§51 定积分的概念与性质ppt课件

1、第五章第五章 定积分定积分 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 微积分基本定理微积分基本定理 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 定积分的应用定积分的应用 广义积分广义积分5.1 5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.1.1 定积分问题举例定积分问题举例 1.曲边梯形的面曲边梯形的面积积)(xfy abxyo)(xfyabxyo,1210bxxxxxxanii(1) 分割分割:)., 2 , 1(ni将区间将区间a, b任意分为任意分为 n 个子区间，个子区间，niiSS1(2) 近似：近似：任取任取,1iiixx), 2 , 1(niiSi

2、ixf)(3) 作和：作和：iniixf)(1(4) 取极限：取极限：记记,max1inixxSiniixxf)(lim10分点为：分点为：i)(if1x2x3x1ixix1iiixxx设物体作直线运动设物体作直线运动, 已知速度已知速度)(tvv ,21TT0)(tv是时间间隔是时间间隔上的上的, 计算在这段时间内物体所经过的路程计算在这段时间内物体所经过的路程.连续函数连续函数, 且且若是匀速直线运动，若是匀速直线运动，(1) 分割分割:,21101TtttttTnii ,1iiittt), 2 , 1(ni(2) 近似：近似：任取任取,1iiittisiitv)(), 2 , 1(nin

3、iiss1(3) 作和：作和：iniitv)(1(4) 取极限：取极限：记记,max1inittsiniittv)(lim10= 速度速度时间时间路程路程1t2t1itit1ntit1T2T01lim( )niixisfx 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程则称函数则称函数 f (x) 在在a , b上可积上可积, badxxf)(记作记作:设函数设函数 f (x) 在在 a , b 上有定义上有定义, 把把 a , b 任意分割成任意分割成 n 个小区间个小区间:,1210bxxxxxxanii);,( 2 , 11nixxxiii任取任取,1iiixx), 2 , 1(ni作和作和

4、niiixf1;)(记记,max1inixx若极限若极限存在存在,iniixxf)(lim10此极限值为函数此极限值为函数f (x)在在a , b上的定积分上的定积分. 即即iniixxf)(lim10badxxf)(5.1.2 定积分的概念定积分的概念定义定义5.1.1且此极限值与区间且此极限值与区间 , a b的分法以及点的分法以及点i的取法无关，的取法无关，积分号积分号;)(xf被积函数被积函数;dxxf)(被积表达式被积表达式;x积分变量积分变量.a积分下限积分下限 , a b称为积分区间称为积分区间b积分上限积分上限61. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积2. 变速直线运动的路程变速直线

5、运动的路程badxxfS)(21)(TTdttvst1T2TiniixxfS)(lim10iniittvs)(lim10)(xfy abxyo定积分的定积分的几何意义几何意义定积分的意义定积分的意义badxxf)(存在存在,它与区间的分法及点的取法无关它与区间的分法及点的取法无关.badttf)(baduuf)(注意注意是指极限是指极限 iniixxf)(lim10(2). 定积分是一个数定积分是一个数, 与积分变量用什么记号无关与积分变量用什么记号无关.只取决于被积函数和积分区间只取决于被积函数和积分区间,0)(aadxxfbadxxf)(;)(abdxxf(3). 规定规定:且只有有限个间

6、断点且只有有限个间断点, 结论结论(1).函数函数 f (x) 在在a , b上可积上可积, 1. 若函数若函数 f (x) 在在a , b上可积上可积, 那么那么 f (x) 在在a , b上有界上有界.2. 若函数若函数 f (x) 在在a , b上连续上连续, 那么那么 f (x) 在在a , b上可积上可积.3. 若函数若函数 f (x) 在区间在区间a , b上有界上有界, 那么那么 f (x) 在在a , b上可积上可积.例例1. 利用定积分定义计算利用定积分定义计算102dxx解解把区间把区间0 , 1 n 等分等分, ,1 nxi 1 , 0)(2Cxxf ,nixi分点为分点

7、为 ,inixi取取), 2 , 1(niniiixf1) (niix12i ninni121niin12316) 12)(1(13nnnnniiixxf10)(lim316) 12)(1(1lim3nnnnn102dxx存在存在.102dxxo1xyni2xy 性质性质1. dxxgxfba)()(babadxxgdxxf)()(可推广到有限多个函数代数和的情形可推广到有限多个函数代数和的情形.性质性质2. badxxkf)( badxxfk)( 定积分关于积分区间具有可加性定积分关于积分区间具有可加性bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质性质3. 说明说明2121)()()(

8、)( ccbccabadxxfdxxfdxxfdxxf(线性性质线性性质)5.1.3 5.1.3 定积分的基本性质定积分的基本性质cbbadxxfdxxf)()( cbcadxxfdxxf)()( badxxf)( cadxxf)( xyo abcbca （1假设假设, 由几何意义知由几何意义知,cba（2假设假设, 由由(1)知知bccadxxfdxxf)()(其他情况类似可证其他情况类似可证.证证badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)().( )()( badxxfdxxfbaba性质性质4., , 0)(baxxf假设假设0)( badxxf那么那么推论推论1. )()( bab

9、adxxgdxxf那么那么推论推论 2.badxxf)(性质性质6. 那么那么 )(abm )(abM ),(min ),(max,xfmxfMbaxbax设设, ),()(baxxgxf假设假设(保号性保号性)(不等性不等性)abdxdxbaba1 性质性质5.)( abkkdxba(估值定理估值定理)oyxabmMMdxxfabmba)(1, , ba(积分中值定理积分中值定理) 由性质由性质6知知由连续性介值定理知由连续性介值定理知,badxxfab)(1使使 ) (f即即badxxf)()(xfy xaboy ) (f性质性质7.证证设设 f (x) 在在a , b上取得最小值上取得最小值 m 与最大值与最大值 M,)( (abfbadxxfab)(1-平均值平均值 ) ( )(1) (badxxfabfba则至少存在一点则至少存在一点 ,ba使使若函数若函数 f (x) 在在a , b上连续上连续, ) (ba1)(2 xxf , 2m ) 14(2412) 1(dxx651) 14(17412) 1(dxx例例1. 估计积分值估计积分值:解解.1714 2M在在 1,4 上的最小值、最大值分别为：上的最小值、最大值分