高考专题―带电粒子在复合场中运动的应用-常见仪器原理

1、带电粒子在匀强磁场中的运动夯实基础知识1、在不计带电粒子(如电子、质子、粒子等基本粒子的重力的条件下,带电粒子在匀强磁场有三种典型的运动,它们决定于粒子的速度(v 方向与磁场的磁感应强度(B 方向的夹角(。 (1若带电粒子的速度方向与磁场方向平行时,粒子不受洛仑兹力作用而作匀速直线运动。(2若粒子的速度方向与磁场方向垂直,则带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 作匀速圆周运动,其运动所需的向心力全部由洛仑兹力提供。(3若带电粒子的速度方向与磁场方向成一夹角(0°,90°,则粒子的运动轨迹是一螺旋线(其轨迹如图:粒子垂直磁场方向作匀速圆周运动,平行磁场方向作匀速运动,螺

2、距S=v T 。BSV VV2、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的几个基本公式 向心力公式:BqV mVR=2轨道半径公式:R m V BqP Bq=周期、频率和角频率公式: T R Vm Bq=22mBq T f 21=mBq f T=22动能公式:(E mVPmBqR mK =1222222T 、f 和的两个特点第一、T 、 f 的的大小与轨道半径(R 和运行速率(V 无关,而只与磁场的磁感应强度(B 和粒子的荷质比(q/m 有关。第二、荷质比(q/m 相同的带电粒子,在同样的匀强磁场中,T 、f 和相同。 3、带电粒子的轨道圆心(O 、速度偏向角(是指末速度与初速度之间的夹角、回旋角(

3、一段圆弧所对应的圆心角叫回旋角、和弦切角(圆弧的弦与过弦的端点处的切线之间的夹角叫弦切角。 在分析和解答带电粒子作匀速圆周运动的问题时,除了应熟悉上述基本规律之外,还必须掌握确定轨道圆心的基本方法和计算、和的定量关系。如图6所示,在洛仑兹力作用下,一个作匀速圆周运动的粒子,不论沿顺时针方向还是逆时针方向,从A 点运动到B 点,均具有三个重要特点。第一、轨道圆心(O 总是位于A 、B 两点洛仑兹力(f 的交点上或AB 弦的中垂线(OO '与任一个f 的交点上。第二、粒子的速度偏向角(,等于回旋角(,并等于AB 弦与切线的夹角弦切角(的2倍,即 = = 2 = t 。第三、相对的弦切角(相

4、等,与相邻的弦切角(' 互补,即 + ' = 180° 二、“电偏转”与“磁偏转”的比较1、概念:带电粒子垂直电场方向进入匀强电场后,在电场力作用下的偏转叫“电偏转”。带电粒子垂直磁场进入匀强磁场后,在洛伦兹力作用下的偏转叫“磁偏转”。2、“电偏转”和“磁偏转”的比较。(1带电粒子运动规律不同。电偏转中:粒子做类平抛运动,轨迹为抛物线,研究方法为运动分解和合成,加速度a =Eq/m ,(粒子的重力不计侧移量(偏转量y =at 2/2=qEt 2/2m ;磁偏转中:带电粒子做匀速圆周运动,从时间看T=2m/qB ,从空间看:R=mv/qB 。V 0Ox E EEV x

5、V yVyYX电偏转(2带电粒子偏转程度的比较。电偏转:偏转角(偏向角E =tan -1(V Y /V X =tan -1(Eqt/mv 0,由式中可知:当偏转区域足够大,偏转时间t 充分长时,偏转角E 接近/2,但不可能等于/2。磁偏转的偏转角B =t =Vt/r =qBt/m ,容易实现0角的偏转B OXY V 0V BOB磁偏转三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。对磁场边界约束时,可以使磁场有着多种多样的边界形状,如:单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。这类问题中一般设计为:带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场

6、,在磁场内经历一段匀速圆周运动后离开磁场。粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不同,使粒子运动轨迹不同,导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同,由此带来很多临界问题。 1、基本轨迹。(1单直线边界磁场(如图1所示。O 1O 2OV 1V 2V V V 1V 21212图(1带电粒子垂直磁场进入磁场时。如果垂直磁场边界进入,粒子作半圆运动后垂直原边界飞出;如果与磁场边界成夹角进入,仍以与磁场边界夹角飞出(有两种轨迹,图1中若两轨迹共弦,则1=2(2平行直线边界磁场(如图2所示。V 1V 2V 3O 1O 2O 3图(2q带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时, 速度较小时,作半圆运动后从原边界飞出;

7、速度增加为某临界值时,粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切;速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。 (3矩形边界磁场(如图3所示。V 1V 2V 3O 1O 2O 3图(3O 4V 4q带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时, 速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出; 速度在某一范围内时从侧面边界飞出;速度为某临界值时,粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切; 速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。(4带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点。特点1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心,则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。例1。如图1,圆形区域内存在垂直纸

8、面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,现有一电荷量为q,质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径入射,设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为60,求此离子在磁场区域内飞行的时间。 特点2 入射速度方向(不一定指向区域圆圆心与轨迹圆弧对应的弦的夹角为(弦切角,则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2,轨迹圆弧对应的圆心角也为2,并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。 如图3,带电粒子从a点射入匀强磁场区域,初速度方向不指向区域圆圆心,若出射点为b,轨迹圆的圆心O在初速度v方向的垂线和弦ab的垂直平分线的交点上,入射速度方向与该中垂线的交点为d,可以证明:出射速度

9、方向的反向延长线也过d点,O、d、O都在弦ab的垂直平分线上。如果同一种带电粒子,速度方向一定、速度大小不同时,出射点不同,运动轨迹对应的弦不同,弦切角不同,该轨迹圆弧对应的圆心角2也不同,则运动时间tmqB=2也不同。例2。如图4所示,在xOy坐标系第一象限内有一个与x轴相切于Q点的圆形有界匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向外,一带电粒子(不计重力质量为m,带电荷量为+q,以初速度v0从P点进入第一象限,=30,经过该圆形有界磁场时,速度方向偏转了60,从x轴上的Q点射出。 问:在第一象限内圆形磁场区域的半径多大?,也可在图4中体会一下,如果区域圆半径过大或过小,弦(入射点和Q点的连线

10、也会发生变化,可以看出弦切角不再是30,那么偏转角也就不会是60了。2.基本方法。带电粒子在匀强磁场中作部分圆周运动时,往往联系临界和多解问题,分析解决这类问题的基本方法是:(1运用动态思维,确定临界状态。从速度的角度看,一般有两种情况:粒子速度方向不变,速度大小变化;此时所有速度大小不同的粒子,其运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上,速度增加时,轨道半径随着增加,寻找运动轨迹的临界点(如:与磁场边界的切点,与磁场边界特殊点的交点等;粒子速度大小不变,速度方向变化;此时由于速度大小不变,则所有粒子运动的轨道半径相同,但不同粒子的圆心位置不同,其共同规律是:所有粒子的圆心都在以入射点为圆心,以

11、轨道半径为半径的圆上,从而找出动圆的圆心轨迹,再确定运动轨迹的临界点。(2确定临界状态的圆心、半径和轨迹,寻找临界状态时圆弧所对应的回旋角求粒子的运动时间。四.带电粒子在匀强磁场运动的多解问题带电粒子在匀强磁场中运动时,可能磁场方向不定、电荷的电性正负不定、磁场边界的约束、临界状态的多种可能、运动轨迹的周期性以及粒子的速度大小和方向变化等使问题形成多解。1.带电粒子的电性不确定形成多解。当其它条件相同的情况下,正负粒子在磁场中运动的轨迹不同,形成双解。2.磁场方向不确定形成多解。当磁场的磁感应强度的大小不变,磁场方向发生变化时,可以形成双解或多解。3.临界状态不唯一形成多解。带电粒子在有界磁场

12、中运动时,可能出现多种不同的临界状态,形成与临界状态相对应的多解问题。4.带电粒子运动的周期性形成多解。粒子在磁场中运动时,如果改变其运动条件(如:加档板、加电场、变磁场等可使粒子在某一空间出现重复性运动而形成多解五.磁场最小范围问题近年来高考题中多次出现求圆形磁场的最小范围问题,这类问题的求解方法是:先依据题意和几何知识,确定圆弧轨迹的圆心、半径和粒子运动的轨迹,再用最小圆覆盖粒子运动的轨迹(一般情况下是圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦,所求最小圆就是圆形磁场的最小范围带电粒子在复合场中运动的应用一.速度选择器原理速度选择器是近代物理学研究中常用的一种实验工具,其功能是为了选择某种速度的带

13、电粒子1.结构:如图所示(1平行金属板M 、N ,将M 接电源正极,N 板接电源负极,M 、N 间形成匀强电场,设场强为E ;(2在两板之间的空间加上垂直纸面向里的匀强磁场,设磁感应强度为B ; (3在极板两端加垂直极板的档板,档板中心开孔S 1、S 2,孔S 1、S 2水平正对。 2.原理工作原理。设一束质量、电性、带电量、速度均不同的粒子束(重力不计,从S 1孔垂直磁场和电场方向进入两板间,当带电粒子进入电场和磁场共存空间时,同时受到电场力和洛伦兹力作用 Bq F Eq F =洛电,若洛电F F =Bq Eq =v E B0=。即:当粒子的速度v E B0=时,粒子匀速运动,不发生偏转,可

14、以从S 2孔飞出。由此可见,尽管有一束速度不同的粒子从S 1孔进入,但能从S 2孔飞出的粒子只有一种速度,而与粒子的质量、电性、电量无关 3.几个问题(1粒子受力特点电场力F 与洛仑兹力f 方向相反(2粒子匀速通过速度选择器的条件带电粒子从小孔S 1水平射入, 匀速通过叠加场, 并从小孔S 2水平射出,电场力与洛仑兹力平衡, 即Bq Eq =;即v E B0=;(3使粒子匀速通过选择器的两种途径: 当0v 一定时调节E 和B 的大小;当E 和B 一定时调节加速电压U 的大小; 根据匀速运动的条件和功能关系, 有qU mv m E B = 1212022, 所以, 加速电压应为221=B E q

15、 m U 。(4如何保证F 和f 的方向始终相反将0v 、E 、B 三者中任意两个量的方向同时改变, 但不能同时改变三个或者其中任意一个的方向, 否则将破坏速度选择器的功能。 (5如果粒子从S 2孔进入时,粒子受电场力和洛伦兹力的方向相同,所以无论粒子多大的速度,所有粒子都将发生偏转(6两个重要的功能关系当粒子进入速度选择器时速度v E B0, 粒子将因侧移而不能通过选择器。如图, 设在电场方向侧移d 后粒子速度为v , 当BE v >0时: 粒子向f 方向侧移, F 做负功粒子动能减少, 电势能增加, 有2202121mv d qE mv +=当BE v <0时:粒子向F 方向侧

16、移, F 做正功粒子动能增加, 电势能减少, 有1212022m v qE d m v+=;二.质谱仪质谱仪主要用于分析同位素, 测定其质量, 荷质比和含量比, 如图所示为一种常用的质谱仪 1.质谱仪的结构原理ASCS 1S 2S 3S 4Vr PF BDB 0VU M N(1离子发生器O (O 中发射出电量q 、质量m 的粒子,粒子从A 中小孔S 飘出时速度大小不计; (2静电加速器C :静电加速器两极板M 和N 的中心分别开有小孔S 1、S 2,粒子从S 1进入后,经电压为U 的电场加速后,从S 2孔以速度v 飞出;(3速度选择器D :由正交的匀强电场E 0和匀强磁场B 0构成,调整E 0

17、和B 0的大小可以选择度为v 0=E 0/B 0的粒子通过速度选择器,从S 3孔射出;(4偏转磁场B :粒子从速度选择器小孔S 3射出后,从偏转磁场边界挡板上的小孔S 4进入,做半径为r 的匀速圆周运动;(5感光片F :粒子在偏转磁场中做半圆运动后,打在感光胶片的P 点被记录,可以测得PS 4间的距离L 。装置中S 、S 1、S 2、S 3、S 4五个小孔在同一条直线上 2.问题讨论:设粒子的质量为m 、带电量为q (重力不计, 粒子经电场加速由动能定理有:221m qU =;粒子在偏转磁场中作圆周运动有:Bqm L 2=;联立解得:UL qB m 822=228LB U mq =另一种表达形

18、式同位素荷质比和质量的测定: 粒子通过加速电场,通过速度选择器, 根据匀速运动的条件: 0B E v =。若测出粒子在偏转磁场的轨道直径为L , 则BqB mE Bqmv R L 0222=, 所以同位素的荷质比和质量分别为EBqL B m BLB E mq 2;200=。三.磁流体发电机磁流体发电就是利用等离子体来发电。1.等离子体的产生:在高温条件下(例如2000K 气体发生电离,电离后的气体中含有离子、电子和部分未电离的中性粒子,因为正负电荷的密度几乎相等,从整体看呈电中性,这种高度电离的气体就称为等离子体,也有人称它为“物质的第四态”。2.工作原理: 磁流体发电机结构原理如图(1所示,

19、其平面图如图(2所示。M 、N 为平行板电极,极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场,让等离子体平行于极板从左向右高速射入极板间,由于洛伦兹力的作用,正离子将向M 板偏转,负离子将向N 板偏转,于是在M 板上积累正电荷,在N 板上积累负电荷。这样在两极板间就产生电势差,形成了电场,场强方向从M 指向N ,以后进入极板间的带电粒子除受到洛伦兹力洛F 之外,还受到电场力电F 的作用,只要电洛F F >,带电粒子就继续偏转,极板上就继续积累电荷,使极板间的场强增加,直到带电粒子所受的电场力电F 与洛伦兹力洛F 大小相等为止。此后带电粒子进入极板间不再偏转,极板上也就不再积累电荷而形成稳定的电势差3.

20、电动势的计算: 设两极板间距为d , 根据两极电势差达到最大值的条件电洛F F =, 即dBB E v =, 则磁流体发电机的电动势=Bdv 。四.回旋加速器1932年美国物理学家劳伦斯发明的回旋加速器,是磁场和电场对运动电荷的作用规律在科学技术中的应用典例,也是高中物理教材中的一个难点,其中有几个问题值得我们进一步探讨回旋加速器是用来加速带电粒子使之获得高能量的装置。OB1.回旋加速器的结构。回旋加速器的核心部分是两个D 形金属扁盒(如图所示,在两盒之间留有一条窄缝,在窄缝中心附近放有粒子源O 。D 形盒装在真空容器中,整个装置放在巨大的电磁铁的两极之间,匀强磁场方向垂直于D 形盒的底面。把

21、两个D 形盒分别接到高频电源的两极上。2.回旋加速器的工作原理。如图所示,从粒子源O 放射出的带电粒子,经两D 形盒间的电场加速后,垂直磁场方向进入某一D 形盒内,在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动,经磁场偏转半个周期后又回到窄缝。此时窄缝间的电场方向恰好改变,带电粒子在窄缝中再一次被加速,以更大的速度进入另一D 形盒做匀速圆周运动,这样,带电粒子不断被加速,直至它在D 形盒内沿螺线轨道运动逐渐趋于盒的边缘,当粒子达到预期的速率后,用特殊装置将其引出。3.问题讨论。(1高频电源的频率电f 。带电粒子在匀强磁场中运动的周期Bqm 2T =。带电粒子运动时,每次经过窄缝都被电场加速,运动速度不断增加

22、,在磁场中运动半径不断增大,但粒子在磁场中每运动半周的时间qBm T t =2不变。由于窄缝宽度很小,粒子通过电场窄缝的时间很短,可以忽略不计,粒子运动的总时间只考虑它在磁场中运动的时间。因此,要使粒子每次经过窄缝时都能被加速的条件是:高频电源的周期与带电粒子运动的周期相等(同步,即高频电源的频率为mqB f 2=电,才能实现回旋加速。(2粒子加速后的最大动能E 。由于D 形盒的半径R 一定,粒子在D 形盒中加速的最后半周的半径为R ,由Rm Bq 2=可知mBqR =,所以带电粒子的最大动能mR q B m E 222222=。虽然洛伦兹力对带电粒子不做功,但E 却与B 有关; 由于E m

23、nqU =22,由此可知,加速电压的高低只会影响带电粒子加速的总次数,并不影响回旋加速后的最大动能。 (3能否无限制地回旋加速。由于相对论效应,当带电粒子速率接近光速时,带电粒子的质量将显著增加,从而带电粒子做圆周运动的周期将随带电粒子质量的增加而加长。如果加在D 形盒两极的交变电场的周期不变的话,带电粒子由于每次“迟到”一点,就不能保证粒子每次经过窄缝时总被加速。因此,同步条件被破坏,也就不能再提高带电粒子的速率了 (4粒子在加速器中运动的时间:设加速电压为U ,质量为m 、带电量为q 的粒子共被加速了n 次,若不计在电场中运动的时间,有:mR q B E nqU 2222max =所以mU

24、qR B n 222=又因为在一个周期内带电粒子被加速两次,所以粒子在磁场中运动的时间 时间UBR T n t 222=磁若计上粒子在电场中运动的时间,则粒子在两D 形盒间的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动,设间隙为d ,有:221电t mdqU nd =所以UBdR qUm nd t =22电故粒子在回旋加速器中运动的总时间为t = t电 + t 磁 = BR ( 2d + R 2U 因为 R >> d ，所以 t 磁 >> t电 ，故粒子在电场中运动的时间可以忽略 【例题】有一回旋加速器，两个 D 形盒的半径为 R，两 D 形盒之间的高频电压为 U，偏 转磁场的

25、磁感强度为 B。如果一个 粒子和一个质子，都从加速器的中心开始被加速，试求 它们从 D 形盒飞出时的速度之比。 错解： 错解：当带电粒子在 D 形盒内做圆周运动时，速率不变。当带电粒子通过两个 D 形盒之 间的缝隙时，电场力对带电粒子做功，使带电粒子的速度增大。设带电粒子的质量为 m，电 荷为 q， 在回旋加速器中被加速的次数为 n， D 形盒飞出时的速度为 V， 从 根据动能定理有： nqU = 1 mV 2 ，解得 V = 2 2nqU 。 m 由上式可知，带电粒子从 D 形盒飞出时的速度与带电粒子的荷质比的平方根成正比，所 以 V 1 = 。 VH 2 分析纠错： 分析纠错：上法中认为

26、粒子和质子在回旋加速器内被加速的次数相同的，是造成错解 的原因。因带电粒子在 D 形盒内做匀速圆周运动的向心力是由洛仑兹力提供的，对带电粒 子飞出回旋加速器前的最后半周，根据牛顿第二定律有： qBV = m V2 q 解得 V = BR 。 R m 因为 B、R 为定值，所以带电粒子从 D 形盒飞出时的速度与带电粒子的荷质比成正比。 因 粒子的质量是质子质量的 4 倍， 粒子的电荷量是质子电荷量的 4 倍，故有： 五霍尔效应若 1霍尔效应。金属导体板放在垂直于它的匀强磁场中，当导体板中通过电流时，在平行 于磁场且平行于电流的两个侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应。 V 1 = VH 2 2霍尔效应的解释。如图，截面为矩形的金属导体，在方向通以电流，在方向加 磁场，导体中自由电子逆