小波分析理论及其应用

1、上海大学20102011学年冬季学期研究生课程课程名称： 信息采集与处理技术课程编号： 091102910论文题目：小波分析理论及其应用研究生姓名：刘金鼎学 号：11721228论文评语：成绩：任课教师：昝鹏评阅日期：小波分析理论及其应用刘金鼎上海大学 机电工程与自动化学院，上海 200072 ）摘要 ：小波分析的理论与方法是从 Fourier 分析的思想方法演变而来的。就象 Fourier 分析分为积分 Fourier 变 换和 Fourier 级数一样，小波分析也分为 （ 积分 ） 小波变换和小波级数两部分， （ 积分 ） 小波变换的主体是连续小波 变换，多尺度小波变换和 s-进小波变换；

2、而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论。小波分析理论深刻， 应用广泛，并且仍在迅速发展之中。本文作者作为初学者，单单就（积分）小波变换这一理论中比较基本和初步 的东西所作的一点归纳和整理，介绍了小波变换的定义及特点，以及多分辨率分析的问题，最后以一些图像去噪 应用来形象说明小波分析的作用。关键词 ：傅里叶分析；小波分析；多分辨率PXI BusLIU Jin-ding（School of Mechatronics Engineering & Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China）Abstract: The the

3、ory and methods of wavelet analysis comes from Fourier analysis .Just as Fourier analysis is divided into Fourier transform and Fourier series, wavelet analysis is divided into the wavelet transform and wavelet series. The main body of the wavelet transform is the continuous wavelet transform, multi

4、-scale wavelet transform and s-dyadic wavelet transform, while the main part of the wavelet series is wavelet frame. Wavelet analysis is a kind of profound theory, which is used widely and develops rapidly. The author of the paper is a beginner of wavelet theory; he just summarized and organized som

5、e fundamental theory of wavelet analysis. The paper introduced the definition and characteristics of wavelet analysis, and then talked about the theory of multi- resolution ratio. In the end, a few of image denoising abstract applications were used to explain the function of wavelet analysis vividly

6、.Key words: Fourier analysis; wavelet analysis; multi- resolution ratio1 引言1.1 问题的提出Fourier 变换只能告诉我们信号尺度的范围， 而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级 过程，即 Fourier 变换在时空域中没有任何分辨率。此外，傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。20 世纪 80 年代初由法国油气工程师 Morlet 提出的小波分析 1 （ wavelet Analysis ，又称子波分析 ） 能成功地解决 这些问题。因此小波分析是 Fourier 分析发展史上的一个里程碑。小波分析一面世，

7、立刻成为国际研究热点。目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识 别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。小波分析之所以广泛得到应 用在于 :它具有时域和频域同时具有良好的局部性质；能将信号（时间序列 ） 分解成交织在一起的多尺度成分，从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节；同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。1.2小波分析的形成及发展小波分析是一调和分析方法2,3，是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展，被人们誉为数学“显微镜”。小波分析理论及其方法的形成和应用在科学技术界引起一场轩然大波并成蔓延之势。小波理论形成经历了三个阶段2:Fo

8、urier变换（FT）阶段：在信号分析中，我们对信号的基本刻化，往往采取时域和频域两种基本形式。时域分析无法得到关于信号变化的更多信息（如采样、周期等）。1822年Fourier提出的频域分析法一Fourier变换（F ），能揭 示信号f（t）的能量在各个频率成分中的分布情况。设信号为ft ，其Fourier变换为:F 沁严许多时域上看不清的问题，通过 F就显得清晰了。Fourier变换将信号的时域特征和频率特征联系起来，能分别从时域和频域上观察信号，但不能把二者有机结合起来。另外，Fourier变换是整个时间域内的积分，识别出的频率在什么时候产生并不知道，因此不能反映某一局部时间内信号的频谱

9、特性，即在时 间域上没有任何分辨率。这样在信号分析中就面临一对矛盾：时域和频域的局部化矛盾。Fourier变换对具有突变的信号，如地震波、暴雨、洪水等的分析带来诸多不便和困难。这就促使寻求 一种信号时频局部分析新方法。（2）短时Fourier变换（SFT）阶段1946年Gabor提出SFT。短时Fourier变换又称加窗 Fourier变换，由Gabor1946年提出。其基本思想 是:把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每一个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，以达到时频局部化之目的。短时 Fourier变换的表达式为：1七©: XFgf，： 一 f t gt - .

10、 e 一 dt勺2兀5SFT能实现信号时频局部化分析，但窗函数一选定，其窗口的大小和形状固定不变，其分辨率是有限的。由于频率与周期成反比，反映信号高频成分需要较高的时间分辨率（窄的时间窗），反映低频成分需要较低的时间分辨率（宽的时间窗）。因此，加窗Fourier变换对研究高频率信号和低频率信号都不是有效的。（3）小波分析阶段小波分析是一种窗口的大小固定、形状可变的时频局部化信号分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率。小波在继承SFT的基础上，Morlet提出了小波变换法（WT）。WT可研究信号在各个时刻或各空间位置在不同尺度

11、上的演变情况，实现了时频局部化分析。小波理论的思想源于信号分析的伸缩与平移。1980年由Morlet首创。1984年他与Grossman共同提出连续小波变换的几何体系，成为小波分析发展的里程碑。1985年，法国数学家 Meyer创造性构造了规范正交基，提出了多分辨率概念和框架理论。小波热由此兴起。1986年Battle和Lemarie记又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数；同年，Mallat创造性地发展了多分辨分析概念和理论并提出子决速小波变换算法一Mallat算法。Daubechies（1988）构造了具有有限紧支集的正交小波基，Chui和王建忠（1990）构造了基于样条函数的正交小波。

12、至此，小波分析的系统理论得以建 立。最近有人又提出了小波包理论，它是小波理论的进一步发展。2小波变换的基本理论小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，也即支流分量为零。2.1连续小波变换4,52.1.1连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。小波函数的数学定义是：设* t为一平方可积函数，即* t L R，若其傅立叶变换'? w满足：2C屮=耳帘，dw Y旳时，则称't为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可容许条件。根据小波函数的定义，小

13、波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可容许性条件可知' W w =0，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。将小波母函数 t进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a，平移因子为b，并记平移伸 缩后的函数为a,b (t )，则：1屮 a,b(t)= a屮(严)a,bE R;a 式0并称 为参数 和 小波基函数。由于和 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。定义小波母函数't的窗口宽度为 忌，窗口中心为to，则可以求得连续小波基函

14、数a，b t的窗口中心及窗口宽度分别为：ta,b = ato - b, Ata,二 a.讥设'? w是't的傅立叶变换，频域窗口中心为Wo，窗口宽度为 z，t的傅立叶变换为J a'b w 则有：匹七3 )=a|e®做aw )所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：Wa,b =1 W。，Wa,b 二：由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a的函数，均随着a的变化而伸缩，并且还有Zb ：Wa,b =讥.'：W即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg测不准原理。将不同a、b值下的时频窗口绘在同一个图上，就得到小波基函数的相平

15、面（如图1所示）。rh图i小波基函数的相平面对不同的频率成分， 在时域上的取样步长是可调的， 高频者（对应小的m值）采样步长小，低频者（对应 大的m值）采样步长大。也就是说，小波变换能实现了窗口的大小固定，形状可变的时频局部化，见图1。正是这个意义上小波变换被誉为数学“显微镜”。2.1.2连续小波变换2将L R空间的任意函数f t在小波基下进行展开，称其为函数f t的连续小波变换 CWT，变换式为：Mf a,b =： fs 匸：.r f t * 号 dt当小波的容许性条件成立时，其逆变换为：f t 二UMf a,b 冲 db其中 CRAW为t的容许性条件我们可以这样理解，傅立叶分析是将信号分解

16、成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将 信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移和尺度伸缩得来的。 小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采 用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领域。可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号 f （t） , “（t）代表镜头所起的所用。b相当于使镜头相对于目标平行移动，a的所用相当于镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变换有以下特点：多尺度/多分辨

17、的特点，可以由粗及细地处理信号；可以看成用基本频率特性为“（3的带通滤波器在不同尺度 a下对信号做滤波。适当地选择小波，使2 （t）在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中， 就可以使 WT在时、频域都具有表征信号局部特征的能力。2.2离散小波变换6计算机中的图像信息是以离散信号形式存放的，所以需要将连续小波变换离散化。而最基本的离散化 方法就是二进制离散，一般将这种经过离散化的小波及其变换叫做二进小波和二进变换。需要注意的是这 里的离散化都是针对连续的尺度因a和连续平移因子 b的，而不是针对时间t的。这儿限制尺度因子 a总是正数。（1）尺度与位移的离散化a和平移因子b按幕级数进行离散化，即取对

18、连续小波基函数a，b t尺度因子a和平移因子b进行离散化可以得到离散小波变换WT f a,b，从而减少小波变换系数的冗余度。在离散化时通常对尺度因子mm.a =a。，b =b。（ m为整数，a。式h但一般都假定a。 1 ），得到离散小波函数为:屮m,n （t ）=右屮f :呼匚甘屮（a°t nb。）-|a0aoa0其对应系数为：Cm,n =： f t m,n = . Jm,n t dt(2 )二进制小波变换进小波变换是一种特殊的离散小波变换，特别地令参数a。= 2， b。= 1，则有m2 2 t n。该二进尺度分解的原理在卜世纪三十年代由Littlewood 和Paley在数学上进7

19、#2所示）。行了研究证明。离散小波变换为：WT f m, n =： m, n = f t - m,n t dt离散二进小波变换为：0WT f m, n =： m, n 二 f m,n t dt2.3多分辨率分析I7】Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨率分析（ Multi-ResolutionAnalysis）的概念，从空间概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，并将在此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。多分辨率分析可形象地表示为一组嵌套的多分

20、辨率子空间（如图假设原信号的频率空间为 V。，经第一级分解后V。被分解成两个子空间：低频的 Vi和高频的Wi ;经第二级分解后 v被分解成低频的v2和高频的w2。这种子空间的分解过程可以记为：Vo 二 V1 二 Wi,Vi二/W2N2 二 V3 二W 3,Vn二 Vn 二 Wn其中符号二表示两个子空间的“正交和” ；Vf代表与分辨率2对应的多分辨率分析子空间；与尺度 函数相对应的小波函数的伸缩和平移构成的矢量空间Wj是V的正交补空间；各Wj是反映Vj空间信号细节的高频子空间，Vj是Vj 3反映空间信号概貌的低频子空间。由离散小波框架可得到子空间的以下特性：V W 二 W1 =V2 二 W2 二

21、 W1 = VN 二 WN 二 WN 二二W2 二 W1这一结果表明：分辨率为20=1的多分辨率分析子空间 Vo可以用有限个子空间来逼近。3小波分析的应用3.1利用小波对信号进行处理的一般步骤小波的应用主要是信号的处理，其中最典型的应用是小波图象压缩。另外，小波在诸如信号去噪、特 征提取等多方面均有成功的应用。下面以图象去噪为例说明小波应用策略。小波的各种应用均可分为以下 三步：1）取样：这是一个预处理过程。取样方法应遵循取样定理8。1）对原始信号作小波变换，将信号由空域变换到频域；2）对小波系数做相应处理；3）对处理后的小波系数做小波逆变换，重构还原原信号。3.2小波图像去噪因为噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，所以小波去噪首先对图像信号进行小波分解，可利用 门限阈值对所分解的小波系数进行处理，然后对图像信号进行小波重构，抑制图像信号中的无用部分，恢 复图像信号中的有用部分。如图 3所示，具体步骤为9:1） 图像信号的小波分解：选择合适的小波及恰当的分解层次N，对目标图像进行 N层的小波分解;2）对分解后的高频系数进行阈值量化：对于分解的每一层，选择恰当的阈值，对该层高频系数进行阈值量化处理。利用软阈值或硬阈值门限处理相应的小波系数，获得新的被压缩的小波系数；3） 重构图像：根据小波分解后的第N层近似的低频系