高中数学《等差数列的前n项和》教学设计和简要实录

1、高中数学等差数列的前n项和教学设计和简要实录【课程分析】本节是高考中的重点内容之一，是在学生学习了等差数列的定义和通项公式的基础上，进一步解决有关的计算和实际问题.重点为等差数列的前n项和公式及其推导过程.难点为灵活运用等差数列的求和公式解决相关问题.【学情分析】学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，有了一定的准备知识，但对等差数列的求和的方法和公式还是一无所知。针对学生的认知规律，本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的使用范围.【学习目标】1、掌握等差数列的前n项和

2、公式及推导公式的思想方法和过程.2、能用等差数列求和公式进行有关的计算，会运用公式解决有关的实际问题.3、在解决实际问题的过程中，体会如何去分析问题，解决问题，激发学习数学的兴趣，提高综合能力.4、体会数学的文化价值，增强自己的数学素养.【设计理念】从实例引出求等差数列前n项和的问题，通过这个实例的解答，使学生了解“等差数列的前n项和公式”的意义，并给出倒序相加求和的方法，增强学生将实际问题抽象成数学模型的构建能力.例2及 “思考与讨论”讨论的是同一个问题，设计的意图是先借助实例，从具体到抽象，研究下面一组问题：已知数列an的前n项和Sn公式，这个数列是确定的，并且这个数列的通项公式可以表示成

3、an=，当n=1时，如果SnSn-1的值等于S1，那么an= SnSn-1（nN+）即为所求通项公式.学生比较容易接受，另外，通过组织学生的讨论，能增强学生的合作意识.【教学流程】一、复习旧知每个学生发一张白纸，同时让两个学生在黑板上板演，教师说检测内容：等差数列的定义及定义式；等差数列的通项公式；等差数列通项公式的推导方法.（设计意图：检查学生掌握上节知识的情况，为本节新课的学习做好准备.）（简要实录：学生认真做答，教师巡视，2分钟后，看到学生做答完毕，让学生将检测纸收起来.之后，教师和学生一起对黑板上的做答评价，订正.）二、引入新课1、创设情境：出示投影：如图1堆放着一堆钢管，最上层放了4

4、根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？ 图1 图2（设计意图：从实例引出求等差数列前n项和的问题，通过这个实例的解答，使学生了解“等差数列的前n项和公式”的意义.）（简要实录：教师引导学生，这堆钢管从上至下每层的数量组成首项a1=4，公差的等差数列.求这堆钢管有多少根，就是求这个等差数列前8项的和，怎样求这8项的和？学生开始小组讨论，3分钟后，小组代表纷纷发言，说出自己的思路.有的学生提出，可以联系三角形面积的得出办法，补成平行四边形，利用平行四边形面积的一半得出.）教师小结：很好，借助此思路，在这堆钢管旁，再堆放同样数量的钢管，如图2这时每层都有钢管（411）根，因此这

5、堆钢管的总数是（411）×8÷2=×8=60（根）.教师提出问题：对于等差数列an的前n项和Sn怎样求解？教师提示：a1an= a2an1= a3an2=，学生小组讨论，由小组代表发言，说出推导思路：Sn=a1a2a3an， 再把项的顺序反过来，Sn又可写成Sn=anan1an2a1， 把两边分别相加，得2 Sn=n（a1an），由此得到，求等差数列前n项和Sn公式Sn=.若将an= na1（n1）d代入得等差数列前n项和的又一公式Sn=na1d .教师让学生记忆公式并在笔记本上默写.出示投影：例1：等差数列an的公差为2，第20项a20=29，求前20项的和S2

6、0 .（设计意图：此题属于在等差数列中的五个量a1，an，n，d，Sn“知三求二”的题目，目的在于训练学生对等差数列的通项公式以及前n项和公式的综合应用能力.）（简要实录：教师引导，让学生得出解题的关键是通过通项公式解出a1，之后2个学生板演，其他同学在习题本上做，最后让学生看课本上的解答过程并进行订正.）出示投影：例2：已知数列an的前n项和Sn=2n230n.（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得Sn最小的序号n的值.（设计意图：让学生认识到：如果数列an的前n项和Sn已定，那么这个数列就确定了，利用二次函数来解决等差数列的前n项和的最值问题.）（简要实录：教师引导，让

7、学生得出解题的关键是通过通项公式解出a1，之后2个学生板演，其他同学在习题本上做，最后看课本解答过程订正.教师引导学生考虑其他解决办法，有一个小组的学生代表得出解决等差数列的前n项和存在最值问题.方法一：类似于二次函数，利用配方法求顶点坐标，但数列中nN+.方法二：先求通项公式，若，则数列的前项和最大；若，则数列的前n项和最小.全体同学都表示赞同，并给予热烈的掌声.教师也给予肯定，指出方法一抓住了前n项和公式的结构特点，转化到学生最熟悉的一元二次函数，通过配方法来解决；方法二是找项值的正、负分界点，计算简单.）出示投影：思考与讨论：1、如果已知数列an的前n项和Sn公式，那么这个数列确定了吗？

8、如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？2、如果一个数列的前n项和Sn=an2bnc（a、b、C为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？（设计意图：从例2到 “思考与讨论”，是让学生从具体到抽象，借助实例研究问题.）（简要实录：学生分成小组讨论，气氛非常活跃，各小组的成员纷纷发表自己的想法.结合例2，最终得出正确结论：已知数列an的前n项和Sn公式，这个数列是确定的，并且这个数列的通项公式可以表示成an=，当n=1时，如果SnSn-1的值等于S1，那么通项公式才能写成an= SnSn-1（nN+）.）教师强调：等式an= SnSn-1中的限制条件为n2，同学们易忽视而导致有些题

9、目得出错误的通项公式.出示投影：例3：李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年.（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？（设计意图：存款问题是数列中非常典型的应用问题，通过此题让学生认识到“等差数列的前n项和公式”在解决实际问题中的作用，会选择最佳方案.体会知识是由实践到理论，再作用于实践不断循环提炼而成的辨证唯物主义观点.）（简要实录：教师引导学生，让学生思考并积极发言.教师点出

10、解决的关键是将实际问题化成数学问题，最后投影完整的解答过程.）3.巩固反馈：（课后练习A、B中部分题目）1、根据下列各题中的条件，求相应等差数列an的前n项和Sn：（1）a1=6，d=3，n=10；（2）a1=2，an=6，n=8；（3）a4=10，a10=2，n=12；2、计算135（2n3）.3、求等差数列63，60，12的各项的和.4、在2位正整数中，有多少个除以3余1的数？求它们的和.5、等差数列4，3，2，1，前多少项的和是18？6、求集合m|m=7n，nN，且m100的元素个数，并求这些元素的和.7、等差数列14，11，8，前多少项的和最大？为什么？8、数列an中，已知Sn= ，求

11、an的通项公式.（设计意图：讲练结合，提高学生动手解题的能力，并把当堂知识巩固好，加强知识的落实.）（简要实录：点名让8名同学到黑板板演，其他同学在习题本上做.学生都在迅速做答，10分钟后，教师让板演的学生讲解自己的解题思路，师生共同订正，点评出现的错误和解决的关键.）投影答案：1、（1）195；（2）72；（3）60. 2、项数为n2，很多学生错认为n项 .3、项数为26，和为663.4、项数为18，和为945.5、12.6、14，和为735.7、an=173n，a50，a60，前5项的和最大.8、an=.有些学生错解为an= .4.反思小结：（设计意图：提高学生对本节课的整体印象，巩固知识

12、要点，学会归纳系统知识.）（简要实录：教师让学生思考1分钟，让学生自己来总结本节课的知识要点.学生主动站起来口述，其他学生补充.得出本节课的知识要点为（出示投影）：等差数列的前n项和公式的推导公式倒序相加求法；等差数列的前n项和公式：Sn= =na1d ，a1，an，n，d，Sn中“知三求二”.掌握求等差数列的前n项和最值问题的方法：方法一：类似于二次函数，利用配方法求顶点坐标，但注意数列中nN+.方法二：先求通项公式，若，则数列的前项和最大；若，则数列的前n项和最小.）5.探究性作业（出示投影）1、已知两个等差数列和的前n项和之比为（nN*），则等于（ ）A. B. C. D. 2、设f（x

13、）=，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（5）f（4）f（0）f（5）f（6）的值为 .3、已知数列an的前n项和Sn=2n230n.（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得Sn最大的序号n的值.（设计意图：这三个小题留做课下作业，目的是为了加深学生对等差数列求和公式推导方法的理解以及对公式Sn=和公式Sn=na1d结构特点的掌握.）【课后反思】我校开展的“积极学习策略”的研究，为师生搭建了一个展示的舞台.学校为各班添加了多块黑板，为了让更多的学生展示自己的解题思路和过程，使思维中出现的问题更清楚地展现在师生面前.另外，变老师的讲解为学生的讲解，能锻炼学生的文字语言组织能力和逻辑能力.学生互相帮教，小组讨论，简单问题小组内解决，问题集中的问题再