高等数学第五章 定积分及自测题

1、第五章 定积分一、 基本要求：1. 理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.2. 理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.3. 掌握牛顿莱布尼兹公式.4. 掌握定积分的换元法和分布积分法.5. 理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法.6. 了解定积分的近似计算方法.二、 主要内容 定积分概念定积分的近似计算方法定积分的换元法定积分的性质积分上限的函数及其导数定积分的分部积分法定积分的几何意义(物理意义)利用对称区间的积分性质计算定积分牛顿莱布尼兹公式反常积分的审敛性无穷限的反常积分计算无界函数的反常积分计算反常积分(广义积分)利用周期性计算定积分. 定积

2、分概念：1. 定积分定义：设在区间上有界，在中任意插入若干个分点.把分成个小区间，小区间的长度记为，在上任意取一点，作，若 存在. 就称该极限为在上的定积分.记为当上述极限存在时，称在上可积.2. 若在上连续，则在上可积。3. 若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积. . 定积分的几何意义 定积分在几何上表示：由曲线，直线和以及轴所围图形面积的代数和 (轴上方的面积取正，轴下方的面积取负). 定积分的性质1. 补充规定：(1)当时，(2)当时, 2. 性质：(1) (2) (3) (4)(5) 若在上，则 推论1：若在上，则. 推论2：.(6 ) 若在上，,则(7) (定积分中值定理)：若

3、在上连续，则在上至少存在，使.3. 连续函数在上的平均值，. 积分上限函数及其导数1. 若对任意，存在，则称为积分上限的函数.2. 若在上可积，则在上有界. 且积分上限函数在上连续.3. 设在上连续，则在上可导，且.4. 设连续，可导，则. 5. 设连续，可导，则 . 牛顿莱布尼兹公式.(微积分基本定理) 设在上连续，为在上的一个原函数，则. 定积分的换元法 设在上连续，满足： (1) .(2)在(或)上具有连续导数，且的值域不越出的范围，则有.注：当的值域越出的范围，但满足其余条件时，只要在上连续，则换元法的结论仍然成立. 定积分的分部积分法 设与在上具有连续导数，则有 . 几类特殊的积分公

4、式1. 设在上连续，则有. 2. 设是以为周期的连续函数，则对任意实数，有.3. 设在上连续，则 4. . 反常积分(广义积分)1. 无穷限的反常积分(1) 设在上连续, (2) 设在上连续, (3) 设在上连续, 若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散.2. 无界函数的反常积分(1) 设在上连续，点为的瑕点，(2) 设在上连续，点为的瑕点，(3) 设在上除点外连续，点为的瑕点，若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右

5、端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散.3. 反常积分的审敛法(1) (比较审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数及，使得 ，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散.(2) (极限审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若，(或)则反常积分发散.(3) (比较审敛法2)设在上连续，且. 为的瑕点.若存在常数及，使得，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散.(4) (极限审敛法2) 设在上连续，且. 为的瑕点. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若，(或)则反常积分发散.三、 重点与难点1.

6、积分上限的函数及其导数.2. 牛顿莱布尼兹公式.3. 定积分的换元法和分部积分法.四、 例题解析例1 求分析 由定积分定义知，可见求右端的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.解 原式 例2下列解法是否正确(1). (2).，即解 这两题的解法都不正确.(1) 被积函数在积分区间内处不满足“牛顿莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式.(2) 代换在上不连续，故在上不可导，不符合换元法的条件. 例3 求下列定积分(1) (2) (3) (4)解 注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函

7、数，则转化为分段函数的积分.(2) (3) (4) 令则 原式 例4设连续，求解 (1) 注：此题没有可导的条件，故“(1) 式两边再对求导得”这种解法是错误的.例5计算下列极限(1) (2) 解 (1) (2) 例6 设为连续函数，且，求.解 两边对求导，得 整理后，有 令， 即得 例7 设在内连续，且证明 (1) 若为偶函数，则也是偶函数. (2) 若为单减函数，则也是单增函数 .证 (1) ， 即为偶函数 (2) 由单减，当时， 当时，. 即在上，为单增函数. 例8 计算下列各题： (1) (2)解 (1) 为奇函数，为偶函数.原式=(2) 分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的

8、定积分有公式，若在上容易积分，该公式就可利用了.解： 例9 计算 (为正整数)解 原式 注： 是周期为的周期函数.例10 求 解 令， 原式 设 (1) 而 代入(1)式 得 所以 例11求 解 于是 例12 求.解 为的函数，令 原式 例13 设函数(1) 当为正整数，且时，证明(2) 求解 (1) 由,且 由于是周期为的周期函数， 同理 因此，当时，有(2) 由(1)知当 即有，令，有.而 ， 例14 设在上连续，且单调递减，证明对,有证法一 于是= =由积分中值定理 因此 = ()因单减，则有，即.证法二 设 () （）即在上单调不增，即，即有.注：此题还可以用积分换元法加以证明.例15

9、 设在上连续，内可导，且满足. 证明在内至少有一点使.证 设，由积分中值定理， ()即，而即，由罗尔定理，存在，使而，即有也即 ，.例16 计算下列反常积分：(1) (2) (3)解 (1) = = =.(2) 令， = =.(3) , 为被积函数的瑕点. = = = = =例17 已知，.求的值.解 即 .例18 设， 求函数的表达式.解 因为在上为，在之外都为零.故而当时，由于积分变量，故总有从而，.当时，当积分变量在上变化时，所以从而 当时，.综上 注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.第六章 定积分 自测题 A卷一、选择题(每小题3分，共

10、15分).1.( )(A) (B) (C) (D) 2.,则( )(A)化为后计算(B)进行代换后计算(C)进行代换，后计算(D) 进行代换后计算3.设连续且，若在处连续，则( )(A) (B) (C)不存在 (D) 4.设在上连续，则等于( )(A) (B)0 (C) (D)5.设是连续的奇函数，则的任一原函数( )(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数二、(7分)求.三、计算下列各题(每题6分，共12分). 1. 2. 设，求.四、 计算下列定积分(每题8分，共56分). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.五、(10分) 设，求.第六章

11、 定积分 自测题 B卷一、选择题(每小题3分，共15分)1.设，且在连续，则( )(A)在上， (B)必存在，使(C)存在唯一的，使 (D)不一定存在，使2.设，()，则( )(A)对一切，有 (B)仅当时，有(C)对一切，有 (D)仅当时，有3.当时，与比较，是( )(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小(C)同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小4.函数在区间上的最小值为( )(A) (B) (C) (D)05.( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)1二、填空题(每小题3分，共15分).1. 设为连续函数，则.2. .3. 若，则.4. 设，而 ，则.5. .三、计算下列各题(每题8分，共5

12、6分).1. 2.3. 4.5. 6.7. 已知，求.四、(8分) 设 ,试求.五、(6分) 设在上连续，内可导，且. 证明：在内至少存在一点，使.第六章 定积分 自测题 C卷一、选择题(每小题3分，共18分).1.设为连续函数，那么函数为( )(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)单调增加函数2.( )(A) (B)(C) (D)3. 函数在闭区间上连续是定积分存在的( )(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 4. 设 ， 则( )(A) (B)(A) (A)5. 设连续，则( )(A) (B) (C) (D)6. 广义积分收敛的是( )(A) (B)(C) (D)二、填空题(每小题3分，共12分).1. .2.设在上连续，且，则.3.设为连续函数，且，则.4.三、计算下列各题(每题8分，共40分).1. 2.3. 4.5.四、(10分) 已知，试求的值.五、(10分) 已知，求的值.六、(10分) 设在上连续，且.证明：，其中.定积分自测题答案自测题(A)一、 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A二、 .三、 1.1 2.四、 1. 2