巧用因式分解解题

1、巧用因式分解解题因式分解在解数学题和以后的学习中都有着非常广泛的应用，它 既是中考的重点，又是解决数学问题的工具，教材中实际应用例子比 较少，这就要求教师在教学中不能照本宣科， 在充分考虑学生的认知 结构与规律的基础上大胆的变动教材，灵活运用因式分解，可正确迅速地解决有关数学问题，收到事半功倍的效果，现举例说明.一、利用因式分解巧妙求值例 1 已知 a+b=5,ab=3,求 a2b+ab2 的值分析：此题按常规解法是很麻烦的，先解方程组 (目前还做不到)，然 后再代入求值。我们仔细观察不难发现：代数式含有公因式ab, 如果能用提公因式的方法把它提出来再整体带入，就会使问题 简便.解：a2b+a

2、b2=ab(a+b) =3x 5=15二、利用因式分解生产密码例2在日常生活中如取款、上网等都需要密码有一种用“因式 分解”法产生的密码方便记忆。原理是：如对于多项式x4 - y4,因式分解的结果(x- y) (x + y) (x2+ y2),若取x=9, y=9时，则各个因 式的值是：(x-y) =0, (x+ y) =18, (x2+ y2) =162,，于是就可以 把“018162作为一个六位数的密码。 对于多项式4x3 xy2取x=10, y=10时用上述方法产生的密码是 .(写出一个即可)分析：此题看似复杂，实际上并不难，只需把多项式分解因式，然 后分别求出各个因式的值，再把它们排列

3、即可。应当注意的是各个因式的顺序不一致，其密码的数字顺序也不一样。因此答案是不唯一的解：因为 4x3 xy2 =x (2x + y) (2x y),当 x=10, y=10 时(2x + y) =30, (2x y) =10,所以密码为 103010.三、利用因式分解判断整除性例372004 5 X 72003 + 72002能被17整除吗？说说你的理由.分析：能不能被17整除，关键看是否含有因式17,因此可以采用分解因式的方法。题中三项的公因数是72002，将其提出后，另一个因数为72 5X 7+ 3=17。所以能被17整除。1#解: 72004 5 X 72003 + 72002=7200

4、2X 72 5X 72002X 7+ 72002所以原式能被17整除。=7200(72 5X 7 + 3) =72002X 17四、利用因式分解设计方案例4请你写出一个三项式，使它能先“提公因式”，再“运用公 式”来分解因式。你编写的三项式是 .因式分解的结果是.分析：本题是一道设计方案的开放题。要求大家借助课本内容和思维方法编拟习题，依题设条件能用公式法分解且含有字母 a、b较简单的三项式有a2± 2ab+ b2，再考虑到先用“提公因式”法， 下面给出一些式子：2a2± 4ab + 2b2=2 (a2± 2ab + b2) =2 (a± b) 2,a3

5、± 2孑b + ab2=a (a2± 2ab+ b2) =a (a± b) 2,a2b±2ab2b3=b（a2±2abb2）=b（a±b）2，解： 2a2± 4ab 2b2，2（a±b）2，五、利用因式分解判断三角形形状例5 已知a、b、c是 ABC的三边的长，当 b2+ 2ab=c? + 2ac 时，判断 ABC的形状.分析：a、b、c是三角形三边的长，所以a、b、c都是大于0的数， 此类题往往利用因式分解将等式变形得到三边的关系，从而 判断三角形的形状 .解：由 b2+ 2ab=S + 2ac,得b2+ 2ab

6、+ a2=c2+ 2ac+ a2，所以（ a+b）2=（a+c）2由 a> 0, b> 0、c> 0,得 a+ b=a + c所以 b=c所以 ABC 为等腰三角形六、利用因式分解解方程例 6 解方程（ 14x+ 7）（2 5x38） + 7（1+ 2x）（3525x） =0 分析：此题按常规解法即： 先去括号, 得一二次方程, 且系数较大, 观察发现：方程左边可提取公因式进行分解因式,若先分解就容 易得多了 .解：原方程可化为：7（2x+ 1）（ 2 5x 38） + 7（2x+ 1）（3525x）=037 (2x + 1) (25x 38+ 35- 25x) =0 7 (

7、2x + 1) ( 3) =0二 2x+ 1=0 x=-总之，我们要在认真领会课程标准的基础上，反复通读教材，真 正吃透教材的全部内容，根据学生的实际，取其精华，灵活运用教学, 才能收到良好的效果。AB是OO的弦，0C丄OA交AB于点C,过点B的直线交 0C的延长线于点 E,且CE=BE,BE=2，/ E=60 ° .(1) 求证：直线 BE是O 0的切线;(2) 求O 0的半径和AB的长；在厶ABC中，AB=BC=12 , AB丄BC,点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以每秒1个单位长的速度作匀速直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动,PQ与AC相交于点D .

8、设P点运动时间为t秒， PCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式；(2 )求t为几秒时，S有最值？若有，求出这个最值；若没有，说明理由；(3) 当点P运动几秒时， PCQ与厶ABC的面积相等；(4) 作PE丄AC于点E,当点P、Q运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论.BP - A#图18已知它的母线长是 13cm，高是12cm,则这个圆锥体模型的表面积是 cm2.解：(1 )当t V 12秒时，P在线段AB上，此时 CQ=t, PB=12 t112 s t (12 -t)(12tt)22当t > 12秒时，P在线段AB延长线上，此时 CQ=t, PB=t 121 1

9、st (t -12)(t-12t)22(2)当tV 12秒时，1 s(1212 1 2 t )二 一一(t -6)- 1822当t=6秒时，S有最大值，S 最大=18,当 t > 12 秒时，s =丄(t2 _12t)=丄(t _6) 2 _182 21t=12 秒时，S有最小值，S最小=-(12 _ 6) 2 18 =36 ,6 分21(3) SaABC = AB BC =72,7 分21 2 当 tv 12 秒时，Sapcq=(12t -t )=722整理得 t2 -12t 144 =0，方程无解，,，8 分1当 t> 12 秒时，Sapcq=(t2 _12t) =722整理得t2-12t_144=0解得x=6_6、.5 (舍去负值)当点 P 运动 6 亠 6 5 秒时，SaPCQ=SABC,9 分(4)当