高等数学期末复习

1、高等数学期末复习1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数0，2）含分式的：分母0含对数的：真数09-x2例： 1.函数y=的定义域是 ln(x-1)9-x20-3x3 x-1>0x>11<x3且x2 ln(x-1)0x22、函数的对应规律例：设f(x+1)=x2+3x+4,求f(x)解：由于f或：令x+1=tx=t-1则f(t)=(t-1)2+3(t-1)+4=t2+t+2f(x)=x2+x+23、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同例：1、下列各函数对中，（ B ）中的两个函数相同 ()中的表达式是x+1，可将等式右端表示为x+1的形式 f(x+1)=(x+

2、1)2+x+3=(x+1)2+(x+1)+2f(x)=x2+x+2x2-1,y=x+1 A、y=,y=x B、y=x-12C、y=lnx2,y=2lnx D、y=sin2x+cos2x,y=14、判断函数的奇偶性：若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数，也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。例：下列函数中，（ A ）是偶函数Af(x)=x

3、sinx Bf(x)=x+1 33Cf(x)=a-a Df(x)=xcosx x-x35、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量例1）: 当x0时，下列变量为无穷小量的是（ B ）A、cosx B、ln(1+x) C、x+1 D、e2）limxsinx0x1= x6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等limx0x=( D ) xA、1 B、1 C、±1 D、不存在1)约去零因子后再计算0sinx7、极限的计算：对于“”形 2）利用重要极限lin=10x0x例1）linx0x+1-1x11=lin=lin= x0xx(x+1+1)x0x+1+

4、121sin(x-1)sin(x-1)1sin(x-1)1sin(x-1)11=lim=lim= =lim2x1x1x144(x+3)(x-1)(x+3)(x-1)x+2x-3lim(x+3)(x-1)x12）limx18、导数的几何意义：f'(x0)表示曲线y=f(x)在点x0处的切线的斜率；曲线y=f(x)在点（x0,y0)处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0) 例：曲线f(x)=解：f'(1)=x+1在(1,2)处的切线斜率是 =11,故切线方程为：y-2=(x-1) 22xx=1219、导数的计算：复合函数求导原则：由外向内，犹如剥笋，层层求导例1）设y

5、=lnsinx2，求y' 解：y'=12cosx2x 2sinx2例2）设y=e-x，求dy解; dy=(2xe-x)dx 210、判断函数的单调性：y'>0:函数单调递增，满足关 系式的区间为单调递增的区间。y'<0:函数单调递减，满足关 系式的区间为单调递减的区间。例：.函数y=(x+1)2+1的单调减少区间是 y'=2(x+1)<0x<-1故单调减少区间是（-，-1）11、应用题的解题步骤：1）根据题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0的点），3）根据题意直接回答例1） 求曲线y2=2x上的点，使其到点A(2,0)的

6、距离最短解：曲线y2=2x上的点到点A(2,0)的距离公式为d=(x-2)2+y2d与d2在同一点取到最小值，为计算方便求d2的最小值点，将y2=2x代入得d2=(x-2)2+2x令(d2)'=2(x-2)+2222令(d)'=0得x=1可以验证x=1是d的最小值点，并由此解出y=±2，即曲线y=2x上的点(1,2)和点(1,-2)到点A(2,0)的距离最短2）某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为S=r2+2rh因为r2h=V h=所以 V r2S=r2+2V rS'=2

7、r-由S'=0，得唯一驻点r=12、不定积分与原函数的关系: 2V r2VV，此时h=，由实际问题可知，当底半径r=和高h=时可使用料最省 设 F'(x)=f(x)，则称函数F(x)是f(x)的原函数.,例1）若f(x)的一个原函数为f(x)dx=F(x)+c 1，则f'(x)=（ B ） x211 A、 lnx B、 3 C、 D 、-2 xxx'121解：f(x)= =-2f'(x)=3 xxx2）已知xf(x)dx=sinx+c，则f(x)=() （答案：C）sinxcosx B.xsinx C. D.xcosx xxcosx解：xf(x)=(si

8、nx)'=cosxf(x)= x'13、性质：f(x)dx=f(x),f'(x)dx=f(x)+c A.()例1）dx2f(x3)dx=（ B ） dx11f(x) D. f(x3) 33 A. f(x3) B. x2f(x3) C.例2）(tanx)'dx=14、不定积分的计算：1）凑微分；2）分部积分 1） 常用凑微分：dx=11111d(ax+b),xdx=d(x+1)(-1),dx=d(lnx),2dx=-d(), a+1xxx1xdx=2d(x),exdx=d(ex),cosxdx=d(sinx),sinxdx=-d(cosx)1xf(x)dx=（ B

9、 ）1x例1）若f(x)dx=F(x)+c，则 A. F(x)+c B. 2F(x)+c C. F(2x)+c D. F(x)+c 解：1xf(x)dx=2f(x)d(x)=2F(x)+cex2dx111x例2）计算1xe1解：2dx=-exd() =-ex+c xxsinlnxdx 例3)计算xsinlnx=sin(lnx)d(lnx)=-cos(lnx)+c 解;xnxxedx2） 分部积分的常见类型：xnsinxdx把exdx、 sinxdx、cosxdx凑成dv的形式。xncosxdxnnxlnxdx把xdx凑成dv的形式，再根据分部积分公式udv=uv-vdu计算 -x例1）计算xe

10、dx -x-x-x-x-x-x-x解：xedx=-xed(-x)=-xd(e)=-xe-edx=-xe-e+c 例2）计算不定积分xcos3xdx 11111xcos3xd(3x)=xd(sin3x)=xsin3x-sin3xdx=xsin3x+cos3x+c 33333(x+1)-1x=xln(x+1)- 例3）计算ln(x+1)dx=xln(x+1)-xdln(x+1)=xln(x+1)-x+1x+11)dx=xln(x+1)-x+lnx+c =xln(x+1)-(1-x+1解：xcos3xdx=15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设F（x）是f(x)的一个原函数，则baf(x)dx=F(x)

11、b=F(b)-F(a) a例：若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是（ B ）f(x)dx=F(x)-F(a) C. F(x)dx=f(b)-f(a) D. f'(x)dx=F(b)-F(a) A. abxf(x)dx=F(x) B. xabaa16、奇偶函数在对称区间上的积分：若f(x)是奇函数，则有若f(x)是偶函数，则有例1)：a-aaf(x)dx=0 -af(x)dx=2f(x)dx=2f(x)dx 0-aa01x-1(x2+1)2=分析：x(x2+1)2为奇函数，所以1x-1(x2+1)2dx=0例2）1-1= 分析： x为偶函数 故： 1-1=2xdx=x2|10=1 0117、定积分的计算：1）凑微分，2）分部积分；定积分的凑微分和不定积分的计算相同。例1） 计算21e 2x1x解：利用凑微分法，1x11dx=-d ，得 2xx21112e12x=-ed =-ex|1=e21xx例2）计算定积分21=2d，得21=2=21221|=2-e ()定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同： bb定积分的分部积分公式：udv=uv-vdu aaab例1） 计算1-2x10xe-2xdx 1111-2x11111-2x-2x1解：xedx=-xed(-2x)=-xd(e)=-xe-e-2xdx=-e-2+e-2x 00002020222