数值分析_第七章_解线性方程组的直接解方法

1、因R，故limRkk则kRkR（k），即Rk（k）RkIACk，故当Rk时，CkA四、习题畅用Gauss消去法解方程组xxx，xxx，xxx畅（）设A是对称矩阵且a，经过Gauss消去法一步后，A约化为a证明A是对称矩阵（）用Gauss消去法解对称方程组畅x畅x畅x畅，畅x畅x畅x畅，畅x畅x畅x畅畅（）用表达式（畅）证明其中aijaij（）aTAaijaijliajliajli，kak，j，i，jk，（k）（）（）（）（k）（r）（）使Gauss消去法中arjurj（jr），利用（）证明urjarjklrkukj（jr，r，n），lir（airklikukr）urr（ir，n）畅设方程组xx

2、x，xxx，xxxrr（）试用Gauss全主元消去法求解（）试用Gauss列主元消去法求解畅设A为n阶非奇异矩阵且有分解式ALU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零，n）时，则有畅由Gauss消去法证明：当i（i，ALU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵畅设A为n阶矩阵，若aiijaij（i，n），则称Ajin为对角优势矩阵试证明：设A是对角优势矩阵，又设经过Gauss消去法一步后，A具有形式aTA，则A是对角优势矩阵且由此推断：对于对称的对角优势矩阵，用Gauss消去法和部分（列）主元Gauss消去法可得到同样的结论畅设Lk为指标是k的初等下三角矩阵，即筹L

3、kmk，kmnk筹（除第k列对角元下元素外，Lk与单位阵I相同）求证当i，jk时，L珟kIijLkIij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等排列矩阵畅试推导矩阵A的Crout分解的计算公式：ALU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵畅设UXb，其中U为三角矩阵（）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式（）计算解三角形方程组UXb的乘除法次数（）设U为非奇异矩阵，试推导求UT的计算公式畅用平方根法（Cholesky分解）解方程组Axxxxxx，b畅用LDL分解法解方程组A畅用追赶法解三对角方程组AXb，其中畅求矩阵A的LU分解，并利用分解结果计算A畅下述矩阵能否分解为ALU，其

4、中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵若能分解，那么分解是否唯一？A，B，C畅设AF唱范数畅求证：，计算A的行范数、列范数、唱范数及（）XXnX，（）AFAAFn×n畅设PR范数定义且为非奇异矩阵，又设X为R上一向量XPPXn试证明XP是R上向量的一种范数畅设XR，X（x，x，xn），求证：pnTn畅证明：当且仅当与Y线性相关且XY时，才有Tlim（ixinp）maxxiXinXYXY畅设ARn×n，求证特征值相等（AA）（AA）TT畅证明：如果A（，n）是按列分块的，则AFn畅证明：如果B，则I（IB）B畅证明：对任何矩阵算子范数有I（其中I是单位矩阵），AAnji畅（）如

5、果A是对角优势矩阵，即aiijaij（i，n），证明aii（i，n）（）设A为对角优势矩阵，使ADB，其中Ddiag（aii），证明BIC，其中C，因此由定理（畅），A是非奇异阵（）证明：如果应用Gauss消去法解对角优势方程组，则所有元素akk（k）畅设As、At为任意两种R明存在常数c、c，使n×n上矩阵算子范数，证n×ncAsAtcAs（对一切AR）畅设A，计算A的条件数cond（A）（，）畅证明：如果A是正交阵，则Cond（A）畅设A，BRn×n且·为Rn×n上矩阵的算子范数，证明TT畅设A为对称正定矩阵，且其分解为ALDLWW，其中W

6、L，求证：TCond（A·B）Cond（A）·Cond（B）（）cond（A）（cond（W）（）cond（A）cond（W）·cond（W）畅设对称正定矩阵A试计算AT，且找出b，A及cond（A）（常数）及扰动b，使bXcond（A）畅求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计X畅xxxx，即AXb，即（AA）（XX）b畅畅已知Hilbert矩阵HTb时，若H及b有微小误X畅T（）计算H的条件数cond（H）（）解方程HX差（取位有效数字），估计解X的误差畅设A畅，b，已知方程组AXb的精确解为X（，）（）计算条件数cond（A）计算剩余rbAX珚（）若近似

7、解X珚（，），（）利用定理畅计算不等式右端，并与不等式左端比较，此结果说明什么？畅填空题（）X（，），则X，X，XTT，则A，（A）则cond（A）a，为使A可分解为ALL，其中L为T（）A（）A（）设Aa对角线元素为正的下三角形矩阵，a的取值范围，取a，则L五、习题解答畅解为消去第、两个方程中的x，取l，l将第个方程减去l倍的第个方程，第个方程减去l倍的第个方程，得xxx，xx，xx为消去第个方程中的x，取l将第个方程减去l倍的第个方程，得三角方程组xxx，xx，x回代，算出方程组的解x，xx（），x（xx）畅解（）记A（aij）（aij）经Gauss消元一步后，A的元素为a（）ij（）a（

8、）ij（）i（）aj（）（）（）因A是对称的，所以有aijaji，aiaj，于是有a故A是对称的（）ija（）jij（）（）aiaji（）（）用Gauss消去法求解所给对称方程组，得X（畅，畅，畅）倡T畅解（）因aijaij（k）（k）li，kak，j，（k）而故aijaij（k）（k）（）aij（k）aij（k）li，kak，j，（k）（k）li，kak，jli，kak，j（k）（）（）（k）（k）aijliajliajli，kak，jli，kak，j，i，jk（）由（）有urja又air由此解出（r）（r）rjarjklrkakj（jr，r，n）（k）rairliurliurlirurrl

9、irlikukrairkrrr畅解（）选主元为，将第一行与第二行交换，第列与第列交换，得xxx，xxx，xxx消去第、方程中的x，得xxx，畅xx，xx第次选的主元为畅将上述第个方程与第个方程交换，第列与第列交换，得xx畅x消去第方程中的未知数x，得xxx，畅xx，x回代求得，x，x，x得（）列主元为，将第行与第行交换，再消去x，xxx，畅xx，xx列主元为，将第行与第行交换，再消去x，得xxx，畅xx回代求得x，x，x畅证设A、L、U的k阶顺序主子矩阵分别为Ak、Lk、Uk（k，n），显然AkLkUk由ALU分解的定义可知，LU的各阶顺序主子式均不为零，即故det（Lk），det（Uk）de

10、t（Ak）det（Lk）det（Uk），k，n，畅x畅x，x，xx即A的各阶顺序主子式均不为零（i）畅证因i，（i，n）（i是i阶顺序主子式），所以aii（i，n），则Gauss消去法可进行到底，即存在指标为i的初等下三角阵Li，使LnLnLAU，故AL其中LL（）LnLnULU，LnLn为下单位三角阵，U是上三角阵aijaij（）畅证记A（aij），则有iajnjin又A是对角优势矩阵，可知aiijaij，i，n故ajj（）ijjinnnjiiaijajjaijjjiaiajjinaijnajjaijaijjijiaiiaiiaiiaiini（ajaj）jini（ajajai）niai（aj

11、aj）i（）aiaii（i，n）即A也是对角优势矩阵若A是对角优势矩阵，经Gauss消元一步后AA（）aTA由上述证明及第题结论知，A仍是对角优势矩阵，即ajaij（i，n）（）ii（）jin由对称性也有aiaiaij，（j，n）（）jj（）ji（）ijijnn这正好与Gauss顺序消去而第二步消元前所选列主元应为a，（k）法的主元相同以此类推第k次所选主元就是akk，所以用Gauss（）顺序消去法和列主元消去法得到同样的结果畅证因筹Lkmk，kmnk，）故ek（，T第k列Ilkek筹TT其中I是单位阵，lk（，mk，k，mik，mn，k），L珟kIijLkIijIij（Ilkek）IijIi

12、jIIij（Iijlk）（ekIij）IlkekTTT仍是指标为k的初等下三角阵，其中lk（，mk，k，mjk，mik，mnk）T畅解设ALU，即aaanaaanananann根据矩阵乘法，有ailiuli，i，n，ajluj，得ujaj，j，nlll筹lnlnlnnuu筹筹筹ununun，n现设L的前k列与U的前k行已算好，因akkikrlirurkrlirurklikukk（ik，n，ukk），k所以likaikrlirurk（ik，n）同样akkkjrlkrurjrlkrurjlkkukj（jk，n），kkj所以urlkrurjkjakk，jk，n综上，Crout分解公式liai，i，n

13、，ujajl，j，n，lkikaikrlirurk，ik，n，ukkj（akjrlkrurj）lkk，jk，n畅解（）设U为上三角阵，则有uunxbuunx筹bunnxnbn由unnxnbn，得xnbnunn一般地，由uiixiui，ixiuinxnbi，得nxbijijxjiuiii（in，n，）当U是下三角矩阵时，有uuunuun筹unnxxxnbbbn由uxb，得xbu一般地，由uixuixuiixibi，i，n，得xi（bijuijxj）uii，i，n（）乘法次数，对固定的i有ni次，i从到n，所以总乘法次数R（ni）iiRi除法次数D，Dnn故总的乘除法次数nnni（）设Uu筹V，这

14、里V也是上三角阵，即ununnv筹vnvnnjUV筹V按行计算，in，vijkiuikvkjii，ji，nvii，i，nii，畅解因系数矩阵顺序主子式，且系数矩阵对称，故为正定方程组按照算法（畅）得l，l，l，l则有由得再由yyyy，l，l，y，yxxx，得x，x，x畅解此方程组的系数矩阵为对称正定矩阵，因此可用改进的平方根法，用算式（畅）得到da，ta，ldatl，tatl，lt，ta，l，datltl则ALDLT由LYb，即yy，y得y，y，y再解DLTXY，得x，x，x畅解设udludlul由分解公式（畅）计算得d，d，d，u，l，u，l，u，l，u由公式（畅）解yLYb痴yy，y得y，

15、y，y，y再由公式（畅）解duUXY痴xxx，x得x，x，x，x畅解由矩阵的三角分解公式（畅），计算得ALU畅畅L，U畅畅畅所以畅畅畅AUL畅畅畅畅畅畅畅解设A能分解，则有ALUllluuuuuu由分解公式（畅）知，u，u，u，l，l，u，而alulu×与a矛盾，故A的LU分解不能进行但A为非奇异阵，所以存在排列阵P，使PALU即将A的行与行交换，则可分解为LU设BLU，则llluuuuuu由分解公式（畅）知，uuu，l，l，u而由lulu，得lu故l可任选，即B的三角分解存在且不唯一因C的各阶顺序主子均不为，故由定理畅知，C的三角分解存在且唯一畅解A的行范数，AmaxA的列范数，A

16、maxAF（）AAT畅畅畅畅畅畅畅畅畅畅畅畅IAATT畅畅畅畅所以max（AA），则A畅证（）由定义知，X畅nmaxxiixiinXimaxxinX，inn从而XXn·XTT（）由范数定义有Amax（AA）（AA）（AA）n（AA）TTAA的对角元之和iaiaianiTiinnnjaiaijAFijjinnnn又Amax（AA）T从而TTT（AA）（AA）n（AA）AFAFAAF注：此处用到了矩阵的特征值之和等于其对角线上元素之和的概念从所证不等式也知道，矩阵的唱范数可由F唱范数得到控制；矩阵的唱范数与F唱范数是等价的畅证只要证明XPPX满足范数定义的（），（），（）（）因P非奇异，

17、故对任意X0，PX0，则XPPX；当X0时，PX0，则X（）对任意实数，XPPXPXPXX（）XYPPPPX；当XPPX时，则PX0，即X0P（XY）PXPYPXPYXPYP综上所述，XP是R上的一种向量范数畅证因Xpnmaxxiixin·maxxin·XininX（ixi）npppnppp，两边开p次方有nX而plim，故畅证由Cauchy不等式，有（X，Y）XY，且当且仅当X、Y线性相关时，有lim（ixi）ppnpX（X，Y）XY；又当且仅当XY时，有（X，Y）（X，Y）T故（X，Y）XY当且仅当X、Y线性相关，且XYT时，所以XY（XY，XY）（X，X）（X，Y）（

18、Y，Y）XXYY（XY）当且仅当X、Y线性相关，且X，Y时，即XYXY迟痴X，Y线性相关，且XYT畅证由于IA及记BIATTOIAIIAATTAIAIIOAIAATT，（畅）（畅）IOAIIIAAATOI对（畅）、（畅）两式两边取行列式得det（B）det（IAA），nnnnT记，故det（B）det（IAA）TTT畅证设A（n）按列分块，即j（j，j，nj）（j，n），则jiij而Tndet（IAA）det（IAA）nnijnjjnnnj（）jijAFii畅证因B，由定理畅知IB可逆且（IB），所以I（IB）（IB）（IB）（IBI）BB畅证由矩阵算子范数定义有ImaxXO由矩阵范数的相容性

19、有AA优势矩阵，则jjiIXXmaxXOAAI畅证（）用反证法若有某个i使aii，因A是对角aijaijn这是不可能的得证（）因ADB，即aAaan而Bannnnanananannaa筹annnnnaannDBannnnICanCmaxijnjiaijiimaxijnaijiijinaijaii）所以由定理（这是因为A是对角优势矩阵，则jji畅知，BIC为非奇异阵由（）aii，故D非奇异因此ADB非奇异，n而a（）设A为对角优势阵，由（）知aii，i，a，所以a又设经Gauss消元一步后A具有形式：（）（）a（）（k）TA（）由习题知，A也是对角优势矩阵又由（）知aii，i，n，即有a如此类推

20、akk畅证因AsmaxXOAXss对一切X都有由定理畅知，存在a，a，b，b，aAXsAXtaAXs，与bXsXtbXs于是AXsAXtAXssts令cc，故有cAXsAXtAXscstscmaxX0即AXsAXtAXsmaxmaxcX0X0stscAXsAXtcAXsA畅解A，则AA，A，所以因A是对称矩阵，故cond（A）A×max（A）min，cond（A）由det（IA）得即畅，畅cond（A）T畅证因A是正交阵，故AAcond（A）maxmin，则maxminmaxmin畅证由条件数的定义及矩阵范数的相容性，有cond（AB）AB（AB）AATAABBBBcond（A）cond（B）畅证（）因AWW，所以cond（A）AATWW（WW）TTWW（co