八年级等腰三角形培优竞赛课件[1]

1、 若按边（角）是否相等分类，则两边（角）相等的三若按边（角）是否相等分类，则两边（角）相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形是一类特殊的三角形，它角形是等腰三角形。等腰三角形是一类特殊的三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合（简称三线合一），特别地，中线、顶角的平分线互相重合（简称三线合一），特别地，等边三角形的各边相等，各角都为等边三角形的各边相等，各角都为6060度。度。 解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三

2、角形的特殊性质，这的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径。质探求新的解题途径。1、等腰三角形两个内角的度数之比为、等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰，这个等腰三角形底角的度数为三角形底角的度数为 。2、已知等腰三角形、已知等腰三角形ABC的三边长的三边长a、

3、b、c均为整数，均为整数，且满足且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有则这样的三角形共有 个。个。72度或45度。a+bc+b+ca=24,a+bc+b+ca=24, a a、b b、c c均为整数均为整数, ,（a+b)(c+1)=24 a+b)(c+1)=24 =2=212=312=38=48=46,6,故可以得到以下几种可能性：故可以得到以下几种可能性：1 1、a+b=2,c+1=12,a=b=1,c=11,a+b=2,c+1=12,a=b=1,c=11,三角形不能组成；三角形不能组成；2 2、 a+b=12,c+1=2,a=b=6,c=1, a+b=12,c+1=2,a=b

4、=6,c=1,三角形能组成；三角形能组成；3 3、 a+b=8,c+1=3,a=b=4,c=2, a+b=8,c+1=3,a=b=4,c=2,三角形能组成；三角形能组成；4 4、a+b=3,c+1=8,a=b=1.5,c=7,a+b=3,c+1=8,a=b=1.5,c=7,三角形不能组成；三角形不能组成；5 5、a+b=4,c+1=6,a=b=2,c=5,a+b=4,c+1=6,a=b=2,c=5,三角形不能组成；三角形不能组成；6 6、a+b=6,c+1=4,a=b=3,c=3,a+b=6,c+1=4,a=b=3,c=3,三角形能组成；三角形能组成；33、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为

5、、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则，则这个等腰三角形的顶角度数为这个等腰三角形的顶角度数为 度。度。4、一个等腰三角形的一个外角等于、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三度，则这个三角形的顶角为角形的顶角为 度。度。5、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成分成12cm和和21cm两部分，则这个等腰三角形底边长两部分，则这个等腰三角形底边长为为 cm.6、如图，在、如图，在ABC中，点中，点D是是BC边上一点，边上一点，BAD=80，AB=AD=DC，则，则C= 度。度。20或12070或405cm257、如图，在

6、、如图，在ABC中，中，ADBC于于D，BEAC于于E，AD与与BE相交于点相交于点F，若，若BF=AC，则，则ABC的大小是的大小是 度。度。8、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC，AD=AE， BAD=60，则，则EDC的度数为的度数为 度。度。9、如图，、如图，AM、BN分别是分别是EAB、 DBC的平分线，的平分线，若若AM=BN=AB，则，则BAC的度数为的度数为 度。度。453012设设EDC=x, B=C=y,EDC=x, B=C=y,则则AED=ADE=x+y, AED=ADE=x+y, ADC=2x+y=60+y,2x=60,x=30ADC=2x+y=60+y,2x=

7、60,x=30设设BAC=x, N=x, NBD=2x,BNBAC=x, N=x, NBD=2x,BN平分平分DBC, DBC, DBC=4x=ABM,AB=AM, DBC=4x=ABM,AB=AM, M=4x,AMM=4x,AM平分平分EAB, MAB=90-EAB, MAB=90-0.5x,4x+4x+90-0.5x=180,x=120.5x,4x+4x+90-0.5x=180,x=1210、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=BC，在，在BC上取点上取点M，在在MC上取点上取点N，使，使MN=NA，若，若BAM=NAC，则，则MAC= 度。度。11、如图，在四边形、如图，在四边形ABC

8、D中，中，AC平分平分BAD，过，过C作作CEAB于于E，并且，并且AE=0.5（AB+AD），则），则 ABC+ADC的度数是的度数是 度。度。设设BAM=CAN= x, C=y,BAM=CAN= x, C=y,则则B=180-2y, B=180-2y, AMN=180+x-2y, ANM=x+y,MN=NA, AMN=180+x-2y, ANM=x+y,MN=NA, MAN=AMN=180+x-2y, MAN=AMN=180+x-2y, MAN+AMN+ANM=180MAN+AMN+ANM=180360+2x-4y+x+y=180,y-x=60, 360+2x-4y+x+y=180,y-x

9、=60, MAC=MAN+NAC=180+2x-2y=180-120=60MAC=MAN+NAC=180+2x-2y=180-120=6060延长延长ADAD，过，过C C作作CFCF垂直垂直ADAD的延长线于的延长线于F F，AFCAFCAECAEC，CF=CECF=CE，AF=AEAF=AE，AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AAE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AF=AD+DF,EB=DF,F=AD+DF,EB=DF,CDFCDFCBECBE，B=FDC, B=FDC, ABC+ADC=180ABC+ADC=180

10、1801、如图，在、如图，在ABC中，中，ACB=90，AC=AE，BC=BF，则，则ECF=（ ）。）。A、60 B、45 C、30 D、不确定、不确定2、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC，D为为BC上一点，上一点，BF=CD，CE=BD，那么，那么EDF等于（等于（ ）。）。A、90 -0.5 A B、90 - A C、180 - A D、 45 -0.5 A设设B=x, A=90-x, B=x, A=90-x, BCF=90-0.5x, BCF=90-0.5x, ACE=45+0.5x, ACE=45+0.5x, ECF=ACE+BECF=ACE+BCF-ACB=45CF-AC

11、B=45BBDFBDFBDE,BDE,则则EDF= B=90-EDF= B=90-0.5 A0.5 AA3、如图，在、如图，在ABC中，中，BAC=120，ADBC于于D，且且AB+BD=DC，则，则C的大小是（的大小是（ ）A、20 B、25 C、30 D、45 4、如图，在等腰直角、如图，在等腰直角ABC中，中，AD为斜边上的高，以为斜边上的高，以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结，连结EF与与AD相交于相交于G，则，则AED与与AGF的关系为（的关系为（ ）A、 AED AGF B、 AED=AGFC、 AED CE,所以所以BGC

12、E。3、如图，、如图，AE、AD是直线且是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若若DAE=x,求求x的值的值A=x, CBD=FGE=2xECD=EFD=3x,AED=ADE=3xx+3x+3x=180 x=180/74、如图，、如图，ABC是边长为是边长为1的等边的等边三角形，三角形，BDC是顶角是顶角BDC=120度的等腰三角形，以度的等腰三角形，以D为顶点作一个为顶点作一个60度角，角的两边分别交度角，角的两边分别交AB于于M，交交AC于于N，连结，连结MN，形成一个三角，形成一个三角形，求证：形，求证： AMN的周长等于的周长等于2。延长AC使CE=BM，连结DE。CDE=

13、MDB，BDC=120，MDN=60BDM+NDC=60，NDE=NDC+CDE=60MDN EDN，MN=NEAM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE+AN+NC=AB+AC=25、如图，已知等腰、如图，已知等腰ABC中，中，AB=AC，P、Q分别为分别为AC、AB上的点，且上的点，且AP=PQ=QB=BC，求，求PCQ的度数。的度数。在PC上取点D使QP=QD。A=x,AP=PQQPD=QDP=A+AQP=2xBQD=A+ADP=3x,BQ=QD QBD=90-1.5xBDC=A+ABD=90-0.5xA=x,AB=ACACB=90-0.5x, ACB=BDCBD=BC=BQ=QD,

14、 BDQ为等边三角形为等边三角形QBD=90-1.5x=60，x=20, ACB= ABC=80,BCQ=50, PCQ=30 由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是，从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从方法是，从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。角入手，证明一个三角形的两个角相等。 实际解

15、题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有： 1 1、“角平分线角平分线+ +平行线平行线”构造等腰三角形；构造等腰三角形； 2 2、“角平分线角平分线+ +垂线垂线”构造等腰三角形；构造等腰三角形； 3 3、用、用“垂直平分线垂直平分线”构造等腰三角形；构造等腰三角形； 4 4、用、用“三角形中角的三角形中角的2 2倍关系倍关系”构造等腰三角形。构造等腰三角形。1、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=7，AC=11，点，点M是是BC的中点，的中点

16、，AD是是BAC的平分线，的平分线，MFAD，则则FC的长为的长为 。分析：用分析：用“角平分线角平分线+平行线平行线”构造等腰三角形构造等腰三角形AEF和等腰和等腰三角形三角形BPE，则，则AE=AF=11-x,BP=x=BE=11-x+7,x=992、如图，、如图，ABC=50，AD垂直垂直平分线段平分线段BC于点于点D，ABC的角平的角平分线分线BE交交AD于点于点E，连结，连结EC，则，则AEC的度数是的度数是 。3、如图，、如图，ABC中，中，AB=AC， B=36 ，D、E是是BC上两点，使上两点，使 ADE=AED=2 BAD，则图中，则图中等腰三角形共有等腰三角形共有 个。个。

17、4、如图，、如图， ABC中，中，AD平分平分BAC，AB+BD=AC，则，则 B：C的值的值 。11562：12是用“垂直平分线”构造等腰三角形，4利用“三角形中角的2倍关系。5、已知等腰、已知等腰ABC中，中，AB=AC，D为为BC边上一点，连接边上一点，连接AD，若，若ACD和和ABD都是等腰三角形，都是等腰三角形，则则C的度数是的度数是 。6、在一个房间内，有一个梯子斜、在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离距离MA为为a米，此时梯子的倾斜角米，此时梯子的倾斜角为为75度，如果梯子底端不动，顶端度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，

18、此时梯子顶端距离靠在对面墙上，此时梯子顶端距离NB为为b米，梯子的倾斜角为米，梯子的倾斜角为45度，度，则这间房子的宽则这间房子的宽AB是是 。45或或36度度a米米7、如图，四边形、如图，四边形ABDC中，中，EDC是是由由ABC绕顶点绕顶点C旋转旋转40度所得，顶度所得，顶点点A恰好转到恰好转到AB上一点上一点E的位置，则的位置，则1+2= 。8、一个等腰三角形的一条高等于腰长、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度的一半，则这个等腰三角形的底角度为为 。9、有一个等腰三角形纸片，若能从一、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等个底角的顶点出

19、发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为的顶角为 度。度。11015或或30 或或75 36 或或180/7 1、如图，已知、如图，已知RtABC中，中，ACB=90，BAC=30，在直线，在直线BC或或AC上取一点，上取一点，使得使得PAB是等腰三角形，则符合条件是等腰三角形，则符合条件的的P点有（点有（ ）个。）个。A、2 B、4C、6 D、8C2、如图，在、如图，在ABC中，中，BAC=106度，度，EF、MN分别分别是是AB、AC的中垂线，的中垂线，E、M在在BC上，则上，则EAM等于等于（ ）度。）度。A、58 B、32 C、36 D

20、、34B3、如图，在、如图，在ABC中，中，B=2 C，则，则AC与与2AB之之间的关系是（间的关系是（ ）。）。A、AC2AB B、AC=2AB C、AC2AB D、AC2ABD4、在下列三角形中，若、在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（两个小等腰三角形的是（ ）。）。A、1.2.3 B、1.2.4 C、2.3.4 D、1.3.4D5、在等边三角形、在等边三角形ABC所在的平面内求一个点所在的平面内求一个点P，使，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样都是等腰三角形，具有这样性质的点性质的点P有（有（ ）个。）个。A、1 B、4

21、 C、7 D、10D6、已知、已知ABC的三边的长分别为的三边的长分别为a、b、c，且，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则则ABC一定是（一定是（ ）。）。A、等边三角形、等边三角形B、腰长为、腰长为a的等腰三角形的等腰三角形C、底边长为、底边长为a的等腰三角形的等腰三角形D、等腰直角三角形、等腰直角三角形B（ac+ab)/bc=(b+c)/(b+c-a)a/bc=1/(b+c-a)Bc=ab+ac-a2(a-b)a+c(b-a)=0(a-c)(a-b)=0a=c或或a=b1、如图，、如图， ABC中，中，ADBC于于D，B=2C，求证：，求证：AB+BD=CD证明：延长证明：延

22、长CB至至E，使，使AB=BE，连结连结AE AB=BE E= EAB ABC= E+EAB=2 EABC=2C C= EAC=AE AD BCCD=DE=DB+BE AB+BD=CD2、两个全等的含、两个全等的含30度、度、60度角的三角板度角的三角板ADE和三角和三角板板ABC，如图所示放置，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，三点在一条直线上，边结边结BD，取，取BD的中点的中点M，连结，连结ME、MC，试判断，试判断EMC的形状，并说明理由。的形状，并说明理由。连结连结MAADE ABC可得可得ABD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再证再证MDE MAC可得可得EMC是等腰直角三角形是等腰直角三角形3、如图，已知在、如图，已知在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，且上一点，且BE=AC，延长，延长BE交交AC于于F，