二次函数抛物线

1、二次函数抛物线1.1.定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数. .b , 4ac b2亦，kF3.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点a相等，抛物线的开口大小、形状相同平行于y轴(或重合)的直线记作x h. .特别地，y轴记作直线x 0. .口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同5.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法到顶点为( (h, ,k) )，对称轴是直线x(3(3)运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 . .用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性

2、进行验证，才能做到万无一失2.2.二次函数y ax2bx c用配方法可化成：y2a x h k的形式，其中a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a0时，开口向下;4.4.顶点决定抛物线的位置. .几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同,那么抛物线的(1(1)公式法：y ax2bx c22a，顶点是(4ab 4ac b2)2a 4a 对称轴是直线xb2a(2(2)配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y ax h2k的形式，得所以对称轴的6.6.抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样. .(2)b和a共同决

3、定抛物线对称轴的位置. .由于抛物线yax2bx c的对称轴是直线bbx，故：b 0时，对称轴为y轴；-0(即a、b同号)时，对称轴2a a在y轴左侧；0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧a(3)c的大小决定抛物线y ax2bx c与y轴交点的位置2当x 0时，y c，二抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点(0 0,c):c 0, ,与y轴交于正半轴；c 0, ,与y轴交于负半轴0. .7.7.用待定系数法求二次函数的解析式(1 1 )一般式：y ax2bx c. .已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式(2 2 )顶点式：y ax h2k. .已知图像的顶点或对称轴，通常

4、选择顶点式. .(3 3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x2，通常选用交点式：y a x X!x x2. . 12.12.直线与抛物线的交点2(1 1)y轴与抛物线y ax bx c得交点为(o,(o,c).).(2 2 )与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2bx c有且只有一个交点( (h, ,ah2bh c).).(3 3 )抛物线与x轴的交点2 .二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标 捲、x2，是对应一元二 次方程ax2bx c 0的两个实数根. .抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方 程的根的判别式判定：1有两个交点0抛物线与x轴相交；2有一个交点(顶

5、点在x轴上)0抛物线与x轴相切；3没有交点0抛物线与x轴相离. .c 0,抛物线经过原点以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. .如抛物线的对称轴在y轴右侧，则(4(4)平行于 x x 轴的直线与抛物线的交点同（3 3） 一样可能有 0 0 个交点、1 1 个交点、2 2 个交点当有 2 2 个交点时，两交点的纵坐标相 等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根（5 5） 次函数y kx n k 0的图像I与二次函数y ax2bx c a 0的图像G刃kx n的交点，由方程组2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时Iy ax bx c与G有两个交点；方程组只有一组解时I与G

6、只有一个交点；方程组无解时I与G没有交点b为X2,X1X2a. .二次函数解析式有三种:(6(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bxc与x轴两交点为A x!，0，B x2,0，由于x1、x2是方程ax2bx c0的两个根，故ABXiX2x1x22Xix224x1x24c一b24ac(i)(i)yax2bx c (a0)般式(2)(2)y顶点式；h,k顶点(3(3) y yx1x x2双根式；x1，0 X2，0是图象与x x 轴交点坐标。二. .二次函数图象:抛物线分布象限，可能在两个象限（1 1），三个象限（2 2三. .抛物线y ax （a 0）与抛物线y axbx c（a

7、 0）形状、大小相同，只有位2 2），四个象限（3 3）。置不同。(1(1) a a 决定开口: 0 0，没有实数x1,x2与 X X 轴无交点。六五点法作抛物线(2(2)找图象上关于直线 x x对称的四个点(如与坐标轴的交点等)2a(3(3)把上述五个点连成光滑曲线。七. .掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。四描点法画2ax bx c (a0)了解开口、顶点、对称轴、最值。a 0开口向上,0开口向下。a表示开口宽a越大开口越窄。(2)(2) 顶点b2a时，y y 有最值为2a24ac b4a(3)(3)对称轴xb2a(4(4) 与 y y 轴交点0 0，c c)，有且仅有一个(5(5) 与 x x 轴交点0)，令y 0则ax2bx c0 0，有x1x2，两交点 A A、Bo亠亠0 0，有x1X2，一个交点。(ay ax2bx c