混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价

1、 第4 期 * 2 余 2 征等 ： 混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价 9 定义 d2 =ln （ K ）-T+ T2H+ T， 则 S 2 2 * 軒 tS（T）>K=E 軒 t （B +WT）= E x>d T 2 H d2 乙姨2（ （T 1-t * 2H 2 2H ）+2（T-t ） e x- （BH （t ）+W （t ） 22（T2H-t2H）+2（T-t ） 2 dx= （BH （t ）+W （t ）-d2 * d2 - （BH （t ）+W （t ） * 乙 1 e 姨2 -z 2 2 姨2（T2H-t2H）+2（T-t ） dz= - 乙 1 e 姨2 -z

2、2 2 dz=N（d2） （20 ） 姨2（T2H-t2H）+2（T-t ） 考虑过程 BH*（t）+W*（t）=（BH（t）-t2H）+（W（t）-t） 并且记 （21 ） Z（t）=exp（BH（t）+W（t）- 1 2t2H- 1 2t） 2 2 则定理 3 给出 （22 ） 軒 tST S（T）>K（BH（T）+W（T）=erT E 軒 tZ（T） （BH（T）+W（T）=erT Z（t）E 軒 t* S（T）>K（BH*（T）+W*（T） E x>d * 2 注意 ln（S （T）=lnS+T- T2H- T+（BH（T）+W（T）= 2 2 lnS+T+ T2H+

3、 T+（BH*（T）+W*（T） 2 2 则可记 2 2 2 2 （23 ） d1 =ln（ K ）-T- T2H- T S 2 2 * 2 2 軒 t* S（T）>K（BH*（T）+W*（T）=E 軒 t* （BH*（T）+W*（T）= E x>d * 1 d1 乙姨2（ （T 1-t * 2H 2 2H ）+2（T-t ） e x- （BH （t ）+W （t ） 22（T2H-t2H）+2（T-t ） * * 2 dx= （BH * （t ）+W* （t ）-d1 * d1 - （BH （t ）+W （t ） * * 乙 * 1 e 姨2 -z 2 2 姨 （T -t ）+

4、（T-t ） 2 2H 2H 2 dz= - 乙 1 e 姨2 -z 2 2 dz=N（d1） （24 ） 姨2（T2H-t2H）+2（T-t ） 于是获得 軒 tS （T） S（T）>K（BH（T）+W（T）=erT Z（t）N（d1）=erT e-rt S （t）N（d1）=er（T-t）S （t）N（d2） E 则上述定价公式得证 。 参考文献 ： （25 ） 1 Biagini F ，Hu Y ，Ksendal B ， et al. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motions and ApplicationsM. Ber

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9、an call option and a risk -neutral evaluation theorem on condition that the underlying is driven by the mixed fractional Brownian motion. Key words: mixed fractional Brownian motion ；quasi-conditional expectation ；option 责任编辑 ： 蔡熹芸 ： （ 上接第 3 页 ） 4 Sullivan D. Itération des fonctions analytiques

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