数列的概念与简单表示法

1、第六章 数 列数列的概念与简单表示法考点梳理1数列的概念(1) 定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 (通 常也叫做 )，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项所以，数列的一般形式可以写成 ，其中 an 是数列的第 n 项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作 an(2) 通项公式：如果数列an的 序号 间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3) 从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1 ,2，3，n)的函数(离散的)，当自

2、变量从小到大依次取值时所对应的一列 :(4) 数列的递推公式：如果已知数列的第1 项(或前几项 )，且从第二项 (或某一项 )开始的任一项 与它的前一项 (或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(5) 数列的表示方法有 、.2数列的分类(1) 数列按项数是有限还是无限来分，分为 、.(2) 按项的增减规律分为 、和 递增数列？ an + 1an ；递减数列？ an + 1an ；常数列？ an + 1an.递增数列与递减数列统称为 3 数列前n项和Sn与an的关系(n = 1) ,已知Sn,贝U an =(n > 2) .自查自纠：1 (1)项 首

3、项a1, a2, as，an，(2)第 n 项 n (3)函数值 (4)an an1(5)通项公式法 (解析式法 ) 列表法 图象法 递推公式法2 (1)有穷数列 无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列 > v = 单调数列典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式:(1) - 1，7，- 13，19，；246810一.' 3 ' 15 ' 35 ' 63 ' 99 ''1 9252，2，2，8，；5 , 55 , 555 , 5 555，解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公

4、式正负性可用(-1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an =(-1)n(6n 5) (2) 这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1 X 3 , 3 X 5 , 5 X 7 ,7 X 9 , 9 X 11，每一项都是两个相邻奇数的乘积故数列的一个通项公式为an =2n(2n 1 )( 2n +1)2nan =.(3) 数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即14916252, 2，2，T，T，故数列的一个通项公式为555(4) 将原数列改写为 -X 9 , -X 99 , -X 999，易知数列

5、 9 , 99 , 999，的通项vJvJvJ5为10n- 1，故数列的一个通项公式为an = (10n- 1) 9变式1写出下列数列的一个通项公式11 11(1) -1，2，-3 , 4 ,5,；(2)3 ,5 , 9,17 , 33 ,;21017263，-1 ,7 , 9 ,11 ,(4)1 ,2 , 2 ,4 , 3, 8,4, 16 ,1解：(1)an= (- 1)n ;n(2) an = 2n+ 1 ；5由于一1 =-'，故分母为 3 , 5 , 7, 9 , 11，即卩2n + 1，分子为2 , 5 , 10 ,517 , 26，即n2 + 1符号看作各项依次乘1 , -

6、 1 , 1 , - 1，即卩( 1)n 1，故an= (- 1)n +1n2 + 12n + 1.观察数列an可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列， an =n + 12 (n为奇数)，类型二由前n项和公式求通项公式例题2(1)若数列an的前n项和Sn = n2 10 n ,则此数列的通项公式为 an =若数列an的前n项和Sn = 2n+ 1，则此数列的通项公式为an =解：(1)当 n = 1 时，a1 = S1 = 1 10 = 9;当n > 2时，an = Sn Sn 1 = n2 10 n (n 1)2 10( n 1) = 2n 11 .当 n = 1 时，2 x 1

7、11 = 9 = a1. an= 2n 11 .故填2 n 11 .当 n = 1 时，a1 = S1 = 21 + 1 = 3 ； 当n > 2时，an = Sn Sn 1 = (2“ + 1) (2“ 1 + 1) =2n 2n 1 = 2n 1.综上有an =3 (n = 1 ), 2n1 (n >2)3 (n = 1 ), 故填 2n -1 ( n >2 )变式2 已知下列数列an的前n项和Sn,分别求它们的通项公式 an.(1)Sn= 2n2 3n ；Sn = 3n + b.解：(1)a1 = S1 = 2 3 = 1，当 n >2 时，an = Sn Sn

8、1 = (2n2 3n) 2(n 1)2 3(n 1) = 4 n 5 ,a1也适合此等式， an= 4n 5. a1 = S1 = 3 + b ,当 n > 2 时，an = Sn Sn 1=(3n + b) (3n 1 + b) = 2 3n 1.当b = 1时，a1适合此等式.当b工1时，a1不适合此等式.当 b = 1 时，an = 2 3n 1;当b丰一3 + b , n = 1 ,1 时，an = 2 3n -1, n > 2.类型三由递推公式求通项公式例题3(1)a1 = 2(2)ai = 1写出下面各数列an的通项公式.an +1 = an + n +1 ；n +

9、2前 n 项和 Sn= 3an；3 a1 = 1 解：(1)由题意得，当n >2时，an an -1 = n ,an = a1 + (a2 aj + (a3 a2)+ + (an an 1)(n 1 )( 2 + n) n (n + 1 )=2 + (2 + 3 + + n)= 2 +an+1 = 3an + 2.1 X( 1 + 1 )又a1 = 2 =-+1，适合上式，n (n +1 )因此an =由题设知,ai = 1.c c n + 2 n + 1an = Sn Sn 1 = an an 1.33ann +1an 1n 1a45 a34a3 = 3，a2 = 2，an n + 1

10、an 1 n 1 '以上n-1个式子的等号两端分别相乘,an n (n +1 ) 得到_=a1a2 =3.a1又 ai = 1 ,n (n +1 )an=2(3) 解法一:(累乘法)an +1 = 3 an+ 2，得 an+ 1 + 1 = 3( an + 1),an + 1 + 1 即冇Ta2 + 101+7=3，a3 + 1R=3,a4 + 1討=3，-an + 1 + 1T+T=3.将这些等式两边分别相乘得心! = 3n.a1+ 1an + 1+1 nt a1 = 1 , = 3 ,1 +1即 an+1 = 2 x3n 1(n> 1), an = 2 x 3n 1 1(n

11、>2), 又a1 = 1也适合上式，故数列an的一个通项公式为 an= 2 x 3n T 1 . 解法二：(迭代法)an +1 = 3 an + 2 ,即 an +1 + 1 = 3(an+ 1) = 32(an 1 + 1)=33(an - 2 + 1)= = 3n(a1 +1) = 2 x 3n(n > 1),an = 2 x 3n 1 1(n >2),又a1 = 1也满足上式，故数列an的一个通项公式为 an= 2 x 3n 1 1 .变式3 写出下面各递推公式表示的数列 an的通项公式.1(1)a1 = 2 ,(2) a1 = 1 ,(3) a1 = 1 ,an+ 1

12、 = an +/n (n + 1)an+ 1 = 21 an ；an+ 1 = 2 an + 1.解: (1) 当n2 时，an an 1 =1 1时，an = (an an 1)+ (an 1 an 2)+ + 但2 a1) + a1 = +n 一 1 n1+ -n 2 n 1 + 2当n = 1时，适合.故1an = 3 _na2a3 = 2n，二=21, = 22，an + 1a2a2ana1将这n 1个等式叠乘，an( n 1)得岂=2 1 + 2 + + (n 1) = 2 2 寸a1旦 2n 1 an1=2，an = 2n (n 1) 当n = 1时，适合.故an = 22(3)由

13、题意知 an +1 + 1 = 2( an + 1), 列， an +1 = 2n, a n = 2n 1 .数列an+ 1是以2为首项，2为公比的等比数类型四数列通项的性质10 n例题4 已知数列an，且an = (n + 1)不(n N*).求数列an的最大项.10 n解：因为an = (n + 1)石 是积幕形式的式子且an > 0 ,所以可用作商法比较 an与an-1的大小.an解：令 > 1(n>2),an 110 n(n + 1 )1110 n t11n + 111整理得一胃 10，解得n w 10 .an令不A1,(n + 1 )(n + 2)10 n1110

14、n+1 A111n + 110整理得忌A17，解得nA9.从第1项到第9项递增，从第10项起递减.故10 10a9 = a10 =常最大.n变式4数列an的通项an = K，则数列an中的最大项是()A. 310 B . 19 C.119D.10601 一解：易得an =90，运用基本不等式得，n +n1 190、2 90 n +n，由于n N*，不难发现1当n = 9或10时，an =最大故选C.I方法规律总结1已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1) 如果符号正负相间，则符号可用 (1)n或(-1)n+1来调节.(2) 分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助

15、分子和分母的关系来解决. 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.S1 ( n = 1),2. an =注意an = Sn Sn -1的条件是n A2，还须验证 a1是否Sn Sn 1 ( n A 2 ),符合an(n a2)，是则合并，否则写成分段形式.3 .已知递推关系求通项掌握先由a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想 an的方法，以及“累加法”“累 乘法”等.(1) 已知a1且an an 1 = f(n),可以用“累加法”得：an = a 1 + f (2) + f(3) + f (n 1) + f(n).an(2) 已知a1且=f(n),可以用“累乘法”得

16、：an 1an = ai f(2) f(3) f(n - 1) f(n).注：以上两式均要求f(n )易求和或积.4 .数列的简单性质(1) 单调性：若an +1> an，则an为递增数列；若an + 1V an，则an为递减数列.(2) 周期性：若 an+ k = an(n N*, k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一 个周期.anan + 1 ,anW an + 1 ,(3) 最大值与最小值：若则an最大；若则an最小.anan - 1 ,anW an - 1 ,课后练习1 . 1 , 2 ,7,.10,13，中，219是这个数列的()A .第16项B .第24项C .第

17、26项 D .第28项解：观察 a1 = 1 = ”1 , a2 = 2 = 4, a3 = 7, a4 = /10 , a5 = /13，所以 an =3n 2.令 an = 3n 2 = 2 19 = 76，得 n = 26 .故选 C.2 .数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an =(2(n +1 ) 2n2A. 2n 1 B . nC. 2 D.2Tnn2n = TTZ = (n 1 ) 2 .故n(n 1 )解：设数列an的前n项积为Tn，贝U Tn = n2，当n2时，a选D.3 .数列an满足 an +1 + an = 2n 3，若 a1 = 2，贝U as a4 =()A

18、. 7 B . 6 C . 5 D . 4解：依题意得(an+2 + an+1) (an +1 + an) = 2( n +1) 3 (2n 3)，即 an+2 an = 2 , a8 a4 = (as a6) + (a6 a4) = 2 + 2 = 4.故选 D.an已知数列an的前n项和Sn = 2an 1，则满足一W 2的正整数n的集合为()n1,21,2341,2,41,2,3解：B1在数列an中,a1 = 2 , an +1 = an + lg 1 + 门，贝V an 的值为()2 + lg n2 + n lg nB . 2 + (n 1)lg n D . 1 + n lg n n

19、+ 1解法一：T an +1 an = lg ,nan = (an an -1)+ (an -1 an - 2) + + (a2 aj + a1n n 12=lg + lg + lg + 2 n 1 n 21n n 132=Ig二；+ 2 = Ign + 2.n 1 n 221解法：an +1 = an + lg(n + 1) Ign ,an +1 lg(n + 1) = an Ign,所以数列an Ign是常数列，an Ign = a1 Ig1 = 2 , an=2 + Ign故选 A.6 .若数列an满足 a1 = 2, an + 1an = an 1，贝U a2017 的值为()1A.

20、1 B. - C . 2 D . 311解：根据题意，数列an满足 a1 = 2 , an + 1an = an 1 , an +1 = 1 , a2 =an2as = 1 , a4 = 2，可知数列的周期为 3 , 2017 = 3 x 672 + 1 ,二 a2017 = a1 = 2.故 选C.7 .已知数列an满足 as，t= asat(s, t N*)，且 a2 = 2，贝U a8 =.解: 令 s = t = 2，贝U a4 = a2x a2 = 4，令 s = 2 ,t = 4，贝U a8 = a2x4 = a2x a4 = 8.故填8.8 下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是an =.解：从题图中可观察星星的个数构成规律,n = 1时，有1个；n = 2时，有3个；n=3时，有 6个；n