2013届高考数学一轮复习讲义：13[1].3_合情汇总

1、1.合情推理主要包括一归纳推理和类比推理合情推理的过程(1)归纳推理：从 个别事实中推演出一般性 的结论的推 理.归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理的基本模式：4、b b、CMCM且“、b b、C具有某属性，一轮复习讲义忆一忆知识要点从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想结论: 也具有某归纳推理丸例1已知经过计算和验证有下列正确的不等式：A/3+A/17 2；10,v73+/122/lb, J8+也+寸12迂v2而, 根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数加，H H都成 立的条件不等式 、/7万 +V 2+ = 2（777、7?均为正实数）.誇变式训练1观察

2、下列式子：l+p 1 +尹+尹亍1+亍+亍+亍 V/.,1114 023根据以上式子可以猜想：1 +严+亍+2 01Q2V 2 012 人析将上述式子推广到一般形式，可得1+ + *+ 12/1-1 1 1 1+ /V5M2 且/1GN）,故1+予+多+丽讶2X2012-1 4 023 2 012（2）类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的担似 或相同,推演出它们在其他方面也相似或 相同 的推理.类 比推理是由特殊到特殊的推理.2 012-耍点梳理忆一忆知识要点类比推理的基本模式：A：具有属性b,b, c,c,B B：具有属性门, ,b b，c c ；结论：具有属性/ .（a,a,

3、b,b, c,c, d d 与 aa , , h h1 1, , cc , , dd相似或相同）主页A I数列等差数列等比数列定义6+1 _劣二d（nGN）% - q（必N）陽通项公式an二Q+（_l）d中项公式伽、ti、kwN若绍y加、/KkeN“若仁门4二绻 52n = tnK简单性质m、“、p、qwN若,加+“ 二p+q0、p、qwN若9mn = p+q吒 6=竹叫TW：有一位同学发现：若匕为等差数列， 则匕冲+6也成等差数列由此经过类比, 在等比数列色冲你能得出什么结论？若仇为等比数列，则此也为等比数列.例2：我们知道,对于等橄列：6/+勺 +.+ + a an n= = ncinci

4、 + +需)d d成立。通过类比尝试发现等:匕数列中的相似结论 并加以证明。S S bb. b=14=14：例4：若数列仇是等差数列，则有数列乞丄y乜也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列“是等 比数列，且c0,则有心詡gc也是等比数列.对于等差数列陽有如下命题：“若是等差数列,q=O,s、t是互 不相等的正整数，则有(s-l) d广(t-l)冬=0”类比此命题，给出等比数列化相应的一个正确命题是：_f*雷TF! （T）a例5:在等差数列中，若=0,则有等式幻+也+幻+d dllll=d=dl l+a+a2 2+ +a al9l9_ _H H(n19(no,b bm m= a,h hn n

5、= = b.b.(m Hnn求.我们要根据实际情况选择适当的类比对象.如:截面圆bnamb b n-mn-m类比推理例2请用类比推理完成下表:平面空间三角形两边之和大于第三边二棱锥任意二个面的面积之 和大于第四个面的面积二角形的面积等于任意 一边的长度与这边上高 的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个 表面的面积与该表面上的高 的乘积的三分之一二角形的面积等于其内 切圆半径与三角形周长 的乘积的一半Lrr经分析可知:乙析I 三角形 I 的 I 面积 I 等于其 I 內切國半径与 I 三角形周长 I 的乘积的 I 一半类比 类比类比I 类比类比答案三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘 积

6、的三分之一主页三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱链表奁积的寒I1.若点0在ABC内， 则有结论SA0BC-OA+SAOAC- 0B4-SaB- 0C= 0,把命题类比推广到空间，若点。在四面体ABCD内，则有结论：_ .O-SCDO-SCDr r 2 22在RhARCRhARC中.若 ZC = 9Cf, AC = b,C = c 则XARCXARC外接圜半径r =yf_t_2运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两耳相垂直 fl 匕度分别为abcabc、JaJa2 2+h2+c2则其外接球的半径R R= =73若从点O所作的两条射线OM. ON上分別仃点与点N N“则三加形而枳之比为:仏=7肘若从

7、点。所作的不在同一个平面内的三条射线OP OQ和OR上分别冇SgN.SgN. OMOM2 2ONON2 2匕 r 如_ O斥OQORORX X =1 2 - 点斥、与点Q、2和尺、则类似的结论为：匕 ra：P P、Q Q，9 9 忆一忆知识要点2.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的 结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推 理是由一般到特殊的推理.2“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1大前提已知的一般原理；2小前提所研究的特殊情况；3结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.LOMj.V,耍点械理忆一忆知识要点(2)“三段论”可以表示为1大前提：M是厶2小前提：S是M

8、；3结论：S S 是 P.P.用集合说明： 即若集合M的所有元素都具有性质P, S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P I I Ml IW1演绎推理ititf 2例3数列“的前n n项和记为S”已知! =1,+1=-5,(n(ne N*),证明：(1)(1)数列普是等比数列； (2)(2) S S +i+i=4a=4a . .在推理论证过程中， 一些稍复杂一点的证明题常常要由几个 三段论才能完成.大前提通常省略不写，或者写在结论后面 的括号内，小前提有时也可以省略，而釆取某种简明的推理 模式.圭页工 A证明（l） . a“T = S”T-S“，如:.:.（lili+ 2）S“ =（S

9、“ +1 - S“），即wS*i =2 2（n n+ 1）S“ 鲁*2普，又“H0,（小前提）故牛是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）（大前提是等比数列的冬义，这里省略了）（2）由可知驚=4胃（工2）,S” -1/i - 1 + 2、八 ys小=4（+ 1）右=4- 二7盼 =4a4a （/&2）（）（小前提）又2 = 3$ = 3, 52*=+ a2= 1+3 = 4 = 4!,（小前提）I对于任意正整数，都有S S ii = = 4a4a （结论）（第（2）问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）-戒探究提高|演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首 先应该明确什

10、么是大前提，小前提，然后再找结论.王主页工密变式训练3已知数列仙满足：如=，+ J =必“+1V0厶1 1a an n1 1a an+ln+l( (wi) )；数列仇满足：仇=尤+1尤(d).求数列仙, 仇的通项公式；证明:数列仇中的任意三项不可能成等差数列.2解由题意可知，1-琢广3( (1-盗)2令c cn n= 1 -则c.i=qc“ 332又Cj = 1 - a? =,则数列c“是首项为Ci=a，公比为3的等比 数列，即。“弓宦匕又 心=2，*T0，故冷.(-1)十寸1-諮卜,叽=必7-必r 亠、132、1-4,61 才_ pi-1j_丄帥4丿(2)证明用反证法证明.假设数列 9“存在

11、三项 6,瓦，b bt t(rs(rbbs sbbn n则只可能有2b2bs s-b-br r+ + b bt t成立.342133_.4覇1两边同乘21_r= 3z l,化简得尹+賞才旷.由于rstrs22-5+2-52,24+5423-5+2-53,25+5523-52+22-53,将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加以推广, 使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可 以是)【4】若数列a中，41=1，2=3+5, 3=7+9+11，4尸13+15+17+19,，则网=512 厶析 由幻,幻，。3,的形式可归纳,1 + 2 + 3 + 4+ 7 = 7X；+7)=28.

12、。8的首项应为第29个正奇数，即2X29-1=57. “8=57+59+61+63+65+67+69+718x(57 +i【5】若数列a“的通项公式i）2,记c“ = 2（l5）（）（1 + 2。2）（1）试通过计算，C2，C C3 3的值，推测C” = ” + 1析ci=2(lai)=2X(l1)=2，C2=2(l_d)(l_a2) )=2X(l_4) )X (1_9) )=3，C3=2(l-如)(1一)(1如)=2 X (1X (1|) X (1)=|,/I/I + + 2 2故由归纳推理得主页 A【6】现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个 平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个

13、的茉顶点在另一个 的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为押.类比到空间， 有两个棱长均为a的正方体，其中一个的逍顶声在另一个的中 心则这两个正方体重叠部分的体积恒为討.易证RtAOPNRtAORM,因此s四边形OPAR=S正方形OMAN=4a类比到空间，两个棱长均为4的正方体重叠部分的体积为許N NMRMR十7II7观察下列等式C；+C；=232,C；+C+C；=27+2C；3+Cf3+C：3+C=2n-2%C7+ C：7 + C；7 + C黑 +C：；：；= 215+ 2根据上述规律，c爲+c爲+C爲+ +C：；：；：；：；= 2心+(-1) 2心规律37JI9I5,，4n-l;1357

14、R/z-l;【8】(2009-北京)已知数列满足：dm-3 =1，% 1=0, %=5WN*，则02 009 = 1“2 014 =解析02(X)9 = 4x503-3= 1，d2 ()14 = “ 007 = 2520,则d.d. = = 帆 6 二时, 数列血也是等比数列.V 主页【3】（烟台二模）已知命题：“若数列心 为等差数列，且a atntn=aa=aan n=b=b（m m n nG N*）,则=瞥 警；现已知等比数列b bn n（b bn nQ,nQ,n n n m m丘2）0加=0死=方（加工禺加、刃已2）,若类比上述 结论，则可得到亿+ =”厝主页【4】在等差数列a”中，若舛

15、o=O,则有等式舛+幺2+ + %=a=at t+2+- + 6/19_/J( (7? 19,相应地，在等比数列也屮，若代=1,则有等式晌.b,b,严如2 bg(bg(“ 17,” w2)成、/.仏析 首先类比等差数列和等比数列可得：若勺。=1,则有等式即中也=妙2h higig_ _n n(n9,(n9,neN*).再注意绻是勺，byby, ,勺9的中间项，由归纳推理得：若 bgbg = =1,贝胁肉.b bn n= = b bb b2 2.tt7 7_ _n n(n(n/“2+沪+。2R R = =_2_ 解：将直角三角形补成矩形，可知矩形的对角线的一半为矩形 外接圆的半径，也即直角三角形

16、外接圆的半径彎艺.类比，将三棱锥补成长方体，则长方体的对线用一半为K方体的外接球的半径，也即三梭锥外接球的半径.因为长方休的对角线长为+卢+庐, _所以其外接球半径为斥=如|土7.在ABC中，A丄AC, AD丄C于D则有 类比上述结论，猜想四而体A3CD中，A3、AC.AC.AD两两垂直,1_111A AAEAE丄平面BCD,BCD,则4尸一4胪+AL* 4小./?如图，连接BE交CD于F,连接AF.vABAB丄AC, AB丄AD,AD,ABAB丄平面ACT),ABAB丄AF.在RtZWBF中，AE丄BF,BF,1 1 1 Z- = Z- 4-Z-AEAE2 2ABAB2 2AFAF2 2在R

17、tZXACOl，AF丄CD,1 1.1 1111AFAF2 2ACAC2 2ADAD2 2 AEAE2 2ABAB2 2ACAC2 2ADAD2 2 例3设有双曲线 竽一# =1,耳也 是其两个焦点, 点胚在双曲线上.若ZF1MF2=90,求厶耳血2显巒； 号/ 若ZFAMF2=12时，AF1MF26J面积是多少?若NFYMF2=6时，广V MF?的面积又是多少？/ 观察以上计算结果， 你能看出随ZF1MF2的变 化，AF1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结 论.解:由双曲线方程知a a = = 2 2，b b = = 3c3c= =A/13,设I MF】1=打,1MFMF2 2l=r2?(卩由双曲线的定义知八-尸2=加=4./(1)ZFXMF2= 90,斤2+r+r2 2=( (2価2(2) (1)2，得”2= 1&二S“MF2 =舟=9 (2)若ZFMF2=60时，在FMF2中，由余弦定理，得I12=rr + r22-222 2cos60,中2 2 = =36. S S码MF2=申卩sin 60 = 9/3.F2XAF Fr rMFMF2 2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.(3)由以上计算结果，随着ZFXMF