第二节二重积分的计算法2ppt课件

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分二、小结二、小结 思索题思索题第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法( () )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiiirrr 2)(21则则得得略略去去高高阶阶的的无无穷穷小小量量，若若更更是是比比时时当当,)(21)(,)0 , 0(),(22iiiiiiiirrrr ,iiiirr 一、极坐标系下二重积分的计算一、极坐标系下二重积分的计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下

2、页 返回返回 结束结束3.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 从而得极坐标系下的面积元素为从而得极坐标系下的面积元素为 rdrdd 又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，又由点的极坐标与直角坐标之间的关系， sin,cosryrx )sin,cos(),( rrfyxf 故在极坐标下，二重积分化为故在极坐标下，二重积分化为.的的极极坐坐标标表表示示表表示示区区域域其其中中DD 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4.)sin,cos(),( DDddfdxdyyxf 那那么么二重积分极坐标表达式二重积分极坐标表达式【留意】极坐标系下的面积元素为【留意

3、】极坐标系下的面积元素为dd d 直角坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为ddxdy 区别区别机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5.)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(2.二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).()(21 1极点极点O在区域在区域D的边境曲线之外时的边境曲线之外时 ADo)(1 )(2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6假设区域特征如假设区域特征如图图, ).()(21 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(Ao

4、D)(2 )(1 特别地特别地机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7AoD)( .)sin,cos()(0 dfd2极点极点O恰在区域恰在区域D的边境曲线之上的边境曲线之上时时区域特征如图区域特征如图, ).(0 Dddf )sin,cos(1的特例的特例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8 Dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd3. 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Ddd 区域特征如图区域特征如图).(0 DoA)( ,2 03极点极点O在区域在区域D的边境曲线之内的边境曲线之内时时2的特例的特例机动机动

5、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9察看练习察看练习 以下各图中区域以下各图中区域 D 分别与分别与 x , y 轴相切轴相切于原点于原点,试问试问 的变化范围是什么的变化范围是什么?答答: : ;0)1( )(rDoyx)(rDoyx(1)(2)22)2( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束101 yx122 yx【解】【解】 sincosyx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 dfd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11【解】【解】D：a 0， 20. dxdyeDyx 22 aded0202 ).

6、1(2ae xyo的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故此题无法故此题无法【注】【注】1.由于由于用直角坐标计算用直角坐标计算. .2xe 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12【注】2.利用例利用例2可得到一个在概率论与数理统计中可得到一个在概率论与数理统计中以及工程上非常有用的反常积分公式以及工程上非常有用的反常积分公式2d02 xex现实上现实上, 当当D 为为 R2 时时, Dyxyxedd22 yexeyxdd2220d42 xex利用例利用例2的结果的结果, 得得)1(limd42220aaxexe 故式成立故式成立 .机动机动 目录目录 上页上

7、页 下页下页 返回返回 结束结束1332 61 sin4 r Dyxyxdd)(22 sin4sin22drrr)32( 15 yyx422 yyx222 03 yx【解】【解】03 xy sin2 roxy24 36d 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14【解】【解】 Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42 dd. 4 14DD 1D留意被积函数要有奇偶性留意被积函数要有奇偶性, ,积分区积分区域同时要有对称性域同时要有对称性. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15【解】【解】)

8、(2)(222222yxayx ,222aayx 1D,2cos2 a 14Ddxdy 2cos2064aadd).33(2 a机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16【例【例6 6】课本】课本P90P90例例6 6 . )0( 24222222内内的的部部分分）立立体体的的体体积积所所截截得得的的（含含在在圆圆柱柱面面被被圆圆柱柱面面求求球球体体 aaxyxazyx【解】【解】由对称性由对称性14VV 其中其中 DdxdyyxaV22214所所围围轴轴与与 2 :2xaxyxD xyz2a2aD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17用极坐标表示用极坐标表示 cos2020 :aD于是于是 DddaV 2244 cos20222044adad 2033)sin1(332 da)322(3323 a机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18【思索题】【思索题】的的二二次次积积分分后后先先的