第一章波函数与薛定谔方程

1、第第1章章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态； 波函数所遵从的方程波函数所遵从的方程薛定谔方程是量子力学薛定谔方程是量子力学 的基本方程。的基本方程。这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍二个基本假设：A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。 1.1. 物质波的波函数及其统计解释物质波的波函数及其统计解释1.1.1、波函

2、数的引入、波函数的引入例：例： 一维自由粒子的波函数一维自由粒子的波函数经典描述：经典描述： 沿沿 x 轴匀速直线运动轴匀速直线运动量子描述量子描述：确定，守恒；pE,类比：类比：单色平面波单色平面波,一定一定沿直线传播沿直线传播以坐标原点为参考点，以坐标原点为参考点，.0方向传播沿，以速率设xu)(2cos)(cos00 xtuxt)(2cos0phxthE)(1cos0 xpxEt)(0),(xpEtixetx（取实部）（取实部）如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）它的动量和能量不再是常量（或不同时为

3、常量）粒子的状态就不能用平面波描写，粒子的状态就不能用平面波描写，这样的微观这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。 ()ip rEtpAe ( , )r t描述自由粒子描述自由粒子(三维）可用平面波波函数来描述。三维）可用平面波波函数来描述。1 1、经典物理学中粒子与波的有关概念、经典物理学中粒子与波的有关概念经典概念中粒子意味着：经典概念中粒子意味着： 有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中波意味着：经典概

4、念中波意味着：某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.21.1.2、波粒二象性的解释波粒二象性的解释PPO电子源电子源感感光光屏屏电子的衍射实验电子的衍射实验1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样间亦显示衍射图样; ;2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .单电子衍射实验结果分析：单电子衍射实验结果分析：n“亮纹亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达处是到达该

5、处的电子数多，或讲电子到达 该处的几率大。该处的几率大。 “暗纹暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到处是到达该处的电子数少，或讲电子到达达 该处的几率小。该处的几率小。n衍射图样由电子波动性引起衍射图样由电子波动性引起 “亮纹亮纹”处表示该处波强度处表示该处波强度| (r)|2大，大， “暗纹暗纹”处表示该处波强度处表示该处波强度| (r)|2小，小， 所以，电子到达屏上各处的几率与波的强度成正所以，电子到达屏上各处的几率与波的强度成正 比比.(1)(1)波由粒子组成波由粒子组成波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的

6、周期相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。分布。(2)(2)粒子由波组成粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。运动速度。 2 2、对波粒二象性的两种错误的看法、对波粒二象性的两种错误的看法1.1.3 1.1.3 BornBorn波函数的统计解释几率波波函数的统计解释几率波2( , , )(

7、)x y zr(1)(1)波函数的统计解释（量子力学的基本原理）波函数的统计解释（量子力学的基本原理）波函数在空间中某一点的强度波函数在空间中某一点的强度（模的平方）（模的平方）和在和在该点找到粒子的几率成比例。该点找到粒子的几率成比例。| (r,t)|2 x y z 与此与此t时刻时刻,在在r点处，体积元点处，体积元xyz中找到粒子的几率成正比。或者讲波函中找到粒子的几率成正比。或者讲波函数在空间某点的强度（波函数模的平方）和在数在空间某点的强度（波函数模的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。这点找到粒子的几率成比例。D-BD-B所提出的由波函数所描述的所提出的由波函数所描述的“物质波物质波

8、”是刻画粒子在空间几率分布的几率波。是刻画粒子在空间几率分布的几率波。这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是它是量子力学的基本原理量子力学的基本原理。经典概念和量子力学对粒子和波的理解：经典概念和量子力学对粒子和波的理解：形式出现只是以一种几率分布的无确定轨道定论微观粒子不遵循经典决沿确定轨道运动论经典认为遵循经典决定不同点电荷等属性的客体即是具有一定质量颗粒性共同点粒子性,:,:描述的只是一种几率波存在这样的物理量量子力学中的物质波不期性变化物理量的空间分布作周经典波是指某种实在的不同点具有相干迭加性遵循波动规律共同点波动性,:,:例：

9、例：一维自由粒子：一维自由粒子：)(0)(02*| ),(|xptEhixptEixxeetx20波函数的统计解释波函数的统计解释光栅衍射光栅衍射电子衍射电子衍射类类比比)(0),(xpEtixetx2oEI 2|INNhINI I大处大处 到达光子数多到达光子数多I小处小处 到达光子数少到达光子数少I=0 无光子到达无光子到达各光子起点、终点、路各光子起点、终点、路径均不确定径均不确定用用I对屏上光子数分布作对屏上光子数分布作概率性描述概率性描述各电子起点、终点、路径各电子起点、终点、路径均不确定均不确定2|用对屏上电子数分布对屏上电子数分布作概率性描述作概率性描述电子到达该处概率大电子到达

10、该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率为零电子到达该处概率小电子到达该处概率小光栅衍射光栅衍射电子衍射电子衍射在在t t时刻时刻,r,r点，点，d=dxdydzd=dxdydz体积内找到由波函数体积内找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： dW(r,t)=C|(r,t)|dW(r,t)=C|(r,t)|2 2dd其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。(2) (2) 波函数的物理意义波函数的物理意义 几率分布几率分布2( , )( , )r tr t运动状态运动状态 在在t t时刻时刻r r点点, ,单位体积内找到粒子的几率是：单位体积内找到粒子的几

11、率是： (r,t)=dW(r,t)/d= C|(r,t)|(r,t)=dW(r,t)/d= C|(r,t)|2 2 称为称为几率密度几率密度。在体积在体积V V内内,t,t时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t)=W(t)=V VdW =dW =V V(r,t)d=C(r,t)d=CV V|(r,t)|(r,t)|2 2dd波粒二象性的图象：波粒二象性的图象：。，。，。，。，定定性性规规律律而而不不同同于于经经典典力力学学的的确确计计性性的的规规律律微微粒粒的的运运动动遵遵从从的的是是统统总总之之出出波波动动性性于于是是粒粒子子的的运运动动又又表表现现播播又又是是以以波波的的方方

12、式式在在间间传传同同时时小小的的地地方方而而不不会会出出现现在在大大的的地地方方它它往往往往出出现现在在响响导导粒粒子子的的运运动动受受到到波波函函数数一一个个统统计计分分布布点点的的而而只只是是给给出出可可能能到到达达地地粒粒子子到到达达哪哪一一地地点点给给出出什什么么时时刻刻波波函函数数并并不不绝绝对对确确定定地地但但是是微微粒粒仍仍是是一一粒粒一一粒粒的的.)3()2()1(22 (3) 波函数的不确定性：波函数的不确定性： 1 1、常数因子不定性：、常数因子不定性： 和和 描述同一种运动状态。描述同一种运动状态。( )Cr( )r因为在因为在 t 时刻时刻,空间任意两点空间任意两点 r

13、1 和和 r2 处找到粒子的处找到粒子的相对几率之比是：相对几率之比是：221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 注意：注意：一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波动能量一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波动能量将为原来的将为原来的4倍，即代表了完全不同的状态。倍，即代表了完全不同的状态。2、相位因子不定性：、相位因子不定性： 与与 述同一种运动状态，述同一种运动状态，ei 称为相因子。称为相因子。( )r( )iCr e对归一化波函数仍有一个对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性模为一的相因子不定性。 若若 (r , t ) (r , t )是归一化波函数，那末，是归一

14、化波函数，那末， expiexpi (r , t ) (r , t )也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是实数）是实数）(4)(4)波函数的归一化波函数的归一化 *()( ,)d 全2()d全( ,)1 归一化条件就可以简单表示为归一化条件就可以简单表示为：粒子在整个空间出现的概率为粒子在整个空间出现的概率为1 1一维坐标系（设沿方向）的情况下：一维坐标系（设沿方向）的情况下： 三维直角坐标系的情况下：三维直角坐标系的情况下： 三维球坐标系的情况下：三维球坐标系的情况下： 2( )rd有限值dxddzdydxd20002dddrrdsin归一化条件要求波函数归一化条件要求波函数平方可

15、积平方可积 也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2 ( (x,y,z)x,y,z)是归一化的波函数是归一化的波函数，与，与 ( (x,y,z)x,y,z)描写同一几率波，描写同一几率波，(A)(A)-1/2-1/2称为称为归归一化因子一化因子。 2( )rdA21( )1rdA若若 (r,t)(r,t)没有归一化，没有归一化，（A A是大于零的常数）是大于零的常数）求几率密度求几率密度: :2( , , , )( , , )x y z tx y z2( , , )1x y zd 则有则有特例特例:自由粒子的波函数无法正常归一化自由粒子的波函数无法正常归一化()221ip rEtAed

16、Ad 自由粒子德布洛意平面波为归一化条件为所以德布洛意平面波无法正常归一化设粒子的波函数为设粒子的波函数为 ,(,(已归一化已归一化) )求求 (1)(1) 在在(x,x+dx)(x,x+dx)范围内找到粒子的几率范围内找到粒子的几率; ;(2)(2) 在在(y(y1 1,y,y2 2) )范围内找到粒子的几率范围内找到粒子的几率; ;(3)(3) 在在(x(x1 1,x,x2 2) )及及(z(z1 1,z,z2 2) )范围内找到粒子的几率范围内找到粒子的几率; ;),(zyxdzzyxdydx2),(dzzyxdydxyy2),(2121212),(zzxxdzzyxdydx例题例题1

17、1t 时刻第时刻第 1 个粒子处于个粒子处于 r1 处处 dr1 内内,同时第同时第 2 个粒子处于个粒子处于 r2 处处 dr2 内内,.同时第同时第 N 个粒子处于个粒子处于 rN 处处 drN 内的几率为内的几率为:(5) 多粒子体系的推广多粒子体系的推广),(21trrrN23331212( , )NNr rrtd rd rd r 描述描述N个粒子组成的体系的运动状态个粒子组成的体系的运动状态玻恩统计解释：玻恩统计解释：归一化条件归一化条件:23331212( , , )1NNr rrtd rd rd r 波函数的三个标准条件波函数的三个标准条件：1、单值单值 在一个地方的几率密度只有

18、一个值在一个地方的几率密度只有一个值2、连续连续 运动的连续性要求几率密度是连续的运动的连续性要求几率密度是连续的3、有限有限 在所以可能出现粒子的地方的几率和为在所以可能出现粒子的地方的几率和为1l(r,t(r,t) )是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数； l(p,t(p,t) )是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数； l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。exp21)(2/3rpirp ）（ 波函数波函

19、数(r,t) (r,t) 可用各种不同动量的平面可用各种不同动量的平面波表示波表示, ,下面我们给出简单证明。下面我们给出简单证明。( , )( )( , )pp trr t dr( , )(, )Fourierr tp t显 然 ， 二 式 互 为变 换 式 ， 故 而 总 是 成 立 的 。所 以与一 一 对 应 ，是 同 一 量 子 态 的 两 种 不 同 描 述 方 式 。展开展开系数系数( , )( , )( )pr tp tr dp令令则则 可按可按p p 展开展开dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（ 3/21( , )exp(2)xyzip tp r dp dp d

20、p1.1.4 1.1.4 动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数 t时刻粒子出现在时刻粒子出现在 点附近点附近 体积元内的几率；体积元内的几率；t t时刻粒子出现在时刻粒子出现在 点附近点附近 体积元内的几率；体积元内的几率；2( )( )dW rrdrrdr2( )( )dW ppdp pdp如若如若23( , )1r td r 则有：则有：+23-( , )1p td p 电子衍射实验电子衍射实验接受了波函数的统计诠释，完全摒弃经典粒子的轨接受了波函数的统计诠释，完全摒弃经典粒子的轨道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。

21、定的动量。2xx及其偏差2xxpp及其涨落2xpxdx|2(x)粒子出现在粒子出现在xx+dx间隔的概率间隔的概率所以由波函数只能给出粒子位置的平均值所以由波函数只能给出粒子位置的平均值同样对粒子的动量也只能知道其统计平均值同样对粒子的动量也只能知道其统计平均值 海森伯指出，平均偏差乘积有一个最小的限制海森伯指出，平均偏差乘积有一个最小的限制这个关系称这个关系称不确定关系。不确定关系。1.1.5 Heisenberg不确定度关系不确定度关系讨论单缝衍射的不确定关系讨论单缝衍射的不确定关系d 1oxppxoxpppp1,/ = =如图所示，位置的不确定如图所示，位置的不确定, ,由缝宽模由缝宽模

22、x=d x=d 给出。给出。x方向的动方向的动量不确定量不确定度度ppx x用衍射一级极小的半角宽度用衍射一级极小的半角宽度表示，表示，即即 是入射光子动量是入射光子动量按照波的衍射理论，第一级按照波的衍射理论，第一级衍射极小的角位置为衍射极小的角位置为op于是有于是有h= =例题例题2 2 质量为质量为9.19.11010-31-31kgkg的电子和质量为的电子和质量为0.05kg0.05kg的子弹均以的子弹均以300ms300ms-1-1的速度运动，假定速度的不确定范围均为的速度运动，假定速度的不确定范围均为0.01%0.01%，计算它们的最小可能的位置不确定范围，并加以比较。计算它们的最

23、小可能的位置不确定范围，并加以比较。 解解 ：由不确定关系式：由不确定关系式 x xP Px xh h对电子：对电子：x x = = h/mx = = 对子弹：对子弹：x x = = h/m x= msmkgsJ2413134104 . 2101.300101 . 9.10626. 6msmkgsJ314134104 . 4101.30005. 0.10626. 61.1.61.1.6、力学量的平均值和算符的引进、力学量的平均值和算符的引进 l（一）力学量平均值（一）力学量平均值 l（1 1）坐标平均值）坐标平均值 l（2 2）动量平均值）动量平均值 l（二）力学量算符（二）力学量算符 l（1

24、 1）动量算符）动量算符 l（2 2）动能算符）动能算符 l（3 3）角动量算符）角动量算符 l（4 4）Hamilton Hamilton 算符算符在统计物理中知道，在统计物理中知道，l当可能值为离散值时当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；几率求和；l当可能值为连续取值时：当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种一个物理量出现的各种可能值乘上相应的可能值乘上相应的几率密度求积分。几率密度求积分。基于波函数的几率含义，基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和我们马上可以得到粒子坐标

25、和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。iiWMM ( )MmW m dm（一）力学量平均值（一）力学量平均值（1 1）坐标平均值）坐标平均值 dxxxxx2|)(| drxxx2|)(|为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设时间的变化）设(x)(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|(x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点的几率密度，则点的几率密度，则对三维情况对三维情况，设，设(r) (r) 是归一化波函数，是归一化波函数，(r)|(r)|2 2是粒子出现在

26、是粒子出现在 r r 点的几率密度，则点的几率密度，则x x的的平均值为平均值为若力学量若力学量F F( (x x, ,y y, ,z z) )仅与坐标有关则其平均值为：仅与坐标有关则其平均值为： 2( )( )( )F rF rrd若若 ( (x x, , y y, , z z) )不是归一化的，则上式表为：不是归一化的，则上式表为： dtrdtrrFrF22),(),()()(粒子动量为粒子动量为 的几率密度，则的几率密度，则一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函数，相应动量是归一化波函数，相应动量表象波函数为表象波函数为xp（2 2）动量平均值）动量平均值1/21()( )ex

27、p(/ )(2)xxpxip xdx2|()|xp2|()|xxxxxppppdp10!naxnandxex提示：提示： ，其中，其中a a 0 0000)(xxAxexx一维运动的粒子处在一维运动的粒子处在0),(txx2x的状态，其中的状态，其中，求，求(1)(1)归一化的波函数；归一化的波函数；(2)(2)几率密度几率密度；(3)(3)在何处找到粒子的几率最大？在何处找到粒子的几率最大？的值。的值。(4)、例题例题3 3作业：作业：1、对于用、对于用 描述的三粒子体系，求测得描述的三粒子体系，求测得粒子粒子1在在(r1,r1+dr1)中的概率。中的概率。（波函数已归一化）（波函数已归一化

28、）2、设粒子的波函数为设粒子的波函数为 （波函数已归一化）（波函数已归一化）,求求 (1)(1)在在(x,x+dx)(x,x+dx)范围内找到粒子的几率：范围内找到粒子的几率：(2)(2)在在(y1,y2)(y1,y2)范围内找到粒子的几率：范围内找到粒子的几率：(3)(3)在在(x1,x2)(x1,x2)及及(z1,z2)(z1,z2)范围内找到粒子的几率：范围内找到粒子的几率：),(321rrr)(r),(zyx),(zyx3.3.对三维情况，设对三维情况，设是归一化波函数是归一化波函数力学量力学量F (x, y, z)F (x, y, z)仅与坐标有关，则其平仅与坐标有关，则其平均值为均

29、值为.不是归一化的，则其平均值为不是归一化的，则其平均值为. .若若（二）力学量算符（二）力学量算符n简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。算符形式（称为第一次量子化）。xp （1 1）动量算符）动量算符 既然既然(x)(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为是归一化波函数，相应动量表象波函数为(p(px x) )，二者一一对应，相互等价的描述粒子的同一状态，二者一一对应，相互等价的描述粒子的同一状态，

30、那末动量的平均值也应可以在坐标表象用那末动量的平均值也应可以在坐标表象用(x)(x)表示出来。表示出来。但是但是(x)(x)不含不含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均值，来确定动量平均值，动量动量p px x必须改造成只含自变量必须改造成只含自变量x x的形式，这种形式称为动的形式，这种形式称为动量量 p px x的算符形式，记为的算符形式，记为一维情况：一维情况：2|()|()()xxxxxxxxxppppdpppp dp1( )()2xip xxxxx edxpp dp1( )()2xip xxxxx epp dxdp 1( )()()2xip xxxdxi

31、epdxdpdx 1( )()()2xip xxxddxxiep dpdxdxxpxdxxdxdixx)()()()( 比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：xx 体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数(r)(r)描写时，坐描写时，坐标标x x的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。dxdipx 而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：必须改造成动量算符形式： 称为哈密尔顿算符称为哈密尔顿算符三维情况：三维情况：

32、zeyexezyx（直角坐标系中）（直角坐标系中）其中其中sin11rererer（球坐标系中）（球坐标系中）或或动量与波长的倒数成比例，所以，波函数梯度越大，动量与波长的倒数成比例，所以，波函数梯度越大， 即波长越短，动量平均值也就越大即波长越短，动量平均值也就越大 izkyjxiiprr由归一化波函数由归一化波函数(r)(r)求力学量平均值时，必须求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在把该力学量的算符夹在* *(r)(r)和和(r)(r)之间之间, ,对全对全空间积分，即空间积分，即()()()()()()xxxxxxxx d xppxpx d xFFxFx d x 一 维 情 况 ：

33、 rdrrrdrFrFF)()()()(若若波波函函数数未未归归一一化化，则则F 是任一力是任一力学量算符学量算符 rdrFrFFrdrprpprdrxrxxxxx)()()()()()(三三维维情情况况：（2 2）动能算符）动能算符rdrTrTTmpTmpT)()(2222 则则所所以以动动能能算算符符在在经经典典力力学学中中，prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三个个分分量量：rdrLrL)()( （3 3）角动量算符）角动量算符22( )( )( )2V rHTVHTV rV rm 在势场中的粒子（2 2）Hamil

34、tonHamilton算符算符n这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程提出了波动方程之后得到了圆满解决。之后得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：心的问题就是要解决以下两个问题：(

35、1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。1.2 薛定谔方程薛定谔方程n从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子粒子的状态的状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发们以启发（1 1）经典情况）

36、经典情况0000,ttdtrdmprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿1.2.1 薛定谔方程薛定谔方程的引进的引进（2 2）量子情况）量子情况n3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p, , E E等，否则方程只能等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1 1因为，因为，t = tt = t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是( r, t( r, t0 0) ) 且只知道且只知道这样一个初条

37、件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1( r, t )( r, t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末是方程的解，那末( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t ) ( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含中

38、只能包含, , 对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次对坐标各阶导数的一次项项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程n这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E 。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数: :应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx(1)(2)(1)(

39、2)式式 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有2222221(2)22ppmm 或222()()22piEtmm 满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式如果能量关系式 E = pE = p2 2/2m/2m 写成如下方程形写成如下方程形式：式： 22224ppipptiE）（做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由即得自由粒子满足的方程（粒子满足的方程（3 3）。）。2232itm 所 以（ ）22pEm对 自 由 粒 子 ，2(

40、)02pEm (1)(2)(1)(2)式式（四）势场（四）势场 V(r) V(r) 中运动的粒子中运动的粒子n该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。22( , )( )( , )2( , )ir tV rr ttmHr tHHamiltonHamilton 式中是体系的算符，亦常称为量。若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为中运动，则能动量关系变为：2( )2pEV rHm2( )2pEV rm 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换

41、得：讨论：讨论：1、薛定谔方程薛定谔方程也称波动方程，描述在势场也称波动方程，描述在势场V中粒子状态随中粒子状态随时间的变化规律。时间的变化规律。2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。来检验。3、薛定谔方程是线性方程。薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。当于牛顿方程。4、自由粒子波

42、函数必须是复数形式，否则不满足自由粒、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。薛定谔方程是非相对论的方程。 （一）（一） 定域几率守恒定域几率守恒n考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即应不随时间改变，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),( dtrdtd在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步在

43、讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：率密度是：1.2.2 薛定谔方程薛定谔方程的讨论的讨论证明证明：n考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：22(5)2iVtm 22(6)2iVtm 式式得得：将将)6()5( 2222iittm 22itm （）取共轭取共轭22didddtm （）在空间闭区域在空间闭区域中将上

44、式积分，则有：中将上式积分，则有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密是几率流密度，是一矢度，是一矢量。量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为： 0),( dtrdtd0 Jt 其微分形

45、式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同2didddtm （） dJdtrdtd ),(的的表表面面。是是体体积积）（ StrSdJdtrdtdS ),(7),(使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内内的几率的几率2 iJSdS 0),( dtrdtd讨论讨论：表明，波函数归一化不表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未义是粒子既未产生也未消灭。消灭。这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率这里的几率守恒具

46、有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质n1. 1. 由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即知道了粒子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|d (r, t) = |(r, t)|2 2 d d n2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应则任意力学

47、量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数波函数又称为状态波函数或态函数。 n3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。（1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态l式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选

48、取的，所以是任意选取的，所以S S是任意闭合面。要是积分有意义，是任意闭合面。要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。连续且其一阶导数亦连续。 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、单值、有限、连续连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。三个条件，该条件称为波函数的标准条件。SdiSdJdtrdtdSS 2),( 2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 : :（2 2）波函数标准条件）波函数标准条件1. 1. 根据根据BornBorn统计解释

49、统计解释 (r, t) = (r, t) = * *(r, t) (r, t)(r, t) (r, t)是粒子是粒子在在t t时刻出现在时刻出现在 r r点的几率，这是一个确定的数，所以要求点的几率，这是一个确定的数，所以要求(r, t)(r, t)应是应是 r, tr, t的单值函数且有限。的单值函数且有限。由下列两个定态波函数计算几率流密度，由下列两个定态波函数计算几率流密度，1( , )iEtikxx tAe e2( , )iEtikxx tAee(1)(1)(2)(2)从所得结果证明：从所得结果证明：是沿是沿x x轴正方向传播的平面波；轴正方向传播的平面波；),(1tx),(2tx是沿

50、是沿x x轴反方向传播的平面波。轴反方向传播的平面波。例题例题4 42iJm (2)(2)、*1( , )iEtikxx tA eexxeAmkexxmij2*)(2表示沿表示沿x x轴反方向传播的平面波。轴反方向传播的平面波。),(2tx所以所以解解(1)(1)、xxeAmkexxmij2*)(2所以所以),(1tx表示沿表示沿x x轴正方向传播的平面波。轴正方向传播的平面波。1( , )iEtikxx tAe e1.2.3 能量本征方程能量本征方程- 不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程22(, )()(, )2ir tVrr ttm)()(),(tfrtr 22( )( )( ) ( )2d

51、irf tf tVrdtm 现在让我们讨论现在让我们讨论 有外场情况有外场情况下的定态下的定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程：E 22( )( )()()2diftEftdtVrErm令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：V(r)V(r)与与t t无关时，可以无关时，可以分离变量分离变量代代入入2211( ) ( )( )( )2dif tVrf t dtrm )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故故应等于与应等于与 t, t, r r 无关的常数无关的常数该方程称为该方程称为定态定态

52、 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可称为定态波也可称为定态波函数，或可看作是函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定态波函数。的定态波函数。此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频率的关系是正弦型的，其角频率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的体系能量有确定的值值，所以这种状态称为定态，波函数所以这种状态称为定态，

53、波函数(r,t)(r,t)称为定态波函称为定态波函数。数。Etiertr )(),( 22()()2VrErm空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和具体问题和具体问题(r)(r)应满足的边界条件得出应满足的边界条件得出。l l Eticetf)( , )( )iEtEr tr e定态有两个含义：定态有两个含义：A. A. 波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘时间部分函数是确定的，为：时间部分函数是确定的，为： B BE具有确定值具有确定值22( )( )( )2EEV rrErm 和具体问题和具体问题 应满足的边界条件得出。应满足的边界条件得

54、出。 ( )Er 空间波函数空间波函数 可由定态可由定态SchrdingerSchrdinger方程方程( )Er（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符22( , )( )( , )2ir tV rr ttm 算算符符。亦亦称称量量，称称为为与与经经典典力力学学相相同同，HamiltonHamiltonH22( )( )( )( )2dif tEf tdtVrErm22iEtVEm 二方程的特点：二方程的特点：都是以一个算符作用于都是以一个算符作用于(r, t)(r, t)等于等于E(r, t)E(r, t)。所。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。以这两个

55、算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 HVti222 是相当的。这是相当的。这两个算符都称两个算符都称为为能量算符能量算符。也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：（2 2）能量本征值方程）能量本征值方程（1 1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数数 学物理方法中的本征值方程相似。学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分

56、方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； EH22VEm 将将改写成改写成（2 2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理 方法中的边界条件，称为方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。因此在。因此在 量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符 H H 的的本征函数本征函数。（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写）由上面讨论可知，当体系处于能量算

57、符本征函数所描写 的状态（简称的状态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，）时，粒子能量有确定的数值， 这这 个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤n讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t)( r, t) 和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其具体步骤如下。其具体步骤如下：22( )( )2VrErm,2121nnEEE ，本本征征函函数数本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn 1| )(|

58、2 drCnn（1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个标准条）根据波函数三个标准条件求解能量件求解能量 E E 的本征值的本征值问题，得：问题，得：（3 3）写出定态波函数即得到）写出定态波函数即得到对应第对应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系）通过归一化确定归一化系 数数 C Cn n1.2.3 定态与非定态定态与非定态若在初始时刻（若在初始时刻（t=0) 体系处于某一个能量本征态体系处于某一个能量本征态( ,0)( )Err，则如式，则如式 /( , )( )

59、iEtEr tr e的波函数所描述的态，称为的波函数所描述的态，称为定态定态。（2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关nnntr ),( ( , )2nnnnniJr tm （1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关)/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn exp(/)exp(/)2exp(/)exp(/)nnnnnnnniiE tiE tmiE tiE t( )( )( )( )2nnnnirrrrm)( rJn 处于定态下波函数的特征：处于定态下波函数的特征：n综上所述，当综上所述，当满足

60、下列三个等价条件中的任何一满足下列三个等价条件中的任何一个时，个时，就是定态波函数：就是定态波函数： l1. 1. 描述的状态其能量有确定的值；描述的状态其能量有确定的值； l2. 2. 满足定态满足定态SchrodingerSchrodinger方程；方程； l3. |3. |2 2 与与 t t无关。无关。 dtrFtrFnn),(),( （3 3）任何不显含）任何不显含t t得力学量平均值与得力学量平均值与t t 无关无关 dtiErFtiErnnnn)/exp()()/exp()( drFrnn)()( 若体系的状态不是能量的本征态，而是若干个能量若体系的状态不是能量的本征态，而是若干