(f) = n0/2，n0为噪声单边功率谱密度。为噪声单边功率谱密度。 n输出电压输出电压u假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压波器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，

47、滤波器中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压的输出电压y(t)中也包含相应的输出信号中也包含相应的输出信号so(t)和输出噪和输出噪声声no(t)两部分，即两部分，即式中式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()( )H f( )s t( )n t( )r t( )y t()oy t判决0()S tN42第10章 数字信号最佳接收n输出噪声功率：输出噪声功率：由由得输出噪声功率得输出噪声功率No等于等于n输出信噪比输出信噪比在抽样时刻在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为220( )*( )( )( )(

48、)( )( )2YRRnPfHf H f PfH fPfH fdffHndfnfHNo2002)(22)(02220020( ) ( )( )( )2jftooH f S f edfs trnNH fdf43第10章 数字信号最佳接收n匹配滤波器的传输特性：匹配滤波器的传输特性：利用施瓦兹不等式求利用施瓦兹不等式求 r0的最大值的最大值若若其中其中k为任意常数，则上式的等号成立。为任意常数，则上式的等号成立。将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令则有则有式中式中 是信号能量是信号能量dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()(

49、)(*21xkfxf0221)()(),()(ftjefSxffHxf20( )H fdfr 220( )( )2S fdfnH fdf200( )22S fdfEnndffSE2)(022020( ) ( )( )2jftH f S f edfrnH fdf44第10章 数字信号最佳接收而且当而且当时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。上式表明：上式表明： 就是我们要找的最佳接就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。收滤波器传输特性。 它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。故称此滤波器为

50、匹配滤波器。故称此滤波器为匹配滤波器。 02)(*)(ftjefkSfH02)(*)(ftjefkSfH45第10章 数字信号最佳接收n匹配滤波器的冲激响应函数：匹配滤波器的冲激响应函数：由上式可见，匹配滤波器的由上式可见，匹配滤波器的冲激响应冲激响应h(t)就是：就是：信号信号s(t)的镜像的镜像s(-t)，再在时间轴上（向右）平移，再在时间轴上（向右）平移t0。 000222*2()2( )2()00( )( )*( )( )( )( ) ()()jftjftjftjf ttjfsjftth tH f edfkSf eedfksededfkedfsdkstt dks tt 是实信号46匹配

51、滤波器的单位冲激响应为：匹配滤波器的单位冲激响应为：1t 2t ()st t( )s t1t2tt1ott2t ()os ttott 匹配滤波器单位匹配滤波器单位冲激响应原理冲激响应原理( )()oh tKs tt第10章 数字信号最佳接收47000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第10章 数字信号最佳接收n图解 48第10章 数字信号最佳接收n实际的匹配滤波器实际的匹配滤波器 一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激应必须符合因果关系

52、，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有：响应出现，即必须有：即要求满足条件即要求满足条件或满足条件或满足条件 上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元s(t)在在抽样时刻抽样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0 = Ts。故匹配。故匹配滤波器的冲激响应可以写为滤波器的冲激响应可以写为0, 0)(tth当0( )()0,0h tks ttt当00( )0,0s ttttt当时，即)()(tTksths49

53、第10章 数字信号最佳接收这时这时，若匹配滤波器的输入电压为，若匹配滤波器的输入电压为s(t)，则输出信号码元的，则输出信号码元的波形为：波形为：上式表明：匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波上式表明：匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的形的自相关函数的k倍。倍。k是一个任意常数，通常取是一个任意常数，通常取k 1。( )() ( )() ()()osssts thdks ts TdkR tT50第10章 数字信号最佳接收n【例例10.1】设接收信号码元设接收信号码元s(t)的表示式为的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。试求其匹配滤波器的特性和输出

54、信号码元的波形。【解解】上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如上图所示。上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如上图所示。其频谱为其频谱为由由令令k = 1，可得其匹配滤波器的传输函数为，可得其匹配滤波器的传输函数为t0=Ts由由令令k = 1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为tTttss其他, 00, 1)(221( )( )1()2ssjfTj fTjftssS fs t edteT SaT f ejftTss(t)102)(*)(ftjefkSfH2211( )1,( )12ssssjfTjfTj Tj TH feeHeejfj)()(0ttksth51第

55、10章 数字信号最佳接收此冲激响应示于右图。此冲激响应示于右图。表面上看来，表面上看来，h(t)的形状和信号的形状和信号s(t)的形状一样。实际上，的形状一样。实际上，h(t)的形状是的形状是s(t)的波形以的波形以t = Ts / 2为轴线反转而来为轴线反转而来。由于。由于s(t)的波的波形对称于形对称于t = Ts / 2，所以反转后，波形不变。，所以反转后，波形不变。由式由式可以求出此匹配滤波器的可以求出此匹配滤波器的输出信号波形如下：输出信号波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(t)52第10章 数字信号最佳接收由其传输函数由其传

56、输函数可以画出此匹配滤波器的方框图如下：可以画出此匹配滤波器的方框图如下：因为上式中的因为上式中的(1/j2 f)是理想积分器的传输函数，而是理想积分器的传输函数，而exp(-j2 fTs)是延迟时间为是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。的延迟电路的传输函数。 2211( )1,( )12ssssjfTjfTj Tj TH feeHeejfj1( )1sj THej53(a)s(t)0Tt2T1例：(b)2Th(t)0Tt1单位冲击响应otT信号时间波形so(t)OTt(c)2T2T23TotT第10章 数字信号最佳接收54(a)s(t)0Tt2T11例：( )h tt2TT( )bT2T3

57、2T2Tt( )os t00T2T第10章 数字信号最佳接收55l匹配滤波器的性质匹配滤波器的性质(1)(1)其幅频特性与输入信号的幅频特性一致，至多其幅频特性与输入信号的幅频特性一致，至多差一个常数因子差一个常数因子K K；其相频特性与输入信号的反相；其相频特性与输入信号的反相，并有一个附加的相位，并有一个附加的相位 。（2 2）匹配滤波器在输出端可以给出最大的瞬时信）匹配滤波器在输出端可以给出最大的瞬时信噪比：噪比： *( )( )jtoHKSe 0HSHK St 0max2oErn第10章 数字信号最佳接收0t56 iS0KRosttti0SKR0ost（4）关于关于r r0max0ma

58、x=2E/n=2E/n0 0：只要：只要s(t)s(t)能量相同，不能量相同，不论论s(t)s(t)的形状、噪声分布如何、相应的匹配滤的形状、噪声分布如何、相应的匹配滤波器不同，但波器不同，但r r0max0max相同相同(5)(5)观测时刻观测时刻t t0 0选择在信号持续时间的末尾，一选择在信号持续时间的末尾，一般取码元周期般取码元周期T Ts s；（3 3）输出信号）输出信号s s0 0(t)(t)：是：是s(t)s(t)的自相关函数的的自相关函数的k k倍倍第10章 数字信号最佳接收且57第10章 数字信号最佳接收n【例例10.210.2】 设信号的表示式为设信号的表示式为求匹配滤波器

59、的特性和滤波器输出波形。求匹配滤波器的特性和滤波器输出波形。【解解】：上式给出的信号波形是一段余弦振：上式给出的信号波形是一段余弦振荡，如右图所示：荡，如右图所示：其频谱为其频谱为tTttftss其他, 00,2cos)(00022002 ()2 ()00( )( )cos2114 ()4 ()sssTjftjftjffTjffTS fs t edtf tedteejffjffTs)( 21)( 21| )()(21)(21cos)()()()(0)()(0000oTjoTjTotjotjTtjtjtjTtjotjjejejejedteeedttedtetsfSsososooss58第10章

60、数字信号最佳接收因此，其匹配滤波器的传输函数为：因此，其匹配滤波器的传输函数为：上式中已令上式中已令t t0 0 = = T Ts s。此匹配滤波器的冲激响应为：此匹配滤波器的冲激响应为：为了便于画出波形简图，令：为了便于画出波形简图，令： ( (一个码元周期中有一个码元周期中有n n个载波周期个载波周期) )式中，式中，n n = = 正整数。这样，上式可以化简为正整数。这样，上式可以化简为h h( (t t) )的曲线示于下图：的曲线示于下图： )(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjft