2015年海淀二模数学试卷及答案(理科)

1、海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理）答案及评分参考 2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）D （4）A （5）B （6）A （7）C （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）2， （10）， （11） ， （12） （13）14 （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（）因为 ，所以 . 3分因为 ，所以 .解得：，或（舍）. 6分（）由（）可得：. 所以 . 9分 因为 ，所以 . 11分 所以. 12分 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 13分另解：因

2、为 ， 所以 . 由正弦定理得：. 所以 . 所以 . 12分 因为 ， 所以 ，. 所以 . 13分（16）（共13分）解：（）20名女生掷实心球得分如下： 5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10所以中位数为8，众数为9 3分（）的可能取值为0，1，2 4分；所以抽取的2名男生中优秀人数的分布列为：012 10分（）略. 13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.（17）（共14分）（）证

3、明：连结交于点，连结.因为 ， 所以 . 因为 ，所以 .所以 . 所以 . 2分因为 平面，平面，所以 平面. 4分（）证明：因为 平面平面，平面平面，平面，所以平面. 6分因为 平面，所以 . 7分同理可证：.因为 平面，平面， 所以平面. 9分（）解：分别以边所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由得，则，.由（）得：平面.所以 平面的一个法向量为. 10分设，即.所以 .设平面的法向量为，则即令，则，.所以 . 12分因为 二面角的余弦值为，所以 ，解得.所以 的值为. 14分（18）（共13分）解：（）令，得. 故的零点为. 1分（）. 3分令 ，解得 . 当变化时，的变化情况

4、如下表：所以 的单调递减区间为，单调递增区间为. 6分（）令.则. 7分因为 ，且由（）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 10分由得：.所以 .因为 ,所以 ，.所以 . 13分 （19）（共14分）解：（）依题意得解得：，. 3分 所以圆的方程为，椭圆的方程为. 5分（）解法一：如图所示，设（）， ，则即 7分又由得. 由得. 10分 所以 ,. 所以 .所以 ，即. 14分（）解法二：如图所示，设，（）.由得.所以 ，即.所以 ，即. 所以 直线的斜率为.所以 .令得:，. 10分设，则，.所以 .因为 ，所以 .所以 ，即. 14

5、分（20）（共13分）解：（）或. 2分.（）； 4分. 6分（）考虑数列，满足的数对的个数，我们称之为“顺序数”则等差数列：的顺序数为，等差数列：的顺序数为 首先，证明对于一个数列，经过变换，数列的顺序数至多增加2实际上，考虑对数列，交换其相邻两段和的位置，变换为数列.显然至多有三个数对位置变化假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由变为分别将三个不等式相加得与，矛盾所以 经过变换，数列的顺序数至多增加2 其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1设的最小值为，则，即 10分最后，说明可以按下列步骤，使得数列为对数列，第1次交换和位置上的两段，得到数列：；第2次交换和位置上的两段，得到