2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

1、2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(4 月 20 日 8:00 至 10:00)一填空题(本大题共10小题，每小题7分，共70分)11.若x2，则函数f (x) = x的最小值是.X +1X2.已知函数f (x)二e.若f(a b2，则f(3a) f (3b)的值是.3.已知数列 玄f是各项均不为0的等差数列，公差为d,Sn为前n项和，且满足a/ =S2n_),n N*，则数列CaJ的通项a.二.22x 3x x二04.若函数f (x)2是奇函数，则实数a的值是.-2x +ax,x0则f (m)的值是.7.四面体ABCD中，AB=3,CD=5， 异面直线AB和CD之间的距离为4,夹角

2、为60, 则四面体ABCD的体积为.31&若满足ABC,AC=3,BC二m的厶ABC恰有一解，则实数m的取值范围是.39.设集合S=1,2,lll,8?,A,B是S的两个非空子集，且A中的最大数小于B中的最小 数，则这样的集合对(代B)的个数是.2 25.已知函数f(x)二lg|x2若关于x的方程f (x) -5f (x) -6 =0的实根之和为m,6.设、-都是锐角，且cos二sin( )=-5，则cos：等于.10.如果正整数m可以表示为x -4y(x,yZ),那么称m为“好数”.问1,2,3,2014中“好数”的个数为.解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)1 1 11

3、1.已知a,b,c为正实数，abcz,0,求abc的值.x y z2 212.已知F1,F2分别是双曲线C:笃-占-1(a 0,b 0)的左右焦点，点B的坐标为a b(0,b),直线RB与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分1线与x轴交于点M.若MF2RF2，求双曲线C的离心率.213.如图，已知ABC是锐角三角形，以AB为直径的圆交边AC于点D，交边AB上的 高CH于点E.以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G.求证：AG = AE.14. (1)正六边形被3条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成4个三角形.将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形

4、涂的颜色不同.怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？(2)凸2016边形被2013条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成2014个三角形.将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不 同.在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论.2006年全国1卷理科第12题设集合I二1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大 的数，则不同的选择方法共有（B）A.50种B.49种C.48种D.47种解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；2个元素，有

5、C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合;3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2 00=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3;2、2;3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3X5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有C53=10种;若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有C54=5种;若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有C5

6、5=1种;若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有C53=10种;若集合中有两个元素，集合中有两个个元素，则选法种数有C54=5种;若集合中有两个元素，集合若集合中有三个元素，集合若集合中有三个元素，集合若集合中有四个元素，集合则选法种数有C55= 1种;则选法种数有C54=5种;则选法种数有C55= 1种;则选法种数有C55=1种;总计有49种，选解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集,从5个元素中选出从5个元素中选出中有三个元素,中有一个元素,中有两个元素,中有一个元素,较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4X仁4种方法；总计为10+20+15+4=4

7、9种方法.选B.第9题的本质与推广2014年金海南最后一模试题设整数n3,集合P二1,2,3,，n,A,B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数.(1)求a3；(2)求an.解：(1)当n=3时，P=1,2,3 ,其非空子集为：1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,则所有满足题意的集合对(A,B)为：(1,2 ),(1,3 ),(2,3),(1,2,3), (1,2,3)共5对,所以a3=5；.3分(2)设A中的最大数为k,其中Kkn-1,整数n3,则A中必含元素k,另元素1,2,k_1可在A中，故A的个数为：C：丄+C；丄+Ck：=2

8、k,5分B中必不含元素1,2,k,另元素k 1,k 2,k可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：cnf=2心-1,7分从而集合对(A,B)的个数为2心 2心-1 = 2n-2心，nn所以an八22-2k1=(n-1) 2nd-1 2(n -2) 2nJ1.10分k z!1-2an=C(n,2) HC(n,3)-2+C(n n) (n-1)vC(n,k)k=n C(n-1,k-1)an=n -2A(门-1)-1-(2八n-1-n)=(n-2) 2A(n-1)+12014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第 10 题解答題目：如果正整数加可以表示为x2-4y2(x.yeZ),那么称刃为好数”，问

9、:1,2.3. -.2014中“好数”的个数为_ 答案：881 (B解答：由平方数或模4余1或被4整除知，x:-4y2或模4余1或被4整除，心x= xk+设x2-4y2= 4kkeZ，则当厂? o、时可得 ； ，所以x+2y = 4/r + ly = k刃=4A: + l,AreZ都罡好数，3 1W 2014B0 A:503 ,共有504个；设-AyAk.keZ,易御x为偈数，故可设x=2*2-k.ke Z , af ,k+1当上为奇数时，令=,可解得 , ,故m+lc为奇数都是好数，x +y = kk-1y=当1SES2014时为满足1SZS5O3的奇数，共有出|11 + 1 = 252加二

10、僅签18（本題满分80分.毎小題20分）11-已知ab,c为正实数，d=y=d. 2+丄牡=0；求心的值.ill证明1设a1-ycf=p O W a=pltb= p c- pz. 10分ill丄.1所以abc- p p/ p =. 15分囚+2=0 xy所以a6c= p = l. 20分12己知甘巧分别楚双曲线C：=I（a0.bQ）的左右條点.点“的坐标为（0b）, 直线 F/与双曲线C的两条渐近线分别交Q彌点.线段，0的垂“平分线与*紬 交于点M.若MF2=FlF2求双曲线C的离心率.解：设双曲线C：-p=l（a0.b0）的半焦距长为c则点丹，巧的坐标分别（一 G0）. （c0）从而r线F/

11、的方程为士+扌=】双曲线c：弓一令=I的渐近线方程为4-p=o.消去 紂.bJx2 2fi2cxa2c2-0.；9由韦达定理得：线段 磴中点的坐标（年，）.因此PQ中垂线的方程是：广= 一敢-非） 另一方而，由阳=*斤则M（2c.0）.或A/（0, OX舍去）.由此可得.c+歹=2c 即a=6 故e=yji. 20分10分衽上式中.令y=0得M（c+芳，0）.15分13如阳.已知ZUHC&tft偷三角彤.以肋为赵“的厨文血*点几交 gB1的爲C7/千以为交8/）妙KK仪于点&求迟AG-AE.SEW：连MBE. CG.因为为W他90.BG1AC.又日住中由射影定理羽A-AlbAB

12、.因为*C为N所以Z4GCW,任 23中（HWB定理 ACPAD-AC. g 舟 ZRDC=ZBHC=9O*所以乩C. D 四点共隨 从而tfJWtl定丹feM“二“. 所以AAG1UPAEAG.正六边他3条互不交叉仲点可以貫合）的对角线分割成4个三角慎辭个三角彤 区域涂上红.董两IffllfiZ-,便得有公共边的三角形涂的濮色不 间屯样分割并涂色可以使红色三和宓个舷与査色三角序个数的苓星大？（2）凸2016边形披2013条互不交叉（塔点可以貫合）的对角线分割成2014个三角形将甜个三和形区域涂上 ft.ii两种嶽色2on公共边的三用 形涂的廉色不同庄上处分抽并涤色的所和桃中.红色三角形个救与

13、直色三角形个效Z量的最大值足参少？证明你的结论.15分20分A B(D 3条对角线分御4个三角形，相外的两个涂色相畀.红色三角影又有it色三角彤.不妨设红色三舸形多于苣色三角形.則苣色三瀚形至少有丨个.红 色三角影矽J个.红色三角形个做显色三角形个数2茏不超过3-1-2.如图连按VCCE 以.&4CE 除苴色.其余3个三角彤涂何色.丫为2.故红色三角彤个ttMfi色三角彤个数Z雄的最大位为2. . 5分2) 2013条业不交叉(细直可以腹含)的对饬找分卅成2014亍二用彤.如个 衍形M城彷纣、 比两科龍色2便得弃公共边的三角形渝的滋色不树.设红色三如庇多F藍色三角彤抑个直色三角彤三条边中至少右条时如线的羡辺个对角絞的条数只Ife为1.2或3.橱条对角歿只F-个誉色三角彤设边中恰穴”n3)条对角找的il色三角形的个數为E刷对和找条C(m2mT炳产2013. ii色三角形个盼严 M 轄严 竽-671.红色三角彤个tt红色三角彫个效与苣色三角形个ftZ 1M3-67I-672.注意対凸6边影中红色三角彤个MtS色三角形个ttZ的大位为2ltH6边形的谡均为红色： 叙定凸弘边形中.红色三角形个色三