数列求和7种方法方法全,例子多

1、1、等差数列求和公式： Sn2、等比数列求和公式:Snn13、Snkn(n 1)k 12例1已知lOg3X1log2 3解:由 lOg3X1log2 3由等比数列求和公式得门佝 a.)_ n(nna2 2ai(1 qn) aia.q1 q 1 q4、Sn23n求 XXXxlog3 X log3 2 x23SnX X X数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法

2、、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定 的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1)d(q 1)(q 1)n 21k2n(n 1)(2 n 1)k 16的前n项和.12Xn(利用常用公式)1 1 x(1 xn)=汕 R = 1 _ 丄1 x彳 12n1 一2例 2设 Sn = 1+2+3+n , n N

3、*,求 f (n)(n§的最大值.32) Sn 1解：由等差数列求和公式得S1)，Sn1-(n 1)(n 2)(利用常用公式)2Sn150150 f( n)n(n 32) Sn 1 n 34n 641164 l 8 2n 34( n =)50nn二当 In 命，即 n = 8 时，f (n)max的前n项和S n = 2 1,则*八；题 2 .若 12+2 2+ +( n-1) 2= an3+ bn2+ cn ,贝U a=, b=, c=(难一1)愆(2阳一 12把'一3聊，+昶111解：原式=1答案： -'二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所

4、用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1n 1n 1解：由题可知，(2n 1)x 的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列x 的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn(设制错位)得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn (错位相减)1 xn 1再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x(2n 1)xnx)2(1例4求数列2,62 2Q n尹前n项的和.解:由题可知,2 ' ?3 '争的

5、通项是等差数列2n的通项与等比数列*的通项之积练习题设Sn2Sn2222"一得（12n42242)S2n 1_6_23622n班2n2门i2 22" 3（设制错位） Sn 4 仔已知 h ,求数列an的前项和Sn.答案:=n-2" - 1-2C - 21 - - - -2"-1 = n*2n - 2" +12-1练习题的前n项和为答案:三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原例5求证：C：3cn5C；(2n1)C：(n 1)2n证明：设Snc3C15C；(2n1)C：.把式右边

6、倒转过来得Sn(2n1)C:(2n1)Cnn 13C c (反序)又由n mCn可得Sn (2n1)C°(2n1)C：3C：1nCn.+得2Sn(2n2)(C°cnn 1nCnCn ) 2( n 1)2n （反序相加）Sn(n1) 2nan).数列相加，就可以得到 n个.S (2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)3例 6 求 sin21 sin22 sin2 32 2sin 88 sin 89 的值(1 )(2)2 2解：设 S sin 1 sin 2将式右边反序得S sin 2 89sin288又因为 si nx cos(90+得2S (sin 21cos21

7、 )S= 44.5已知函数证明：亠；sin2 3sin2 3x),s in22 2sin 2 88 sin2 89sin 2 2sin212x cos(反序相加)(sin2 2cos2 22 2(sin 89 cos 89 ) = 89求召戶扁低戶L10丿的值.解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2 )利用第(1 )小题已经证明的结论可知,两式相加得:2£ =沙/丄丄U®丿丿10S =-所以A 1练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1

8、 1 1例7求数列的前n项和：1 1,4,-2 7,，一百 3n 2，a aa1 1 1解：设 Sn (1 1) ( 4) (-y 7)(f 3n 2)aaa将其每一项拆开再重新组合得1Sn (1a12 a1n1)(14a73n 2)(分组)当a = 1时,Snn(3n1)n(3n1)n（分组求和）22当a 1时,Sn11F (3n 1)n .1 na a(3n 1)n11 2a 12a例8求数列n(n+1)(2n+1) 的前n项和.解：设ak k（k1)(2k1)2k3 3k2 knn& k(k 1)(2k 1) =(2k3 3k2 k)k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nk (

9、分组)nnSn = 2 k33 k2k 1k 1=2(13 23n3) 3(12 22n2)(1 2 n)n2(n 1)22n(n 1)(2 n 1)2晋（分组求和）2n(n 1) (n 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)f(n 1)f(n)(2)sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)(2n)2(2n 1)(2 n 1)(5)an1n(n 1)( n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)a

10、n1n 1n 212(n 1) nn(n 1) 2nn(n 1)2nn 2n 1 (n 1)2n,则 Sn11(n 1)2n(7) an1(An B)(A n C)1 1 1C_(_B An C)(8) an1 1 1例9 求数列,的前n项和.1 J2 <2J3Jn Jn 1解：设an.n 1. n (裂项)（裂项求和）=(.2 1)(32)=、n 1 1例 10在数列an中，an12n 1n 1解：12nann 1n 1n 1Ui21 18('')（裂项）n n 1n n 12 2数列bn的前n项和Sn11 1118(1 J( )J)22 3341丿8n8(1 -n1n

11、 1例 11求证：11cos0 cos1cos1cos2解:设S11cos0 cos1cos1cos 2则Sn(n 1 n)n2，又bn-，求数列bn的前n项的和n 1an an 1n21 1()(裂项求和)n n 11cos12cos88 cos89 sin 11cos88 cos89si n1cos n cos(n 1)tan(n 1) tann (裂项)1cos0 cos11cos1 cos21cos88 cos89（裂项求和）sin 1(tan 1tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan3tan 2 ) tan 89 tan 88 11cos1sin 1(tan 89 tan

12、O ) = cot1 =2_sin 1sin 1原等式成立1(3w- 2)x(3/s + l)n答案：-1练习题2 。六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn .例 12求 cosl ° cos2 ° cos3 ° + cos178 ° cos179。的值° + cos178 ° cos179解：设 Sn= cos1 ° cos2 ° cos3cosn cos(180 n )(找特殊性质项)/Sn=(cos1

13、 ° cos179 ° )+ ( cos2 ° cos178 ° )+ (cos3 ° cos177 ° )+ + (cos89 °+ cos91 °)+ cos90 ° (合并求和)=0例 13数列an: a11,a23 a32,an 2an 1an ,求 S2002 .解：设 S2002 = a1a2a3a2002由 a11, a23,a32, an 2an 1 an可得-a6k 1a6k 2a6k3 a6k 4a6k5 a6k 60 （找特殊性质项）S2002 = a1a2a3a2002（合并求和）

14、ai999a2000a200ia2002=a6k ia6k 2a6ka6k 4例14 在各项均为正数的等比数列中，若a5 a69,求 log3 ai log3 a2log3 aio 的值.解：设 Sn log3 ai log3a2log 3 aio由等比数列的性质 m n p qam ana paq(找特殊性质项)和对数的运算性质loga M logalog a M NSn(log3 ailog3aio) (log3 a2log3 a9)(log3 a5log3 a6)(合并求和)练习、求和:=(log 3 4=log3 9=ioaio) (log 3 a2 a9 )(log3 a5a6)lo

15、g3 9log3 9练习题i 设i-一-一 1一-,则二练习题 2 若 Sn=i-2+3-4+(-i) n-i n，则 Si7+ S33 + S 50 等于A.i B.-i C.OD .2解：对前n项和要分奇偶分别解决，即:Sn=答案:练习题 3i00 2-99 2+98 2-97 2+ +2 2-i2 的值是A.5000B.5050C.i0i00D.20200+(2+i)=5050.答案：B解：并项求和，每两项合并，原式=(i00+99)+(98+97)+七、禾U用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重

16、要的方法例 15求 1 11 1111111之和.n个 1解：由于111k个 11(10k1）（找通项及特征）1 11 111=1(101 1)9111n个 1丄(10291)(103 1)916（10）（分组求和）112=6(10 1010310n) 9(11)1 10(10n 1)910 11n 1=81(10 109n)例16已知数列an：an解:/ (n1)(an(n11)(an提高练习:设数列anbn设数列Cn2.设二次方程a(nan 1)an 1 )中，Sn是其前an 1 2an（na n n,(n 1,2,nX8(n3r求(n 1)(an an 1)的值.11)( n 1)(n3)（n 2）（n4）（找通项及特征）=8 (n 2)(n4(丄n 1 n 24) (n1亍（