第七节 旋转体的体积计算

1、第七节第七节 旋转体的体积计算旋转体的体积计算 内容提要内容提要 1.旋转体旋转体的体积；的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积.教学要求教学要求 熟练掌握应用熟练掌握应用元素法元素法求体积的方法。求体积的方法。 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体的体积旋转体的体积,bax dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy badxy2 取积分变量为取积分变量为 x

2、xyo)(yx cddyy2)( dcV dcdyx2 例例1. 求由曲线求由曲线 ,直线直线x = 1及及x轴所围成的轴所围成的平面图形平面图形 xy 解解 102)(dxxVx绕绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 10 xdx1022x xy oyx由旋转体的体积公式由旋转体的体积公式,得得如图如图, 选选x为积分变量为积分变量2 例例2. 求由曲线求由曲线 ,直线直线y = 1及及y轴所围成的轴所围成的图形图形 yx42 解解 20222)4(21dxxVx分别绕分别绕 x 轴轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 204

3、162dyx绕绕 x 轴旋转体的体积轴旋转体的体积,如图如图,选选x为积分变量为积分变量xy42 oyx1)1,2(2055162x 58 绕绕 y轴旋转体的体积轴旋转体的体积, 选选y为积分变量为积分变量 102)4(dyyVy 104ydy10224y 2求星形线求星形线绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解,323232xay 332322 xay,aax 由由旋转体的体积公式，旋转体的体积公式，知：知： dxxfVaa2)( .105323a dxxaaa33232 )0(323232 aayxyxo-aad 4例例4例例5yxOa-aCDAbByAMdsdx体积微元

4、体积微元 解解dyyxdyyxdV2221)()( 右半圆弧方程为右半圆弧方程为221)(yabyxx 左半圆弧方程为左半圆弧方程为222)(yabyxx dyyabyabaa)()(222222 aadyyab224 dyyaba 0228 222 ba dyxxVaa)(2221 环体体积为环体体积为dyyxyx)()(2221 2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积设一立体位于设一立体位于 过点过点x=a, x=b 且垂直于且垂直于 x 轴的两平面之间，轴的两平面之间，,)(dxxA .)( badxxAV 从而从而用垂直于用垂直于 x 轴的任一平面截轴的任一平

5、面截此立体所得的截面积此立体所得的截面积 A(x) 是是 x 的已知函数，的已知函数，)(xAx取取 x 为积分变量，在区间为积分变量，在区间 a, b 上任取一小区间上任取一小区间过其端点作垂直过其端点作垂直 x 轴的平面，轴的平面，)(xAx x+dx作体积微元：作体积微元：)(xAx x+dxxoaby.V求求这这个个立立体体的的体体积积dV体体积积微微元元为为x , x+dx ，以以A(x) 为底，为底，dx 为高作柱体，为高作柱体，用微元法：用微元法：xoy解解 取坐标系如图取坐标系如图底半圆方程为底半圆方程为22xRy 截面面积截面面积)(xA立体体积立体体积V.tan323 R2

6、22Ryx RR tan)(2122xR tan21yydxxRRR tan)(2122 RRdxxA)(例例6 xdxx xyo)(xfy dxxfVba2)( badxy2 xyo)(yx cddyy2)( dcV dcdyx2 小结小结作业作业:P118. 1(1)(3)，2., 12222积积轴轴旋旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体绕绕求求由由椭椭圆圆xbyax 解解)(22222xaaby 上半椭圆的方程为：上半椭圆的方程为：dxyVaa 2 由公式知：由公式知：dxxaabaa)(2222 .342ab .34)(22222badyybbaVybb 体体积积为为轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的同同理理得得椭椭圆圆绕绕练习练习求摆线求摆线的一拱与的一拱与0=y所围成的所围成的x 轴轴 旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解dxyVax220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a oyxa 2 2022)sin()cos1(ttadta )cos1()sin(tayttax图形绕图形绕练习练习oxy所所围围成成的的图图形形为为底底，及及求求以以抛抛物物线