完美系统时域分析

1、二阶系统分析   大 中 小     一、 二阶系统的传递函数由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为：             （4-5）其传递函数为：                   

2、0;    （4-6）式中     系统的输入；         系统的输出；         常系数。为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即：               

3、              （4-7）若系数a1和a2的符号相同，（4-7）式可改写成如下形式：                            （4-8）式中  

4、     二阶系统的无阻尼自然振荡频率         二阶系统的阻尼比             放大系数式（4-8）称为二阶系统传递函数的通用形式。    式（4-8）的特征方程式为            &

5、#160;                    （4-9）    方程的特征根为：                        

6、0;     （4-10）    由式（4-10）可知，随着阻尼比的改变，特征方程根的性质会发生变化，二阶系统的单位阶跃响应曲线形状也会随之变化。阻尼比 的变化可分成五种情况（即 <0； =0；0< <1； =1； >1）。当 <0时，特征方程的两个根（或根的实部）大于零，二阶系统是不稳定的，对这种情况不作讨论。下面就其它四种 的取值情况进行讨论。二、 二阶系统的单位阶跃响应1、 无阻尼情况（ =0） =0时，式（4-10）为：   &

7、#160;                即特征方程的两个根位于虚轴上，见表4-1。其传递函数为                       当输入信号为单位阶跃信号时：     

8、              取C(s)的拉氏反变换，得无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：                         （4-11）这是振幅为K的等幅振荡，其单位阶跃响应曲线如图4-1中曲线所示。图中横坐标用 刻度

9、,纵坐标用c(t)/c(?)刻度，曲线只是 的函数。等幅振荡（阻尼比 =0）的振荡频率为 ，因而 被称为无阻尼自然振荡频率。 、 欠阻尼情况（0< <1）0< <1时，二阶系统特征方程式的两个根为共轭复根，即              式中     特征根实部之模值，称为衰减系数，具有角频率量纲，       &#

10、160;  阻尼振荡频率， 。见表4-1所示。系统的传递函数为                当输入信号为单位阶跃信号时，                取C(s)的拉普拉斯反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：      &

11、#160;     （4-12）由式（4-12）可看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成，稳态响应值（即c(?)）等于K，也就是说，稳态（即 ）时，输入信号与输出信号c(?)之间不存在稳态误差。瞬态分量是一个随时间 增长而衰减的振荡过程，振荡频率为，称为阻尼振荡频率。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线为一条衰减的正弦曲线，见图4-2所示。整个响应特性曲线包含在一对包络线之内，包络线的方程为           &

12、#160;             （4-13） 它是时间常数为 （即 ）的指数曲线。瞬态响应的幅值是按这条指数曲线的时间常数进行衰减的。根的负实部 数值越大，瞬态响应衰减得就越快，因此， 称为衰减系数。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线的振荡频率为阻尼振荡频率 （即特征根的虚部）， ,因而振荡周期： 。当 一定时，阻尼系数 越大，振荡周期就越长。如果 ，响应过程成为非周期， 将不复存在，系统的响应不再振荡。但为了便于分析和叙述， 和 的符号和名称在 时，仍将沿用下去。

13、、 临界阻尼情况（） 时，二阶系统特征方程有两个相等的负实根：                见表4-1所示。系统的传递函数为                    当输入为单位阶跃信号时：     

14、                  （4-14）其响应曲线如图4-1上曲线所示，响应是稳态值为K的非周期过程。、 过阻尼情况（） 时，二阶系统特征方程有两个不等的负实根：                     

15、0;      见表4-1所示。系统的传递函数为                          当输入为单位阶跃信号时            取 的拉普拉斯反变换，得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：

16、                    （4-15）单位阶跃响应曲线如图4-3所示，它是一条单调的非周期曲线，由单位阶跃输入作用下的稳态响应                      

17、60;      （4-16）和两条衰减的指数曲线组成。由式（4-15）知， 、 的方程分别为：                    （4-17）                 

18、0;   (4-18) 图4-3  过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线在 一定的情况下，如果 越大，两个负实根的数值就相差得越多。这时衰减得快的指数项c11(t)的衰减速度更加快，而衰减得慢的指数项 的衰减速度则更加慢。当 远大于1时，c11(t)比c12(t)的衰减要快得多，这个快速衰减的指数项c11(t)对动态过程的影响可忽略不计。系统的阶跃响应特性类似于一阶惯性环节的响应特性了。从图4-1可看出，当欠阻尼系统的 值在0.50.8之间时，响应曲线比临界阻尼或过阻尼情况下的响应曲线更快到达稳态值。在非周期响应系统中，临界阻尼系统的响应速度最快，过阻尼系统

19、对输入的响应比较缓慢。二阶系统的单位阶跃响应情况综合于表4-1所示。 二阶系统的传递函数除了式（4-8）的形式外，还可能有                               （4-19）        

20、;                  （4-20）式（4-19）、（4-20）所表示的二阶系统，只是传递函数的分子部分不相同，而分母部分是一样的，也就是说，它们的特征方程式相同，所以，它们的阶跃响应特性的基本形式是一样的，即当?时是非周期的，0<z<1时，是衰减振荡的。三、 二阶系统的时域性能指标实际调节系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程。为了分析调节系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特

21、性，通常采用一些性能指标,除第一章介绍的超调量Mp、衰减率、调节时间ts和静态偏差e（）（或称稳态误差）外，还有两个指标：(1) 上升时间tr：响应从其稳态值的10%上升到90%所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。显然，上升时间越小，响应越快。(2) 峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。上述性能指标基本上可以体现过渡过程的特征。其中，上升时间tr和峰值时间tp是系统在初始阶段响应速度的一种度量；调节时间ts表示了系统过渡过程的持续时间，反映了系统的快速性；超调量MP和衰减率反映了系统过渡过程的稳定性；稳态误差e（）反映了系统的准确性。请参见图（4-4）。 

22、;图4-4  二阶系统时域性能指标示意图下面讨论欠阻尼二阶系统的峰值时间tp、超调量MP、衰减率和调节时间ts的计算。要指出的是，所得公式仅适用于以式（4-8）即 所描述的二阶系统。如果传递函数的分子只有S的一次项或S的一次项加常数项，则计算公式要另行讨论。具体推导公式以前，有必要阐明欠阻尼二阶系统特征参量s、z、n和d之间的相互关系，见图（4-5）。由图可见，衰减系数s?是系统特征根到虚轴之间的距离；阻尼振荡频率d是特征根到实轴之间的距离；自然振荡频率n是特征根到坐标原点之间的距离；若令OS1直线与负实轴夹角为b?，则有：     

23、                       ? z=cosb?                图4-5 欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系1. 峰值时间tP根据式（4-12），将c(t)对时间微分，并令其为零，有 因为

24、峰值时间定义为：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间，所以应取 ，因此峰值时间计算公式为                                          （4-22）上

25、式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期TK的一半。2. 超调量MP                                        因为超调量发生在峰值时间上，所以将式（4-21）代入式（4-12），得

26、输出量的最大值                  （4-23）图4-6表示了超调量Mp与阻尼比的关系，超调量是随着阻尼比z的增大而减小的。           图4-6 二阶系统超调量（Mp）、衰减率(?)、衰减指数(m)与阻尼比(?)的关系3. 衰减率y?    （4-24）式中  &#

27、160; M(tp)第一个波幅幅值，这时t=tp        M(tp+Tk)第二个正向波幅幅值（图中4-4中的M2），这时t=tp+Tk根据（4-21）式，n=3所对应的时间，为第二个波幅出现的时间，即                           

28、  因此                                            根据式（4-24），得衰减率y的计算公式  

29、                    （4-25）可见，欠阻尼二阶系统的衰减率y与超调量Mp一样，只与阻尼比z有单位关系，见图4-6中的y曲线。衰减率y随z的增大而增大。在式（4-23）和式（4-25）的指数中都含有比值 ，这个比值是欠阻尼二阶系统特征根的实部绝对值与虚部绝对值之比，称为二阶系统的衰减指数，用m表示，其关系为       

30、;                       （4-26）衰减指数m也是阻尼比z的单值函数。见图4-6中的曲线m。m值随z的增大而增大。这样，描述欠阻尼二阶系统振荡过程衰减情况的有m、y和z三种参数。所不同的是，衰减指数m是由特征方程根的实部与虚部之比来定义的；衰减率y是由振荡过程曲线中相邻两个振幅的衰减百分比来定义的；而阻尼系数z是用特征方程式各项系数来表示的。它们之间的关

31、系为                                 (4-27)另外，超调量Mp与衰减率y之间也存在着一定的关系，即             

32、      （4-28）四个参数之间存在着一一对应的关系，表4-2中列出了一些具体的数值，在分析和整定热工过程自动调节系统时，常用到这些关系。表4-2  二阶系统?、Mp、m和?值的对应关系在一般的热工自动调节系统中，通常选择衰减率y=0.75?0.9。4. 调节时间ts从前述调节时间ts的定义知，调节时间ts应满足：                  &#

33、160;  其中是稳态值的5%（或2%），即=0.05c(?)或=0.02c(?)。为了计算方便，通常采用图4-4上阶跃响应曲线的一对包络线表示衰减振荡曲线的衰减程度，其包络线的方程为：                        （4-29）调节时间ts的定义修改为：响应曲线的包络线与稳态值的偏差减小到允许范围所需的时间。因此，ts满足 

34、60;                              （4-30）取=0.02c(?)或=0.05c(?)，将式（4-29）代入式（4-30），并且由于c(?)=K，则有          

35、0;                                                 

36、0;     分析可以得出，在足够宽的z值范围内，如0.1<z<0.9， 的值变化不大，对于=0.02c(?)，其值为3.924.74，用4近似；对于=0.05c(?)，其值为3.03.83，用3近似，从而式（4-32）可简化为   （采用2%的误差带）             （4-31）     （采用5%的误差带）    

37、0;        （4-32）上式表明，调节时间ts与特征根的实部数值成反比，特征根的实部数值越大，即离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。或者说，调节时间与系统阻尼比和自然振荡频率的乘积反比。由于阻尼比z主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然振荡频率wn决定。若保持阻尼比值不变而加大自然振荡频率值，则可以在不影响超调量的情况下缩短调节时间。例4-1 闭环系统如图4-7所示，试求系统单位阶跃响应的性能指标：tp、Mp、ts和稳态误差e()。图4-7   例4-1闭环系统框图解：系统的闭

38、环传递函数为                          （4-33）二阶系统传递函数的通用形式为                     &#

39、160; （4-34）式（4-33）与式（4-34）相比较，可得放大系数                    K=1无阻尼自然振荡频率          ? w n=5 （rad/s）阻尼比          

40、0;           ?z=0.6由此可以求得：                 例4-2 设图4-8(a)所示调节系统的单位阶跃响应曲线如图4-8(b)所示，试确定参数K1、K2和a的数值。图4-8 例题4-2图解：调节系统传递函数为        &#

41、160;            （4-35）由图可得阶跃响应的性能指标：稳态值                   c(?)=2超调量                    峰值时间                  因为        &#