弹簧与物块的分离问题

1、m>B所以x讨论：A B)gk“弹簧与物块的分离”模型模型建构：两个物体与弹簧组成的系统。两个物体在运动到某一位置时就会分开，那么这个位置就是物体间的分离点。【模型】弹簧与物块的分离【特点】都要建立动力学方程；分离条件是：相互作用的弹力Fn=0这个问题可以分成两类“模型”：【模型1】水平面上“弹簧与木块的分离”模型如图1,B与弹簧相连，而AB是紧靠在一起的两个物体，当弹簧原来处于压缩状态，如果地面是光滑AB的，则物体A、B在向左运动的过程中A、B何时分离。OR解析1物体应在弹簧的原长处分离。由于水平面图1光滑，当弹簧从压缩状态回到自然伸长位置时，一直加速运动。当它刚刚回到平衡位置时，物块

2、B受的弹力为阻力，开始减速。而物块A不受外力做匀速直线运动。VA>VB此时AB分离。【体验1】但是如果物体与地面之间是不光滑的，题目条件如模型1。试讨论分离条件。R解析1假设AB在某一位置分离，此时刻两物体的相互作用力为零Fab=0同时，两物体的加速度相同。kx贝1aAAg;aBBg(1)如果a等于B或均为零；X等于零。两物体在。点分离；(2)如果a大于B,X大于零，两物体在。点的右侧分离；(3)如果a小于B,X大于零，两物体的分离点在。点的左侧。R点评1两物体分离的条件是：相互间的弹力Fn=0等于零；两物体瞬时加速度相等。【模型2】竖直面上“弹簧与木块的分离”模型如图2所示，轻质弹簧上

3、面固定一块质量不计的薄板,在薄板上放重物，m用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，重物何时与木板分离？MR解析1当物体分离时，物体间的弹力Fn=0物块只受重力，物块的加速度为g,木板的加速度也为g弹簧的状态应为原长，即弹簧恢复原长时，二者分离此时物块与薄板有共同的加速度。图2从动力学的角度可以得到，竖直方向的弹簧类问题两物体的分离点是在弹簧的原长处。模型典案：【典案1】A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图3所示，已知木块AB质量分别为kg和kg,弹簧的劲度系数k=100N/m,若在木块A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开始以m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动(g=10m/s2)(

4、1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了J,求这一过程F对木块做的功。R解析1(1)设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x有kx=(ra+rb)g,所以x=(m+RB)g/k对A施加向上的F力，分析AB受力如图4对A:F+FN-mAg=ma对B：kx'-FN-mBg=ma'可知，当FnWO时，AB有共同加速度a=a',由式知欲使A匀加速运动，随Fn减小F增大，当Fn=0时，F取得了最大值Fm,即Fn=m(g+a)=N(2)又当Fn=0时，AB开始分离，由式知，此时弹簧压缩

5、量kx'=c(a+g)即x'=rb(a+g)/kAB共同速度v2=2a(x-x')由题知，此过程弹性势能减少了VP=E=J设F做功W,对这一过程应用动能定理或功能原理VF+Ep-(ra+rb)g(x-x')=(m+ms)v22联立，且注意到EkJ可知，WF=X10-2J此点评1此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力Fn=0时，恰好分离。【案例2】如图5所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m的重物，先由托盘托住m,使弹簧比自然长

6、度缩短L,然后由静止开始以加速度a匀加速向下运动。已知a<g,弹簧劲度系数为k,求经过多少时间托盘M将与m分开？【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力在这两个力的作用下，当重物的加速度也为a时，重物与托盘恰好分离。由于a<g,故此时弹簧必为伸长状态。然后由牛顿第二定律和运动学公式求解：根据牛顿第二定律得：mgkxma由得：x12由运动学公式有：Lxat22砰小分一后kLmga12联乂式有：一atk22kLmgakaR点评1本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条件，同时还要能从宏观上把握其运动过程

7、，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索：若将此题条件改为afg,情况又如何呢？【典例3】如图6所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A和B,物体AB和轻弹簧竖立静止在水平地面上。现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经s物体B刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2,求：(1)此过程中所加外力F的最大值和最小值。(2)此过程中外力F所做的功。解析(1)A原静止时，设弹簧压缩xi,由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg图6物体A向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则

8、所需外力F最小，设为F1由牛顿第二定律：F1+kx1mg=ma当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A,则所需外力F最大,设为F2对B：kx2=mg对A：F2-kx2-mg=ma1C由位移公式对A有：x1x2at22又t=由可得：a=s2F1=45NF2=285N(2)s末的速度：v=at=xm/s=m/s对A全程由动能定理得：Wmg(x1+x2)=mv2解得：WF=J也可用能量守恒求解：在力作用的内，在初末状态有X1=X2,所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功,将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即:【典案4】如图7质量为m=10kg的物块A与质量为m=2kg的物

9、块放在倾角为300光滑斜面上，处于静止状态，轻弹簧一端与物块B连接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数为K=400N/3现给物块A施加一个平行与斜面向上的力F,使物块A沿斜面向上做匀加速直线运动，已知力F在前内是变力，后为恒力，求力F的最大值和最小值。(g=10m/s2)【解析】原系统处于静止状态，则M与m受合外力为零，设此时弹簧压缩量为xo即：(m+M)gsin300=kx0贝U：x0=由静止开始向上匀加速运动，m与M在0内整体M上升位移为S:S= 1at2向上有共同的加速度a.设经时间为t,则在t内m与在0内以m与M为整体：F+K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a当t=

10、时s=1ax2=2由、得：F+分析可知在后F为恒力，此状况只有m与M分离可存在在t=s后，对m有：Fmgsin300=ma,(此时力F也为t=s瞬间的力)F=(g/2+a)m由得：5=5m/s2.分析可知F最小力应是在t=0时，即：Fmin=(m+M)a=(2+10)x5=60N在t=以后力有最大值即：Fmax=(g/2+a)Xm=(10/2+5)x10=100N【典案5】质量为M=6Kg的小车放在光滑的水平面上，物块A和B的质量均为m=2Kg且均放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图8所示，物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B并保持小车静止，使弹簧处于

11、压缩状态，在此过程中外力做功270J。撤去外力，当A和B分开后，在A达到小车底板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出，求：(1)B与A分离时，小车的速度多大？(2)从撤去外力至B与A分离时，A对做了多少功？(3)假设弹簧伸到最长时B已离开小车。仍在车上，则此时弹簧的弹性势能是多大？R解析1(1)分析可知AB分离时应在弹簧恢复为原长时，此时AB有共同速度为V1,设车速为V2,接触面均光滑，动量守恒，取向右为正，O=MV22mV11c1o又机械能寸恒：Ep=-Mv2+2mv122由得：vi=9m/s,V2=6m/s(2)A对B做的功应为B的动能增量：_12.WB=EB一mvi-0=81J2(3)A

12、与B分离后，A的速度不变，弹力对A与M作负功。弹簧最长时，令A的速度为v3,A与M有共同速度，动量再次守恒，有：取向右为正：Mv2mvi=(M+m)V3第二次机械能守恒：1Mmvf+Ep=189J2由得：EP=j模型体验：M向下以加图9【体验1】用木板托住物体m,并使得与m连接的弹簧处于原长，手持木板速度a(a<g)做匀加速运动，如图9。求物体m与木板一起做匀加速运动的时间。R解析1m在与M一起向下做匀加速运动过程中，m受到弹簧的弹力不断增大，板M对m的支持力不断减小，重力保持不变。m与板M分离的条件为板M对m的支持力Fn恰好为零，且此时m与M运动的加速度恰还相等。设：m与M分离经历t时

13、间，弹簧伸长为x：mgkx=ma解得：x=又因为：x=1at22所以t=J2m(ga)【体验2】如图10所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是()A.一直加速运动B.匀加速运动C.先加速运动后减速运动D.先减速运动后加速运动【解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力.所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用.刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随图10着物体上移，弹簧形变量变小，弹力

14、随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离.正确答案：C【体验3】如图11所示，一根轻质弹簧两端与质量分别为m和m2的木块相连，竖直放置在水平地面上。问：至少要向下压多大的力F于m上，才可以印使突然撤去外力F后m2恰好离开地面?图11R解析1m2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长X2,且kx2=mg和m速度为零。设未加压力F时，弹簧的压缩量为X0；加压力F时，弹簧的压缩量为xi,贝U:kx0=mgkxi=F+mg应用简谐运动的对称性求解：m2不离开

15、地面，m做简谐运动，则振幅：A=xixo=xo+x2m2g2m1g所以xi=x2+2xo=kk加压力F时，F+nmg=kxiF=kximg=(mi+m2)g点评物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性来求解会简单得多。【体验4】如图所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为xo,一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施水平恒力F而使A从静止开始向上运动。(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内)(1)如果在

16、C端所施恒力大小为3mg则在B物块刚要离开地面时A的速度为多大？(2)若将B的质量增加到2为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过多少？R解析1由题意可知：弹簧开始的压缩量xomg,在B物块刚要离开地面时弹箸的k、伸长量也是xomgk(1)若F=3mg在弹簧伸长到x0时，B开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即1 _ 2F 2x0 mg 2x0 - mv可解得：v 2 2gxo(2)所施力为恒力Fo时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。在最低点：Fo-mg

17、+kxj=mai式中k为弹簧劲度系数，ai为在最低点A的加速度。在最高点，B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2xo,则：K(2xo)+mgFo=ma考虑到：kxo=mg简谐运动在上、下振幅处ai=a2解得：Fo=3mg2也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力Fo。物体A做简谐运动的最低点压缩量为xo,最高点伸长量为2xo,则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为二所在处。2由: I X。mg k 万 F。解得：闩=曹【点评】区别原长位置与平衡位置。 与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。【体验5】如图12所不，光滑的

18、水平面上有m A=2kg, m B = m c = 1 kg的三个物体,用轻弹簧将A与B连接，在A、C两边用力使三个物体靠近，程外力做功7 2 J,然后从静止释放。求：(1)当物体B、C分离时，B对C做的功有多少？(2)当弹簧再次被压缩到最短而后又伸长到原来时，AB的速度各是多大？A、B间的弹簧被压缩，此过C B -WAAAAAA-图12R解析1此题关键是判断出B与C分离条件为弹簧恢复到原长, 短条件为A、 B同速且向右。而弹簧再次被压缩到最(1 )当B、C分离时弹簧恢复到原长, 由动量守恒： mvA= ( m)+ m) vbc由机械能守恒：rava2+ ( rb+ nc) vbc=72J22

19、B对C做功:12WC= ncvBc2由得：va=vbc=6m/s,WBc=18J(2)当弹簧压缩到最短时，A、B同速方向向右，则有:mvA-mBVBc=(mA+nB)v,v=2m/s设弹簧再次伸长到原长时，A、B速度分别为v1和v2,则：(nA+mOv=mvi+mv272ncvBc=mAvi2+nBV22222由得：Vi=2m/s,向左；V2=10m/s,向右或v1=6m/s,向右；V2=6m/s,向右注意(2)求的速度是矢量，最后方向不可丢失，解题要严谨。【体验6】如图，质量为m1的物体A,通过一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,A.B都处于静止状态。一条不可

20、伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。(1)求物体C下降的最大距离。(2)若将C换成另一个质量为(m1m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次超越B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为go)【解析】开始时，AB静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1m1gmtX2,挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为有kx2m2gB不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态

21、相比，弹簧弹性势能的增加量为E=m3g(%X2)mig(XiX2)C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得12122(m3mi)U2miu(m3mOg(XiX2)mig(XiX2)E联立解得./2Mm1m2)g2.(2mimh)k【体验7】如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带有+QA和+QB的电荷量，质量分别为mA和mB。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接一轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中。A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦及AB间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。(1)若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A恰好能离开挡板巳求物块C下落的最大距离；(2)若C的质量改为2M,则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？【解析】(1)开始平衡时有：kX1EQB可得X1詈当A刚离开档板时：kX2EQA可得X2-EQAK故C下落的最大距离为：hX1x2由式可解得h=E(QBQA)K(2)由能量守恒定律可知：C下落h过