45相似三角形

1、5 相似三角形1 1理解相似三角形的概念，会利用相似三角形的定义解理解相似三角形的概念，会利用相似三角形的定义解决实际问题决实际问题. .2.2.通过具体的情境和应用，深化对相似三角形的理解和通过具体的情境和应用，深化对相似三角形的理解和认识认识. .3.3.进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般的辩证关系，提高学生学习数学的兴趣和自信心与一般的辩证关系，提高学生学习数学的兴趣和自信心. .相似多边形的有关概念相似多边形的有关概念各各角对应相等角对应相等, ,各各边对应成比例边对应成比例的两个多边形叫做相似多的两个多边形叫做相似多边形

2、（边形（similar polygonssimilar polygons）. . 三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫相三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形似三角形 (similar (similar triangles).triangles).思考思考: :如何用符号表示两个三角形相似？如何用符号表示两个三角形相似？ABCDEF如：三角形如：三角形ABCABC与三角形与三角形DEFDEF相似，就记作：相似，就记作： ABC ABC DEF.DEF.注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！基本性质：基本性质：相似三角

3、形的各相似三角形的各对应角相等对应角相等，各对应，各对应边边对应成比例对应成比例. .ABCDEF如果如果ABC ABC DEF,DEF,那么那么A =D,B =E,C =F.A =D,B =E,C =F.EFBCDFACDEAB这个结论在今这个结论在今后学习的过程后学习的过程中作用很大中作用很大, ,你可要记得噢！你可要记得噢！1.1.两个全等三角形一定相似吗？为什么？两个全等三角形一定相似吗？为什么？相似相似. .因为对应角相等因为对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .2.2.两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个直角三角形不一定相似两个直角三角形

4、不一定相似. .因为对应角不一定相等因为对应角不一定相等, ,对应边也不一定成比例对应边也不一定成比例. .3.3.两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？相似相似. .因为对应角相等因为对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .4.4.两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等腰三角形不一定相似两个等腰三角形不一定相似. .BCDEFA30455cm3.5cm3.5cm【例例】如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是长是20m.20m.在这个草坪的图纸上，这条边长在这个草坪

5、的图纸上，这条边长5cm5cm，其他两边，其他两边的长度都是的长度都是3.5cm.3.5cm.求该草坪其他两边的实际长度求该草坪其他两边的实际长度. .解解: :草坪的实际形状和它在图纸上相应的形状相似草坪的实际形状和它在图纸上相应的形状相似. .所以实际所以实际的三角形与图上的三角形相似的三角形与图上的三角形相似, ,且它们的相似比为且它们的相似比为2 000:52 000:5= = 400:1.400:1.如果设其他两边的实际长度都是如果设其他两边的实际长度都是xcmxcm, ,那么那么x=3.5x=3.5400=1 400(cm400=1 400(cm),),1 400cm=14m1 4

6、00cm=14m. .所以所以, ,草坪其它两边的实际长度都是草坪其它两边的实际长度都是14m.14m.,14005 . 3x【例例2 2】如图如图, ,已知已知ABCABCADE,AE=5ac m,EC=3ac mADE,AE=5ac m,EC=3ac m, ,BC=bc mBC=bc m, ,A=45A=45, ,C=40C=40. .(1)(1)求求AEDAED和和ADEADE的大小的大小; ;(2)(2)求求DEDE的长的长. .ADBEC想一想：在例想一想：在例2 2的条件下的条件下, ,图中有哪些线段成比例图中有哪些线段成比例? ?图图中有互相平行的线段吗？中有互相平行的线段吗？解

7、解: : (1)(1)因为因为ADEADEABC,ABC,所以由相似三角形对应角相等所以由相似三角形对应角相等, ,得得AED=C=40AED=C=40. .在在ADEADE中中,AED+ADE+A=180,AED+ADE+A=180, ,即即4040+ADE+45+ADE+45 =180=180，所以，所以ADE=180ADE=180-40-40-45-45=95=95. .（2 2）因为）因为ADEADEABC,ABC,所以由相似三角形对应边成比例所以由相似三角形对应边成比例得得AEDE5aDE,.ACBC5a3ab5a b5b,DEcm .5a3a8即所以（）ABCDE.BCDEACAE

8、ABAD若若ADE ADE ABC,ABC,则则DAE=BAC, DAE=BAC, ADE=ABC,ADE=ABC,AED=ACB,AED=ACB,.CEBCDCACDEAB若若ABC ABC DEC,DEC,则则A=D, B=E,A=D, B=E,ACB=DCE,ACB=DCE,ABDEC这两个模型在今这两个模型在今后学习的过程中后学习的过程中作用很大！作用很大！ 这是两个极具代表性的相似三角形基本模型：这是两个极具代表性的相似三角形基本模型：“A”A”型和型和“X” X” 型型. .1.(1.(上海上海中考）下列说法中中考）下列说法中, ,正确的是正确的是( )( )（A A）锐角三角形都

9、相似）锐角三角形都相似（B B）直角三角形都相似）直角三角形都相似（C C）等腰三角形都相似）等腰三角形都相似（D D）等边三角形都相似）等边三角形都相似【解析解析】选选D.D.因为等边三角形的每一个角都等于因为等边三角形的每一个角都等于6060, ,且三边相等且三边相等. .因此因此, ,两个等边三角形满足对应角相等两个等边三角形满足对应角相等, ,对对应边成比例应边成比例, ,故它们相似故它们相似. .2.(2.(烟台烟台中考）如图中考）如图, ,ABCABC中中, ,点点D D在线段在线段BCBC上上, ,且且ABCABCDBA,DBA,则下列结论一定正确的是则下列结论一定正确的是( )

10、( )（A A）ABAB2 2=BCBD=BCBD（B B）ABAB2 2=ACBD=ACBD（C C）ABAD=BDBCABAD=BDBC（D D）ABAD=ADCDABAD=ADCD【解析解析】选选A.A.因为因为ABCABCDBA,DBA,所以所以 , ,即即ABAB2 2=BC=BCBD.BD.ABBC=BDAB3.3. 如图，已知如图，已知RtRtABCABC中，中，AC=3AC=3，BC=4BC=4，过直角顶点，过直角顶点C C作作CACA1 1ABAB，垂足为，垂足为A A1 1；再过；再过A A1 1作作A A1 1C C1 1BCBC，垂足为，垂足为C C1 1；过；过C C1 1作作C C1 1A A2 2ABAB，垂足为，垂足为A A2 2；再过；再过A A2 2作作A A2 2C C2 2BCBC，垂足为，垂足为C C2 2，这样一直做下去，得到了一组线段这样一直做下去，得到了一组线段CACA1 1，A A1 1C C1 1，C C1 1A A2 2，则则CACA1 1=_=_， =_.=_.4555C AA C【解析解析】答案：答案：通过本课时的学