与特殊四边形有关的压轴题

1、与特殊四边形有关的压轴题1在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）ABCD2如图，在ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（）A B CD、23.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（） A、6 B12 C、2 D44、如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F有甲、乙、丙三名同学同时从

2、点A出发，甲沿着ABFC的路径行走至C，乙沿着AFECD的路径行走至D，丙沿着AFCD的路径行走至D若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（） A甲乙丙B甲丙乙C乙丙甲 D丙甲乙5、如图，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点设，（）下列结论：；其中结论正确的个数是（ ）（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个6、如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等边三角形其中正确的是（）

3、A、 B、 C、 D、7、如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D的坐标是（）A（2，10） B（-2，0）C（2，10）或（-2，0）D（10，2）或（-2，0）8、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）A2.5BCD29、如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（） A（，3）、（，4）B（，3）、（，4）C（，）、（，4）D（，）、（，4）10、如图，正方形ABC

4、D中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF则下列结论：ABGAFG；BG=CG；AGCF；SEGC=SAFE；AGB+AED=145°其中正确的个数是（）A 2B3C、4D511、如图，在矩形ABCD中，AD=AB，BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：AED=CED；OE=OD；BH=HF；BCCF=2HE；AB=HF，其中正确的有（）个 A 2 B3C、4D512、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上若AB=6，BC=

5、9，则BF的长为（）A4B3C4.5D513、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A a2B a2C a2Da214、如图，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）DCF=BCD；EF=CF；SBEC=2SCEF；DFE=3AEF2、(2014.年河南省第题)如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠

6、，当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时，DE的长为【考点】：翻折变换（折叠问题）【分析】：连接BD，过D作MNAB，交AB于点M，CD于点N，作DPBC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD，再分两种情况利用勾股定理求出DE【解答】：解：如图，连接BD，过D作MNAB，交AB于点M，CD于点N，作DPBC交BC于点P，点D的对应点D落在ABC的角平分线上，MD=PD，设MD=x，则PD=BM=x，AM=ABBM=7x，又折叠图形可得AD=AD=5，x2+（7x）2=25，解得x=3或4，即MD=3或4在RTEND中，设ED=a，当MD=3时，DE=53=2，EN=7CNDE=73a=4a，a

7、2=22+（4a）2，解得a=，即DE=，当MD=4时，DE=54=1，EN=7CNDE=74a=3a，a2=12+（3a）2，解得a=，即DE=故答案为：或【点评】：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的3、(2014年四川省绵阳市第17题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，EAF=45°，ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为【考点】：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质【分析】：根据旋转的性质得出EAF=45°，进而得出FAEEAF，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+

8、BC+BF=4，得出正方形边长即可【解答】：解：将DAF绕点A顺时针旋转90度到BAF位置，由题意可得出：DAFBAF，DF=BF，DAF=BAF，EAF=45°，在FAE和EAF中，FAEEAF（SAS），EF=EF，ECF的周长为4，EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4，2BC=4，BC=2故答案为：2【点评】：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出FAEEAF是解题关键4、 (2014年湖北随州第16题)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）设AE=x

9、（0x2），给出下列判断：当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；当x=时，EF+GHAC；当0x2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；当0x2时，六边形AEFCHG周长的值不变其中正确的是（写出所有正确判断的序号）【考点】：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质【分析】：（1）由正方形纸片ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出BEF和三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD的中点，即点P是正方形ABCD的中心；（2）由BEFBAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，从而得出结论（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积EBF的面积GD

10、H的面积得出函数关系式，进而求出最大值（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解【解答】：解：（1）正方形纸片ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，BEF和三DGH是等腰直角三角形，当AE=1时，重合点P是BD的中点，点P是正方形ABCD的中心；故结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，BEFBAC，x=，BE=2=，=，即=，EF=AC，同理，GH=AC，EF+GH=AC，故结论错误，（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积EBF的面

11、积GDH的面积AE=x，六边形AEFCHG面积=22BEBFGDHD=4×（2x）（2x）xx=x2+2x+2=（x1）2+3，六边形AEFCHG面积的最大值是3，故结论错误，（4）当0x2时，EF+GH=AC，六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2故六边形AEFCHG周长的值不变，故结论正确故答案为：【点评】：考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度5、（2014江西第13题）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90

12、76;，180°，270°后形成的图形。若，AB=2，则图中阴影部分的面积为_.【考点】 菱形的性质，勾股定理，旋转的性质【分析】 连接AC、BD，AO、BO，AC与BD交于点E，求出菱形对角线AC长，根据旋转的性质可知AOCO。在RtAOC中，根据勾股定理求出AO=CO=，从而求出RtAOC的面积，再减去ACD的面积得阴影部分AOCD面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。【解答】解：连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO。因为四边形ABCD是菱形，AC BD，ABAD2。BAD60°，ABD是等边三角形，BDAB2，BAEBAD30°，AEAC

13、，BE=DE=BD=1，在RtABE中，AE，AC2。菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，AOC×360°90°，即AOCO，AOCO在RtAOC中，AO=CO=。SAOC=AO·CO=××=3，SADC=AC·DE×2×1,S阴影SAOC SADC=4×（3）124所以图中阴影部分的面积为124。6、 (2014年河南省第14题)如图，在菱形ABCD中，AB=1，DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°

14、;得到菱形ABCD，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为【考点】：菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质【分析】：连接BD，过D作DHAB，则阴影部分的面积可分为3部分，再根据菱形的性质，三角形的面积公式以及扇形的面积公式计算即可【解答】：解：连接BD，过D作DHAB，在菱形ABCD中，AB=1，DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形ABCD，DH=，SABD=1×=，图中阴影部分的面积为+，故答案为：+【点评】：本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键7、（

15、2014泰州第16题）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q若PQ=AE，则AP等于cm【考点】:全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形【专题】：分类讨论【分析】：根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30

16、76;，再由PN与DC平行，得到PFA=DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP的长即可【解答】：解：根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，四边形ABCD为正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30°，AD=3cm，tan30°=，即DE=cm，根据勾股定理得：AE=2cm，M为AE的中点，AM=AE=cm，在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30°，PNDC，PFA=DEA=60°

17、，PMF=90°，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30°，cos30°=，AP=2cm；由对称性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，综上，AP等于1cm或2cm故答案为：1或2【点评】：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键8、 (2014年重庆市第18题)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，则OF的长为【考点】：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质【分析】：在BE上截取BG=CF，连接OG，证

18、明OBGOCF，则OG=OF，BOG=COF，得出等腰直角三角形GOF，在RTBCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长【解答】：解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，RTBCE中，CFBE，EBC=ECF，OBC=OCD=45°，OBG=OCF，在OBG与OCF中OBGOCF（SAS）OG=OF，BOG=COF，OGOF，在RTBCE中，BC=DC=6，DE=2EC，EC=2，BE=2，BC2=BFBE，则62=BF，解得：BF=，EF=BEBF=，CF2=BFEF，CF=，GF=BFBG=BFCF=，在等腰直角OGF中OF2=GF2，OF=【点评】：本题考查了全等

19、三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用9、 (2014年宁夏第15题)如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB=CD=2，BC=5，BAD的平分线交BC于点E，且AECD，则四边形ABCD的面积为【考点】：平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质【分析】：根据题意可以判定ABE是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形ABCD的高所以利用梯形的面积公式进行解答【解答】：解：如图，过点A作AFBC于点FADBC，DAE=AEB，又BAE=DAE，BAE=AEB，AECD，AEB=C，ADBC，AB=CD=2，四边形是等腰梯形，B=C，ABE是等边三角形，AB=AE

20、=BE=2，B=60°，AF=ABsin60°=2×=，ADBC，AECD，四边形AECD是平行四边形，AD=EC=BCBE=52=3，梯形的面积=（AD+BC）×AF=×（3+5）×=4【点评】：本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质等10、（2014宁波第11题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是【考点】：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理【分析】：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，ACD=GCF=4

21、5°，再求出ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【解答】：解：如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=3，ACD=GCF=45°，ACF=90°，由勾股定理得，AF=2，H是AF的中点，CH=AF=×2=【点评】：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键11、（2014武汉第16题）如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=

22、45°，则BD的长为_【考点】：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形【分析】：根据等式的性质，可得BAD与CAD的关系，根据SAS，可得BAD与CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD的关系，根据勾股定理，可得答案【解答】：解：作ADAD，AD=AD，连接CD，DD，如图：，BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD与CAD中，BADCAD（SAS），BD=CDDAD=90°由勾股定理得DD=，DDA+ADC=90°由勾股定理得CD=，BD=CD=，故答案为：【点评】：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与

23、性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键12、（2014苏州第17题）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E若AEED=，则矩形ABCD的面积为【考点】：矩形的性质；勾股定理【分析】：连接BE，设AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案【解答】：解：如图，连接BE，则BE=BC设AB=3x，BC=5x，四边形ABCD是矩形，AB=CD=3x，AD=BC=5x，A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x4x=x，AEED=，4xx=，解得：x=（负数舍去），则AB=3x=，BC=5x

24、=，矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，故答案为：5【点评】：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出x的值，题目比较好，难度适中13、（2014枣庄第18题）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为_cm【考点】：平面展开最短路径问题；截一个几何体【分析】：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果【解答】：解：如图所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等边三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=

25、CD=3cm，在RtACE中，AE=3cm，从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm故答案为：（3+3）【点评】：考查了平面展开最短路径问题，本题就是把图的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题14、 (2014年江苏徐州第18题)如图，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动设点P出发xs时，PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 【考点】：动点问题的函数图象【分析】：根据

26、从图可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式【解答】：解：点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动当P点到AD的中点时，Q到B点，从图可以看出当Q点到B点时的面积为9，9=×（AD）AB，AD=AB，AD=6，即正方形的边长为6，当Q点在BC上时，AP=6x，APQ的高为AB，y=（6x）×6，即y=3x+18故答案为：y=3x+18【点评】：本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长15. （2014上海，第18题4分

27、）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C、D处，且点C、D、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，DF与BE交于点G设AB=t，那么EFG的周长为2t（用含t的代数式表示）考点：翻折变换（折叠问题）分析：根据翻折的性质可得CE=CE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出EBC=30°，然后求出BGD=60°，根据对顶角相等可得FGE=BGD=60°，根据两直线平行，内错角相等可得AFG=FGE，再求出EFG=60°，然后判断出EFG是等边三角

28、形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解解答：解：由翻折的性质得，CE=CE，BE=2CE，BE=2CE，又C=C=90°，EBC=30°，FDC=D=90°，BGD=60°，FGE=BGD=60°，ADBC，AFG=FGE=60°，EFG=（180°AFG）=（180°60°）=60°，EFG是等边三角形，AB=t，EF=t÷=t，EFG的周长=3×t=2t故答案为：2t点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的

29、判定与性质，熟记性质并判断出EFG是等边三角形是解题的关键16. （2014山东枣庄，第17题4分）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处若AE=BE，则长AD与宽AB的比值是 考点：翻折变换（折叠问题）分析：由AE=BE，可设AE=2k，则BE=3k，AB=5k由四边形ABCD是矩形，可得A=ABC=D=90°，CD=AB=5k，AD=BC由折叠的性质可得EFC=B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得DCF=AFE在RtAEF中，根据勾股定理求出AF=k，由cosAFE=cosDCF得出CF=3k，即AD=3k，进而求解

30、即可解答：解：AE=BE，设AE=2k，则BE=3k，AB=5k四边形ABCD是矩形，A=ABC=D=90°，CD=AB=5k，AD=BC将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，EFC=B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，AFE+DFC=90°，DFC+FCD=90°，DCF=AFE，cosAFE=cosDCF在RtAEF中，A=90°，AE=2k，EF=3k，AF=k，=，即=，CF=3k，AD=BC=CF=3k，长AD与宽AB的比值是=故答案为点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义解此题的

31、关键是数形结合思想与转化思想的应用17.（2014孝感，第16题3分）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若ABE是等边三角形，则=考点：翻折变换（折叠问题）分析：过E作EMAB于M，交DC于N，根据矩形的性质得出DC=AB，DCAB，ABC=90°，设AB=AE=BE=2a，则BC=a，即MN=a，求出EN，根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，即可得出答案解答：解： 过E作EMAB于M，交DC于N，四边形ABCD是矩形，DC=AB，DCAB，ABC=90°，MN=BC，ENDC，延AC折叠B和E重合，AEB是等边三角形，EAC

32、=BAC=30°，设AB=AE=BE=2a，则BC=a，即MN=a，ABE是等边三角形，EMAB，AM=a，由勾股定理得：EM=a，DCE的面积是×DC×EN=×2a×（aa）=a2，ABE的面积是AB×EM=×2a×a=a2，=，故答案为：点评：本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是求出两个三角形的面积，题目比较典型，难度适中18 (2014黑龙江牡丹江, 第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点

33、C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）B1C1B2C2B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是第4题图考点：全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质分析：根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为=，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2014个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A2014到x轴的距离解答：解：如图，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1B2C2B3C3，B1OC1B2E2C2B3E4C3，B1OC11CE1D1，B2E2=1，B3E4=，B4

34、E6=，B5E8=，B2014E4016=，作A1Ex轴，延长A1D1交x轴于F，则C1D1FC1D1E1，=，在RtOB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A1B1C1D1的边长为为=，D1F=，A1F=，A1ED1E1，=，A1E=3，=，点A2014到x轴的距离是×=点评：此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键19（2014四川成都,第24题4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是1考点：菱形的性质；翻折变换

35、（折叠问题）分析：根据题意得出A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出AC的长即可解答：解：如图所示：MN，MA是定值，AC长度的最小值时，即A在MC上时，过点M作MDC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，A=60°，CD=2，ADCB=120°，FDM=60°，FMD=30°，FD=MD=，FM=DM×cos30°=，MC=，AC=MCMA=1故答案为：1点评：此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A点位置是解题关键20、（2014无锡，第18题2分）如图，菱形ABCD中，A=60°，AB=3，A、B的半径

36、分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是3考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质分析：利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可解答：解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，菱形ABCD中，A=60°，AB=AD，则ABD是等边三角形，BD=AB=AD=3，A、B的半径分别为2和1，PE=1，DF=2，PE+PF的最小值是3故答案为：3点评：此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键21. （2014莱芜，第

37、17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知ABC=60°，OA=1先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，则B2014的坐标为（1342，0）考点：规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质专题：规律型分析：连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标解答：解：连接

38、AC，如图所示四边形OABC是菱形，OA=AB=BC=OCABC=90°，ABC是等边三角形AC=ABAC=OAOA=1，AC=1画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示由图可知：每翻转6次，图形向右平移42014=335×6+4，点B4向右平移1340（即335×4）到点B2014B4的坐标为（2，0），B2014的坐标为（2+1340，0），B2014的坐标为（1342，0）点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键三、解答题1. （2014山东潍坊，第2

39、2题12分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G(1)求证：AEBF；(2)将BCF沿BF对折，得到BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sinBQP的值；(3)将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得ABE=BCF=90°，AB=BC，又由BE=CF，即可证得ABEBCF,可得BAE=CBF，由

40、ABF+CBF=900可得ABF+BAE=900，即AEBF；（2）由BCFBPF, 可得CF=PF,BC=BP,BFE=BFP，由CDAB得BFC=ABF,从而QB=QF，设PF为x,则BP为2x,在RtQBF中可求 QB为x，即可求得答案；（3）由可求出AGN的面积，进一步可求出四边形GHMN的面积解答：(1)证明：E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，CF=BE，RtABERtBCF BAE=CBF 又BAE+BEA=900，CBF+BEA=900，BGE=900， AEBF (2)根据题意得：FP=FC，PFB=BFC，FPB=900， CDAB, CFB=ABF，ABF=PF

41、BQF=QB 令PF=k（k>O），则PB=2k，在RtBPQ中，设QB=x， x2=(xk)2+4k2, x=k，sinBQP=(3)由题意得：BAE=EAM,又AEBF, AN=AB=2, AHM=900, GN/HM, 四边形GHMN=SAHM SAGN=1一= 答：四边形GHMN的面积是.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用2.（2014娄底27（10分）如图甲，在ABC中，ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm如果点P由点B出发

42、沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接PQ，设运动时间为t（s）（0t4），解答下列问题：（1）设APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形？考点：相似形综合题分析：（1）过点P作PHAC于H，由APHABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3t，则AQP的面积为：AQPH=t（3t），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP交QC于E，当四边形PQPC为菱形时，得出

43、APEABC，=，求出AE=t+4，再根据QE=AEAQ，QE=QC得出t+4=t+2，再求t即可；（3）由（1）知，PD=t+3，与（2）同理得：QD=t+4，从而求出PQ=，在APQ中，分三种情况讨论：当AQ=AP，即t=5t，当PQ=AQ，即=t，当PQ=AP，即=5t，再分别计算即可解答：解：（1）如图甲，过点P作PHAC于H，C=90°，ACBC，PHBC，APHABC，=，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，=，PH=3t，AQP的面积为：S=×AQ×PH=×t×（3t）=（t）2+，当t为秒时，S最大值为cm2（2）如图乙，

44、连接PP，PP交QC于E，当四边形PQPC为菱形时，PE垂直平分QC，即PEAC，QE=EC，APEABC，=，AE=t+4QE=AEAQt+4t=t+4，QE=QC=（4t）=t+2，t+4=t+2，解得：t=，04，当四边形PQPC为菱形时，t的值是s；（3）由（1）知，PD=t+3，与（2）同理得：QD=ADAQ=t+4PQ=，在APQ中，当AQ=AP，即t=5t时，解得：t1=；当PQ=AQ，即=t时，解得：t2=，t3=5；当PQ=AP，即=5t时，解得：t4=0，t5=；0t4，t3=5，t4=0不合题意，舍去，当t为s或s或s时，APQ是等腰三角形点评：此题主要考查了相似形综合，

45、用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答3. （2014江苏盐城,第27题12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F求证：PD+PE=CF小军的证明思路是：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PE=CF小俊的证明思路是：如图2，过点P作PGCF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF【变

46、式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PDPE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，EDAD，ECCB，垂足分别为D、C，且ADCE=DEBC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dmM、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和考点：四边形综合题；全等三角形的判定

47、与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质专题：压轴题；探究型分析：【问题情境】如下图，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题【变式探究】如下图，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQBF，垂足为Q，如下图，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可【迁移拓展】由条件ADCE=DEBC联想到三角形相似，从而得到A=ABC，进而补全等腰三角形，DEM与CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，

48、再求出BH，就可解决问题解答：解：【问题情境】证明：（方法1）连接AP，如图PDAB，PEAC，CFAB，且SABC=SABP+SACP，ABCF=ABPD+ACPEAB=AC，CF=PD+PE（方法2）过点P作PGCF，垂足为G，如图PDAB，CFAB，PGFC，CFD=FDG=FGP=90°四边形PDFG是矩形DP=FG，DPG=90°CGP=90°PEAC，CEP=90°PGC=CEPBDP=DPG=90°PGABGPC=BAB=AC，B=ACBGPC=ECP在PGC和CEP中，PGCCEPCG=PECF=CG+FG=PE+PD【变式探究

49、】证明：（方法1）连接AP，如图PDAB，PEAC，CFAB，且SABC=SABPSACP，ABCF=ABPDACPEAB=AC，CF=PDPE（方法2）过点C作CGDP，垂足为G，如图PDAB，CFAB，CGDP，CFD=FDG=DGC=90°四边形CFDG是矩形CF=GD，DGC=90°CGP=90°PEAC，CEP=90°CGP=CEPCGDP，ABPD，CGP=BDP=90°CGABGCP=BAB=AC，B=ACBACB=PCE，GCP=ECP在CGP和CEP中，CGPCEPPG=PECF=DG=DPPG=DPPE【结论运用】过点E作E

50、QBC，垂足为Q，如图，四边形ABCD是矩形，AD=BC，C=ADC=90°AD=8，CF=3，BF=BCCF=ADCF=5由折叠可得：DF=BF，BEF=DEFDF=5C=90°，DC=4EQBC，C=ADC=90°，EQC=90°=C=ADC四边形EQCD是矩形EQ=DC=4ADBC，DEF=EFBBEF=DEF，BEF=EFBBE=BF由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQPG+PH=4PG+PH的值为4【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BHAF，垂足为H，如图ADCE=DEBC，=EDAD，ECCB，ADE=BCE=90°ADEB

51、CEA=CBEFA=FB由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH设DH=xdm，则AH=AD+DH=（3+x）dmBHAF，BHA=90°BH2=BD2DH2=AB2AH2AB=2，AD=3，BD=，（）2x2=（2）2（3+x）2解得：x=1BH2=BD2DH2=371=36BH=6ED+EC=6ADE=BCE=90°，且M、N分别为AE、BE的中点，DM=EM=AE，CN=EN=BEDEM与CEN的周长之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC=DE+EC+AB=6+2DEM与CEN的周长之和为（6+2）dm点评：本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题4. （ 2014安徽省,第23题14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N（1）MPN=60°；求证：PM+PN=3a；（2）如图2，