第三章初等变换与线性方程组ppt课件

1、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR1第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系QQIR第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与线性方程组与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR2第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换三、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR3第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方

2、程组 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大. 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR4第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 上页上页 下页

3、下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR5第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR6第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxx

4、xxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代的方法求出解：回代的方法求出解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR7第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c 30340111cx即即（2）上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR8第三章第三

5、章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1交换方程次序；交换方程次序；（2以不等于的数乘某个方程；以不等于的数乘某个方程；（3一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以交换）（以交换）ik ij（以交换）（以交换）ik i上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR9第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组3上述三种变换

6、都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR10第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算

7、系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组程组1的增广矩阵的变换的增广矩阵的变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR11第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3

8、）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 二、矩阵的初等变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR12第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定义定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r换成换成“c”)jir

9、r kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR13第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一

10、以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1三、初等矩阵的概念上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR14第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列对调两行或两列、1 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR15第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijmaA

11、jiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR16第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列对调列对调列与第

12、列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR17第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR18第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki mnmminiinm

13、aaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i类类似似地地，左左乘乘矩矩阵阵以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的的第第乘乘相相当当于于以以数数，其其结结果果矩矩阵阵右右乘乘以以上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR19第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行

14、第第j上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR20第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR21第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEk

15、iEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR22第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA初等变换

16、初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR23第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组四、矩阵的等价四、矩阵的等价（1如果矩阵如果矩阵A经有限次初等行变换变成经有限次初等行变换变成B，就称矩阵就称矩阵A与与B行等价，记作行等价，记作rAB（2如果矩阵如果矩阵A经有限次初等列变换变成经有限次初等列变换变成B，就称矩阵就称矩阵A与与B列等价，记作列等价，记作cAB（3如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成B，就称矩阵就称矩阵A与与B等价，记作等价，记作AB上页上页 下

17、页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR24第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对对称称性性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价等价有如下性质等价有如下性质与与矩阵矩阵BA上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR25第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定理 设 是 矩

18、阵，那么,A Bmn (1) 的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P，使得 。rABPAB (2) 的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵Q，使得 。cABAQB (3) 的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q ，使得 。ABPAQB 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR26第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组A可逆的充分必要条件是rAE上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR27第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组解方程组1）：

19、）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR28第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR29第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与

20、线性方程组5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR30第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQ

21、IR31第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组.54都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR32第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩

22、阵的初等变换与线性方程组.1 5的其他元素都为零的其他元素都为零列列，且这些非零元所在的，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为零行的第一个非零元为即非即非还称为行最简形矩阵，还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 留意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行留意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准

23、形准形上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR33第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR34第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组.为零为零阵，其余元素全阵，其余元素全的左上

24、角是一个单位矩的左上角是一个单位矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的的行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行就就是是三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由rrnm特点：特点： 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AF上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR35第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由定理知， 的充分必

25、要条件是存在 m阶可逆矩阵P，使得 。rABPAB ( ,)(, )( , )P A EPA PB P( ,)( , )rA EF P将A变成行最简型，并求相应的可逆变换阵P的方法：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR36第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例 把如下矩阵化为行最简形矩阵，并求相应的可逆变换阵P ： 34732038234202173132上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR37第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 定理定理2 设设A为可逆方阵，则存在有限个初等为

26、可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶阶可可逆逆方方阵阵及及阶阶可可逆逆方方阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵推推论论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR38第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有有时时，由由当当lPPPAA

27、21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR39第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 上页上页

28、 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR40第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR41第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵

29、利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR42第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组留意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，不能作任何列变换 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR43第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵.313223 X上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR44第三章第三

30、章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组.1 CAY即即可可得得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （列变换列变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR45第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组. ,1000110011102222A1, njiijAAn式之和式之和中所有元素的代

31、数余子中所有元素的代数余子求求方阵方阵已知已知解解例例3 3, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR46第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR47第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()

32、1(21 2 nn上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR48第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: ;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对对应应部部分分即即为为后后划划为为单单位位阵阵将将变变换换施施行行初初等等列列或或对对对对应应部部分分即即为为右右边边后后化化为为单单位位矩矩阵阵将将施施行行初初等等行行变变换换对对三、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 M

33、ade By QQIR49第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组课堂作业：求矩阵A的行阶梯阵和最简型815073131213123上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR50第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系QQIR第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR51第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组一、矩阵秩的概念第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩二、矩阵秩的求法-初等变

34、换法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR52第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA ., 12阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式，的的中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得变变它它们们在在不不改改元元素素处处的的个个），位位于于这这些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩阵阵在在定定义义kAkAknkmkkkAnm 矩阵的秩矩阵的秩

35、一、矩阵秩的概念上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR53第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组.)(0102等等于于零零并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩的的秩秩，记记作作称称为为矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵，那那末末于于）全全等等阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话，且且所所有有式式阶阶子子的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵定定义义ARArADrDkA .)( 子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有

36、. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR54第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶阶子子式式只只有有一一个个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR55第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个

37、个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR56第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组如果逐个判别每一个子式计算量是很大的。由例2可知，如果矩阵是一个行阶梯阵，那么它的秩与最高阶非零子式是很容易求得。 . 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 定理：如果矩阵A中有一个r阶子式不为零，而包含该子式的所有r+1阶子式全为零，则该矩阵的秩为r。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR57第三

38、章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例3 3，求求该该矩矩阵阵的的秩秩已已知知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR58第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组做做初初等等变变换换，对对矩矩阵阵 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然

39、，非零行的行数为2， . 2 AR此方法简单！此方法简单！上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR59第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组., 梯梯形形等等行行变变换换把把他他变变为为行行阶阶总总可可经经过过有有限限次次初初因因为为对对于于任任何何矩矩阵阵nmA 问题：经过变换矩阵的秩变吗？问题：经过变换矩阵的秩变吗？ . ,1 BRARBA 则则若若定定理理证证).()( BRARBA 则则，经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为先证明：若先证明：若. 0 )( rDrArAR阶阶子子式式的的某某个个，且且设设二、矩阵秩的求法-初等变换

40、法自己看书。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR60第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组时时，或或当当BABAkrrriji 时，分三种情况讨论：时，分三种情况讨论：当当BAjikrr ,.rrDDB相对应的子式相对应的子式中总能找到与中总能找到与在在, rrrrrrkDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，从从而而因因此此行行；行行但但不不含含第第中中含含第第）（行行；行行和和第第中中同同时时含含第第）（行行；中中不不含含第第）（jiDjiDiDrrr321上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR

41、61第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子子式式对对应应的的中中与与两两种种情情形形，显显然然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD , 0 rD若若,非非零零子子式式阶阶行行的的中中有有不不含含第第行行知知中中不不含含第第因因riAiDr.)(rBR 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR62第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组, 0 rD若若).()( BRARBA ，则则经经一一次次初初等等行行变变换换变变为为若若 ,AB为为也

42、可经一次初等变换变也可经一次初等变换变又由于又由于.)(, 0rBRDDrr 也也有有则则).()(BRAR 因因此此).()(ARBR 故故也也有有 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR63第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(),(, BRARBABA 则则即即经经有有限限次次初

43、初等等变变换换变变为为若若综综上上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()( TTBRAR ),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR64第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩阵阵设设

44、AAA,41461351021632305023 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR65第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR66第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 上页上页

45、 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR67第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR68第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 上页上页

46、下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR69第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 . 的的一一个个最最高高阶阶子子式式求求 A , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A阶子式共有阶子式共有的的 3A . 403534个个 CC阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为的的行行则则矩矩阵阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A 000400140161, 3)( BR上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR70第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等

47、变换与线性方程组A计算 的前三行构成的子式 .3阶阶非非零零子子式式中中必必有有故故 B.4个个且且共共有有623502523 1106502523 116522 . 016 则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR71第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩

48、秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR72第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR73第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵

49、的初等变换与线性方程组 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR74第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR75第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组1112312 ,536A设例

50、( )2,R A求 与 的值。知解1：11121112 0344 034408540510A上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR76第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组1112 034405101121120340440050010由于由于A的秩是的秩是2，因此，因此故故5,1上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR77第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解2：11121112312 034453608541112 08540344A1112 085432(5)(3)50082上页上

51、页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR78第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由于由于A的秩是的秩是2，因此，因此50(5)(3)320故故5,1上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR79第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解解3：由于：由于A的秩是的秩是2，因此，因此11211232312053656故故5,1上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR80第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的

52、概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);三、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR81第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系QQIR第三节第三节 线性方程的解线性方程的解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Ma

53、de By QQIR82第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三节 线性方程的解一、线性方程组有解的判定条件三、小结二、线性方程组的解法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR83第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理的的解解讨讨论论线线性性方方程程组组的的秩秩，和和增增广广矩矩阵阵如如何何利利用用系系数数矩矩阵阵bAxBA 问题：问题：证证必要性必要性. . ,nDnAnAR

54、阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而有非零解，有非零解，设方程组设方程组0 Ax一、线性方程组有解的判定条件上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR84第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， .nAR 即即不不能能成成立立nAR )(充分性充分性. . ,nrAR 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn 任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，

55、其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR85第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx ,BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程， .,2的的秩秩阵阵的的秩秩等等于于增增广广矩矩矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有解解元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理bABAbxAnnm

56、 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾. .BRAR 因此因此上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR86第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn 即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性. . ,BRAR 设设 ,nrrBRAR 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rB其他其他 个作为自由未知量个作为自由未知量, ,rn 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,r上页上页

57、 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR87第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组小结小结有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解. .bAx 方程组的通解方程组的通解性性程组的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形

58、矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR88第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 二、线性方程组的解法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR89第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 00003

59、42101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR90第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它写写成成通通常常的的参参数数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx上页上页 下页下页

60、 返回返回 结束结束 Made By QQIR91第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换， 322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显显然然，故方程组无解故方程组无解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR92第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵