电磁场数学基础

1、第一章电磁场数学基础1.1矢量的基本概念1.1.1 标量与矢量只有大小的物理量称为标量，如温度、压力、密度、质量、时间和电阻等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，例如力、速度、电场强度和磁场强度等。为了便于区别矢量和标量，本书中用白斜体字母表示标量，而用白斜体字母上加单向箭头表示矢量。例如表示一个矢量，它的大小称为该矢量的模。模是一个标量，表示为或。1.1.2 单位矢量矢量模等于1的矢量叫做单位矢量，在本书中表示为。与矢量同方向的单位矢量表示为。显然有， (1.1.1)这样，我们也可以将矢量表示为 (1.1.2)1.1.3 矢量的表示 图1.1.1 直角坐标系中的矢量 在三维空间里，矢量可以表

2、示为一根有方向的线段。线段的长度表示的模，线段的方向代表的方向。在三维直角坐标系中，可表示为一根由坐标原点出发的有向线段，如图1.1.1所示。沿着三个坐标轴正方向上的单位矢量分别为，在三个单位矢量方向上的投影分别为，矢量可表示为 (1.1.3) 矢量的模为 (1.1.4)矢量与x轴、y轴、z轴的夹角分别为、，单位矢量为 (1.1.5)其中 ， (1.1.6)由于cos、cos、cos，是单位矢量在直角坐标系中的三个分量，决定着矢量的方向，所以它们被称为矢量的方向余弦。单位矢量的模等于1，可以由下面的式子证明。 图1.1.2 直角坐标系中的位置矢量 1.1.4 位置矢量与距离矢量在三维直角坐标系

3、中，由坐标原点出发向空间任一点P(x,y,z)引出的有向线段称为点P的 位置矢量或矢径，表示为，如图1.1.2所示。矢径的三个坐标分量分别为x，y，z，可表示为 (1.1.7) 矢径的模等于线段OP的长度，即 (1.1.8)矢径的单位矢量为 (1.1.9)本书用表示电磁场中场点P(x,y,z)的位置矢量，用表示电磁场中源点的位置矢量，矢径则表示由点引向点的距离矢量，表示为 (1.1.10)距离矢量的模R表示点和点之间的距离，即 (1.1.11)距离矢量的单位矢量为 (1.1.12)图1.2.1 矢量平移1.2 矢量的代数运算1.2.1 矢量相等若矢量与矢量的大小相等且方向相同，或者说它们有相等

4、的坐标分量，则称矢量与矢量相等，记为 (1.2.1)由矢量相等的定义可知，一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等，如图1.2.1所示，即。图1.2.2 矢量加法1.2.2 矢量加法设矢量，若将矢量平移使它的始点与矢量的终点重合，则从矢量的始点出发引向矢量的终点的矢量称为矢量与矢量相加得出的和矢量，如图1.2.2所示，记为 (1.2.2)矢量加法满足交换律和结合律，即交换律 (1.2.3)图1.2.2 矢量加法结合律 (1.2.4)1.2.3 矢量减法与矢量大小相等方向相反的矢量称为矢量的负矢量，记为。矢量与矢量相加得出的矢量称为矢量减去矢量的差矢量，如图1.2.3所示，记为 (1.2.5)

5、1.2.4 矢量的数乘若矢量的诸分量分别等于矢量的各分量与任意常数a的乘积，即，(1.2.6)则矢量称为矢量与常数a的数乘，记为或 (1.2.7)显然，若a为大于零的实数，则相当于将原矢量伸长（a>1）或缩短（a<1）a倍，而方向保持不变；反之，若a为小于零的实数，则相当于将原矢量伸长（>1）或缩短（<1）倍，而方向变为相反方向。1.2.5 矢量的标量积两个矢量之间存在两种不同类型的乘积，即标量积和矢量积（也称作点乘和叉乘）。矢量与矢量的标量积记为，其大小等于的模和的模与两个矢量之间夹角的余弦的乘积，即 (1.2.8)显然，标量积可以看作是一个矢量在另一个矢量方向上的投

6、影。由标量积的定义，不难证明标量积满足交换律和分配律，即交换律(1.2.9)分配律(1.2.10)可以看出，若矢量与矢量垂直，即它们之间的夹角，则这两个矢量的点积等于零；若矢量与矢量平行，即它们之间的夹角，则这两个矢量的点积等于这两个矢量的模的乘积，即有， (1.2.11) (1.2.12)直角坐标系中的三个坐标单位矢量，互相垂直，满足以下关系 (1.2.13) (1.2.14)显然，可以用坐标分量的形式给出矢量与矢量的标量积，很容易用 (1.2.13)式和(1.2.14)式证明有以下公式成立 (1.2.15)这个公式表明，任何两个矢量的标量积等于这两个矢量的相应坐标分量乘积之和。1.2.6

7、矢量的矢量积图1.2.3 矢量积矢量与矢量的矢量积记为。它是一个矢量，垂直于包含矢量与矢量的平面，其大小等于的模和的模与两个矢量之间夹角的正弦的乘积，其方向是当右手的四指从转到时大拇指所指的方向（单位矢量为），即(1.2.16)显然，的模在数值上等于矢量与矢量组成的平行四边形的面积，如图1.2.3所示。矢量积不满足交换律，从矢量积的定义可知，矢量与矢量叉积顺序上的交换将导致矢量积的结果矢量反向，即有(1.2.17)矢量积满足分配律，即 (1.2.18)另外，矢量积也不满足结合律，即作为特殊情况可以看到，若矢量与矢量平行，即它们之间的夹角，则这两个矢量之间的矢量积等于零；若矢量与矢量垂直，即它们

8、之间的夹角，则这两个矢量之间的矢量积的模等于这两个矢量模的乘积。即有，(1.2.19) (1.2.20)由以上性质可以推论，直角坐标系中的三个坐标单位矢量，满足以下关系 (1.2.21) (1.2.22) (1.2.23) (1.2.24)利用(1.2.21)(1.2.24)式，可以将矢量的矢量积用坐标分量的形式表示出来，即(1.2.25)上面这个矢量叉积公式可借助于行列式简洁地表示出来，即 (1.2.26)根据标量积和矢量积的定义，可以推导出以下两个重要的矢量恒等式： (1.2.27) (1.2.28)图1. 3.1 变矢量1.3 矢量函数与场1.3.1 矢量函数的定义我们知道，当一个标量随

9、着某个或某几个变量的变化而变化时，就称其为标量函数。例如，随着时间变化而变化的温度，随着输入电压变化而变化的放大器输出电压，它们都是标量函数。大小和方向都不变的矢量叫做常矢量。但在实际中我们常常会碰到大小和方向或其中之一随着时间和空间位置（或其它变量）的变化而变化的变矢量，我们就称其为矢量函数。例如，质点沿曲线运动时，其速度的大小和方向随时间推移而变化，因此它是一个矢量函数，如图1.3.1所示。又如我们手机接收的电磁波场强随着时间的不同以及地点的不同而变化，它显然也是矢量函数。从数学上，我们可以作如下定义：设有变量t和矢量，如果对于t在某个范围内的每一个值，都有一个确定的矢量与之对应，则称矢量

10、为变量t的矢量函数，记作。矢量在直角坐标系中的三个分量、显然都是t的标量函数，可以写成图1. 3.2 矢端曲线 (1.3.1)本书所讨论的矢量均指自由矢量，就是当二个矢量的模和方向都相同时，认为此两个矢量是相等的。为了直观地表示矢量函数的变化状态，我们把的起点平移至坐标原点。这样，当变量t变化时，矢量函数的终端就会描出一条曲线l，如图1.3.2所示。这条曲线称为矢量函数的矢端曲线，而式(1.3.1)称为矢端曲线的矢量方程。1.3.2 标量场与矢量场在物理学中，“场”这个名词通常用来表示某种物理现象的一部分空间或整个空间，其定义可叙述为：若对于空间域上的每一点都对应着某个物理量的一个标量或一个矢

11、量，则称此空间域确定了这个物理量的场。若所讨论的物理量是标量，则称这个场为标量场；若所讨论的物理量是矢量，则称这个场为矢量场。例如，当所讨论的物理量是温度时，它随时间和空间位置不同的变化可以用一个标量函数来描绘，这个标量函数就在空间域上定义了温度场，这是标量场；当所讨论的物理量是空中传播的电磁波电场强度时，则它随时间和空间位置不同的变化可以用一个矢量函数来描绘，这个矢量函数就在空间域上定义了电场强度场，这是矢量场。1.3.3 时变场与静态场若一个场中的每一点所对应的量不仅与该点的位置有关，而且还与时间有关，则这种场称为动态（时变）场。时变的标量场和矢量场可以分别用与表示。如果场中的每一点所对应

12、的量与时间无关，则这种场称为静态场。静态的标量场和矢量场可以分别用与表示。1.4 矢量函数的导数假设给定某一静态的矢量场：式中x, y, z为场点P的直角坐标，令在坐标轴上的投影分别为,，它们也是场点的函数，即，有矢量代数可知，也可以表示为三个矢量分量之和，即 (1.4.1)实际上，给出矢量场函数等效于给出三个标量场函数。下面讨论矢量（场）函数的偏导数和全微分。以对x的偏导数为例来进行讨论。对其它变量的偏导数可以用同样的方法处理。将y, z固定不变，而赋予x一增量，则得到因x的增量而引起的矢量函数的增量为 (1.4.2)式中将式(1.4.2)两边除以，并取的极限，若极限存在，就称为对x的偏导数

13、，记为。 (1.4.3)同理可得： (1.4.4) (1.4.5)仿照标量函数的全微分，矢量函数的全微分定义为 (1.4.6)可以证明矢量函数求导数满足如下规则： 几个矢量函数之和的导数等于各个矢量函数的导数之和。 (1.4.7) 如果矢量函数乘以一个标量函数，则有 (1.4.8)1.5 矢量函数的积分和标量函数的积分相类似，矢量函数的积分可分为线积分、面积分和体积分三种，下面分别讨论三种积分的定义。图1.5.2 空间曲线1.5.1 矢量函数的线积分图1.5.1 空间曲线设空间有一曲线，它可以是闭合的，也可以是非闭合的，如图1.5.1所示。曲线的两个端点用C和D表示。在曲线闭合的情况下，A和B

14、重合。规定在曲线上移动的正方向为从C到D。沿闭合曲线有两种移动方向，需根据具体情况规定移动的正方向。与标量函数线积分类似，可以将曲线CD分成n个小线段，其分点用i表示，i=1,2,n。考虑相邻两个分点i和i+1，连接i点和i+1点的线段，这是一个有向线段，可用矢量代表，也可以表示为，其大小用表示，如图1.5.2所示。矢量的线积分可以定义以下四种：（1） (1.5.1)（2） (1.5.2)（3） (1.5.3)（4） (1.5.4)图1.5.3 空间的曲面 式中为中的任意一点。1.5.2 矢量函数的面积分矢量函数面积分的定义与线积分很相似，差别主要在于线元变成了面元，矢量线元变成了矢量面元，而

15、求和的过程是完全一样的。设空间中有一曲面，它可以是封闭的，也可以是非封闭的，如图1.5.3所示。图1.5.4 面积元单位法向矢量图1.5.3 空间的曲面将曲面分成n个小块，其中第i个小块的面积用dSi表示，i=1,2,n。在第i个小块上任取一点，并在此点作小块的单位法向矢量，如图1.5.4所示。点的单位法向矢量可以有两个方向。例如，对封闭曲面而言，既可以指向曲面外部的空间，也可以指向曲面内部的空间；对于非封闭曲面来说，相对于观察者所处位置，可以朝“上”或朝“下”。因此对每种具体情况要明确地标明单位法向矢量的指向。设在第个小块上已选定了单位法向矢量的指向，即明确了。就称为矢量面积元，也可以表示为

16、，就表示了矢量面积元的大小。可以定义以下四种矢量面积分：（1） (1.5.1)（2） (1.5.2)（3） (1.5.3)图1.5.4 面积元单位法向矢量图1.5.3 空间的曲面（4） (1.5.4)1.5.3 矢量函数的体积分与面积分的情况相类似，设在空间有一区域V，它可以是有限、无限或是全空间的。我们把V分成n个小体积元，其体积用表示，i=1,2,n。在第i个小体积中任选一点，如图1.5.5所示，则可以定义以下矢量体积分： (1.5.5)1.6 标量场的方向导数1.6.1 方向导数与梯度在电磁场理论的研究中，一个很重要的问题是研究电磁场在空间中沿不同方向的变化情况。例如，在静电场中位函数变

17、化最大的方向就是电场的方向。下面我们来讨论这个问题。图1.6.1标量场的变化假设在直角坐标系中给定了一个标量场，如图1.6.1所示，在场中某点（其矢径为）处的场函数为，而点附近的另一点（其矢径为）处的场函数值为。当从点沿位移到点时，场函数值从变化为，显然增量为全微分如下，(1.6.1)位移矢量应表示为： (1.6.2)标量场的增量(1.6.1)式可以写成位移矢量与另一个矢量的标量积： (1.6.3)其中矢量为(1.6.4a)矢量就叫做标量场f的梯度（gradient），用gradf表示。式(1.6.4)为梯度在直角坐标系中的表示式，也可以写为 (1.6.4b)如果位移矢量的单位矢量用表示，则有

18、： (1.6.5)可得 (1.6.6)表示了在标量场中某点处，场函数的值沿某方向对距离的变化率，称为标量场f沿该方向的方向导数。方向导数是一个标量，其值除了与场点的位置有关外，还与方向有关。方向导数绝对值的大小表示在该点沿给定方向上标量场函数f的变化快慢程度；当时，说明场函数值是沿给定方向随着位移的增加而增加的，当时，则场函数值沿给定方向随着位移的增加而减少，当时，场函数值则无变化。显然，由式(1.6.5)可以看出，标量场f在某点沿给定方向的方向导数等于该点处的梯度矢量在给定方向上的投影。如果用矢量的方向余弦来表示单位矢量，即(1.6.7)则方向导数可以写为： (1.6.8)梯度在数学和物理领

19、域里有广泛的应用，搞清楚其意义是很重要的。从式(1.6.6)可以看出，当与的夹角为零时，方向导数取得最大值，即梯度的绝对值。(1.6.9)对标量场求梯度后，变为一个矢量函数，在场中某点，梯度矢量的模就是标量场在该点的最大方向导数值，梯度方向就是最大方向导数的方向。这就是梯度的意义。在空间的每一点上，标量场都有一个特定的值，而且往往会出现在空间的许多点上标量场的值都是相同的，这些点就构成了标量场的等值面。不言而喻，在等值面上，函数值都是相等的。为了加深理解，我们用登山作为例子说明梯度的物理意义。图1.6.2等高线当我们从一个山脚下上山，有四面八方无数个上山的方向，其中有一方向是坡度最陡峭的，也就

20、是说走过同样的单位距离而上升的海拔高度是最大的，那么这个方向就是攀登高度的梯度方向，沿着这个方向攀登所得到的高度变化率就是这个梯度的值。我们在有些地图上可以看到如图1.6.2所示的等高线，它表示在同一曲线上所有位置上，地势的高度是相等的。这些等高线说明了地势的陡峭程度：等高线愈密的区域，地势愈陡峭；而等高线愈疏，地势愈平。这些等高线是等值面的二维特例。从等高线A的P点，我们可以从不同的方向向上攀登。沿PQ方向（即垂直于等高线的方向），斜率最大；而沿其他方向，例如，则斜率较小。从P点出发攀登同一高度，PQ方向的距离最短。下面我们讨论一下梯度的性质。（1）由于标量场是在梯度方向上取得最大的方向导数

21、值，也就是取得最大的对距离的变化率，因此在场中的任一点梯度矢量的方向总是指向该点场量值增大最快的方向。（2）如果在标量场的某一等值面上（相当于山的等高线，而在电磁场里相当于电位的等位面）上由任意某一点向任意方向的另一点取一个小位移，有，此时与过该点的等值面相切。因为有式中为沿切线方向的单位矢量，在梯度不为零的点上，它和另一个不为零的矢量点积为零只可能是两个矢量互相垂直，即。切向单位矢量的方向是任意的，因此某点的梯度矢量与过该点的等值面上的任一切线都垂直。所以标量场的梯度矢量总是与过该点的等值面向垂直，换句话说，也就是在等值面的法线方向上。由以上两点我们可以得到这样的结论：标量场中某点的梯度矢量

22、在过该点的等值面的法线方向上，且指向该点场量值增大的一方。图1.6.2中表示了梯度的这个性质。在图中，我们用f表示山的高度，在P点有 (1.6.10)显然，标量场中某点处沿任一方向的方向导数等于该点的梯度矢量在此方向上投影。例1-1求标量场在点P(1, 2 ,1)处沿方向的方向导数。解：点P(1, 2 ,1)处的单位矢量为 由式(1.6.7) 可知，在点P处有根据式(1.6.8)，标量场在P点处的方向导数为1.6.2 哈密顿算子爱尔兰数学家哈密尔顿（Hamilton William Rowan）引进了一个具有矢量和求导数双重性质的矢量型微分运算符号，在直角坐标系中表示为(1.6.11)称作哈密

23、顿算子或算符（Hamilton Operator），读作del或nabla。它既是一个微分算符，也可以看成是一个矢量，它作用于其后的矢量场函数或标量场函数进行微分运算。例如，对标量场u作用，表示为，即为 (1.6.12)因此，利用哈密顿算子，梯度矢量可以表示为 (1.6.13)哈密顿算子在电磁场理论中有广泛的应用，在本书后面的章节中，将大量的使用它。有关对标量场函数u和v的梯度运算公式如下： ，c为常数 (1.6.14)，c为常数 (1.6.15) (1.6.16) (1.6.17) (1.6.18) (1.6.19)以上各式均可以根据梯度的定义，直接给出证明，读者可以自行完成。例1-2 ，求

24、。解：例1-3 ，求。解：利用式(1.6.19)，可得图1.7.1 面积微元1.7 矢量场的散度我们已经知道梯度和方向导数有着密切的联系，而矢量场的散度与矢量场的通量也是联系在一起的。从物理角度讲，通量和散度都反映了矢量场的扩散特性，例如热量的散逸；它们的区别是通量描述整体特性，而散度给出局部特性。为了引出矢量的通量，需要首先了解面积微元矢量的概念。1.7.1 面积微元矢量一个面积微元除了有大小以外，在空间里还有一定的取向，因此可以用一个矢量来表示面元，就称作面积微元矢量。面元微元矢量的取向有两种情形：对一个开曲面上的面积微元，如图1.7.1所示，选定绕行方向后，沿绕行方向按右手螺旋规则的大拇

25、指指的方向就是面积微元矢量的取向，即图中面积微元的单位法向矢量的方向；对封闭曲面上的面元，面元矢量取为封闭面的外法线方向。图1.7.1给出的面积微元矢量在数学上可表示为： (1.7.1)在直角坐标系中，dS可以写为 (1.7.2)、分别是在三个坐标平面上的投影。1.7.2 矢量场的通量图1.7.2 流体的流量为了便于理解矢量场通量的概念，我们以流体运动的流量为例来进行说明。显然，流体的流速是一个有大小和方向的矢量，我们不考虑它与时间的关系，即假定它不依赖于时间，但它与空间位置有关，也就是说空间每一点的流速是不一样的，因此我们可以把它称为流速场，表示成。假设流体的密度为1，现在我们来计算在单位时

26、间内流体流过某一片曲面S的流量。在曲面上任取一点M，包围这一点的一个面积微元为dS，在点M处作曲面的单位法向矢量，它的方向可以被指定为曲面的这一侧或相反的另一侧，现在我们按图1.7.2所示的方向取定。点M处的流速为。在单位时间内，以为流速的流体沿单位法向矢量的方向通过面积微元dS的流量（即通量）dQ可以写为 (1.7.3)在图1.7.2中，我们用柱体来表示流量。以流速流动的流体沿方向的流量是流体沿方向流量在方向上的投影。若方向与方向的夹角为，则有 (1.7.4)显然，单位时间内穿过整个曲面S的流量Q就是沿曲面S的积分 (1.7.5)在实际中，也常常出现其他矢量场这种形式的积分，因此我们给出如下

27、矢量场通量的定义：为一个矢量场，S为一个有向光滑曲面，矢量沿曲面S指定一侧的曲面积分 (1.7.5)被称作矢量穿过曲面S指定一侧的通量。物理上不同的场，其通量有不同的意义。对于前面讨论的流体的流速，通量表示单位时间内穿过曲面S的流量；而对于本课程中的电位移矢量，通量称为穿过曲面S的电通量；对于磁感应强度矢量，通量称作磁通量。现在讨论S为封闭曲面的情况，图1.7.3给出了封闭曲面上矢量的通量情况。这时通量的表达式改写为图1.7.3 封闭曲面的通量 (1.7.6)前面已规定面积微元矢量的方向为外法线方向，因此当式(1.7.6)的积分值大于零时，即通量为正值，说明，矢量线从闭合曲面S中穿出，闭合曲面

28、S内必有发出矢量线的源；而当式(1.7.6)的积分值小于零时，即通量为负值，说明，矢量线从闭合曲面S外穿入，封闭曲面S内必有吸收矢量线的汇（或者称作负源）；显然，式(1.7.6)表示从封闭曲面S内穿出的矢量的正通量与从封闭曲面S外穿入的矢量的负通量的代数和。若式(1.7.6)的积分值等于零，就可以说封闭曲面内既无源也无汇，也可以理解为有多少矢量线穿入封闭曲面S，就有多少矢量线从封闭曲面S穿出，如图1.7.3中下方的一根矢量线。1.7.3 矢量场的散度上面讨论的矢量场通过封闭曲面的通量是一个积分量，它只反映了整个闭合曲面内源（或汇）的情况，并不能说明在封闭曲面内某点处源（或汇）的情况，即没有给出

29、曲面内源（或汇）的分布特性，为此现在引入矢量场的散度。封闭曲面的通量反映了封闭曲面内源（或汇）的总特性，若将包围某点p的封闭曲面的体积趋于零，则可以得到p点处源（或汇）的分布特性，因此定义矢量场在某点的散度（divergence）为 (1.7.7)式中，是包含p点的封闭曲面所包围的体积。从上式可以看出，矢量场的散度是一个标量函数。上式表明矢量在某点处的散度等于单位体积上的净通量。从物理的角度讲，散度就是通量的体密度。散度的绝对值表示该点处源（或汇）的体密度的大小，若，则该点是发出通量的源；若，则该点是吸收通量的汇；若，则该点既不是源也不是汇，如图1.7.4所示。图1.7.4 散度的三种情形散度

30、不为零的矢量场称作有源场，而散度处处为零的矢量场则称为无源场或管形场。例如磁感应强度矢量的散度处处为零，所以磁场是无源场或管形场。在解决物理问题中，经常需要进行散度的计算，用散度定义式进行计算是不方便的，因此我们下面从散度的定义式(1.7.7)出发推导直角坐标系下的散度计算公式。现在我们来考虑点P(x0, y0, z0)处矢量场的散度。由定义式(1.7.7)可知，散度与所取的体积元的形状无关，只要在取极限时，所有的尺寸都趋于零即可。因此我们以点P(x0, y0, z0)为中心作一个直角六面体微元，其表面分别与三个坐标平面平行，如图1.7.5所示。图1.7.5 计算矢量场在P点处的散度图1.7.

31、5中直角六面体的边长分别为、，直角六面体微元前（正x轴方向）、后、左、右、上、下的六个面分别用、表示，则式(1.7.7)中的积分可以写为(1.7.8)由图1.7.5可以看出：、首先讨论矢量场在直角六面体前后两个面（即和）上通过的通量。，考虑到直角六面体是微元，可将在和表面上的分量均看成是常量，且分别等于这两个面上中心处的，所以有 (1.7.9a) (1.7.9b)又因为很小，可以将和用泰勒级数展开，有(1.7.10)略去高阶项，只保留前两项，然后代入到(1.7.9a)和(1.7.9b)两式中，两式相加可得 (1.7.11)通理可得在左右两个面（和）上的通量和以及在上下两个面（和）上的通量和分别

32、为 (1.7.12) (1.7.13)至此，我们就可以得到矢量场通过直角六面体的通量为(1.7.13)式中，为六面体的体积，将上式带入散度的定义式 (1.7.7)，有 (1.7.14)因为点P(x0, y0, z0)可以任意选取，因此散度在直角坐标系下可以写为 (1.7.15)显然，矢量场的散度是一个标量。书写中，常常用哈密顿算符来表示散度，即。 (1.7.16)有关散度的运算的公式主要有：，c为常矢量 (1.7.17)，c为常数 (1.7.18) (1.7.19) (1.7.20)1.7.4散度定理散度定理也称作高斯定理，是场论中常用的定理，在电磁场理论也有重要的应用。我们可以通过散度的定义

33、式推导出散度定理。我们把一个封闭曲面S所包围的体积分成个N小体积微元，这些体积微元分别为，,¼,，这些体积微元的表面积分别为，,¼,。由散度的定义式可知将以上各式的左右两端分别相加，有 (1.7.21)(1.7.21)式左端求和时，由于相邻的两个体积元均有一公共表面，通过此公共表面上的通量对其中一个体积元来说是穿出，而对另一个体积元则是穿入，那么此公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好是大小相等而符号相反。因此N个体积元表面的通量相加时，所有体积元的公共表面上的通量互相抵消，只有贴近闭合曲面S的那些体积元的表面是S的面元，这部分表面的通量没有抵消，其和即为通过闭合曲面S的通

34、量，即(1.7.22)当体积元时，根据体积分的定义，(1.7.21)式右端之和为 (1.7.23)由(1.7.21) 、(1.7.22) 和(1.7.23)三式可得散度定理：(1.7.24)1.8 矢量场的旋度矢量场的通量和散度反映了矢量场与扩散源之间的关系，而矢量场的环量和旋度则反映了矢量场与漩涡源的关系。正如研究散度需要先了解通量一样，我们需要首先讨论矢量场的环量。1.8.1环量高等数学中的曲线积分表示为(1.8.1)式中表示积分的路径，、是上的连续函数。若将、视为某一变力在直角坐标系中的三个分量，则(1.8.1)式就代表变力沿路径所作的功。若以的三个分量代替、，显然上面的积分可写成(1.

35、8.2)式中。当为闭合曲线时，线积分(1.8.2)图1.8.1 环路绕行方向称作矢量场沿曲线的环量。 对于沿闭合曲线积分的环量，需要给定绕行方向。一般的选择方法是：首先确定闭合曲线所包围曲面的法线方向，绕行方向与法线方向之间满足右手螺旋关系，如图1.8.1所示。与矢量场的通量一样，矢量场的环量也是描述矢量特性的重要参量。若矢量场的环量不为零，则表示矢量场中存在着一种不同于通量源的源漩涡源。如，在环绕电流的封闭曲线上磁场强度的环量不为零，电流就是产生该磁场强度的漩涡源。环量在不同的物理背景下有着不同的物理意义。若是力矢量，环量表示质点运动一周时力作的功；根据安培环路定律，在电流产生的磁场中，对磁

36、感应强度，有；在流速为的流速场中，则表示流体作无涡旋流动运动；反之，则表明流体在作涡旋流动，流体中有产生涡旋的漩涡源。1.8.2旋度与通量描述了整体上矢量场的扩散特性相类似，环量是对矢量场旋转特性的整体描述，它不能说明矢量场在每一点处的旋转特性。为了给出矢量场在一点处的旋转特性，我们引入矢量场的环量面密度（circulation area density）和旋度（rotation）的概念。我们先来简单回顾一下散度的引出过程。通量是对矢量场的闭合曲面的积分，闭合曲面包围的是一个体积，令体积趋于零，然后取通量与体积之比的极限，就得到了通量体密度，也就是散度。而环量是对矢量场的闭合回路的积分，闭合回

37、路所包围的是一个面积，仿照通量体密度的处理方法，我们可以得到矢量场的环量面密度定义式如下： (1.8.3)上式中，是选定的闭合回路路径，它是有方向的；是闭合回路所包围的面元，的法线方向与的方向成右手螺旋关系，它们是一一对应的，如图1.8.1所示。显然，环量面密度是一个标量。需要指出，矢量场在某点处的环量面密度不仅与该点的位置有关，同时也与路径的方向有关。因此在矢量场中某点处，路径的无数个方向就对应着无数个环量面密度，但也一定存在着一个方向使矢量的环量面密度达到最大值。正如梯度是方向导数的最大值一样，旋度是环量面密度的最大值；正如梯度的方向是取得最大方向导数的方向一样，取得最大环量面密度时，路径

38、所包围的面元的法线方向（即面元矢量方向）就是旋度的方向。因此给出矢量场的旋度定义如下：矢量场在某点处的旋度是一个矢量，其大小为矢量场在该点的最大环量面密度，其方向是使环量面密度最大时面元矢量的方向。矢量场的旋度表示为(1.8.4)矢量场的旋度表示了场中某点处的最大环量面密度的大小和所在方向，反映了矢量场在该点处漩涡源的强度和方向。旋度不为零的矢量场称为有旋场。若在矢量场存在的空间中，场的旋度处处为零，则称此矢量场为无旋场或保守场。例如，静电场的电场强度矢量的旋度处处为零，静电场就是无旋场或者说是保守场。应用旋度的定义式计算物理问题中矢量场的旋度是不方便的，为此我们从旋度的定义式出发推导直角坐标

39、系下旋度的计算公式。我们采用的方法是将旋度在直角坐标系中的三个分量分别推导出来，然后相加，既可得出旋度计算公式。我们首先推导矢量场的旋度在点P(x0, y0, z0)处的分量，也就是在轴上投影。如果我们围绕点P(x0, y0, z0)作一个垂直于轴的面积微元，围绕着这个面积微元的环路积分除以该微元面积，那么当面积微元趋于零时的极限就是的分量。图1.8.2 投影到yoz平面的环路积分由定义式(1.8.3)可知，环量面密度与所取的积分路径形状无关，只要在取极限时，环路面积趋于零即可。因此以点P(x0, y0, z0)为中心作平行于面的小矩形，矩形的两个边长分别为和，且分别平行于轴和轴，沿的积分路径

40、和方向如图1.8.2所示，所包围的矩形面元可表示为。现在来考察。显然，投影到路径的四个线段上的矢量场的分量只存在分量和分量，考虑到和均很小，在矩形的四个线段上，矢量场的分量可视为常量，我们令其等于相应线段中点处的场分量值，则有(1.8.5)采用泰勒级数展开并略去高阶项的方法，可得将以上四式代入到式(1.8.5)，则有(1.8.6)式(1.8.6)就是矢量场围绕面积微元的环量，求其面密度即为的分量。 (1.8.7)按照同样的方法，我们可以得到的分量和分量如下： (1.8.8) (1.8.9)由式(1.8.6)、式(1.8.8)和式(1.8.9)可以得到旋度在直角坐标系下的计算公式为： (1.8.

41、10)与散度一样，旋度也可以用哈密顿算符表示，可写为： (1.8.11)有关旋度运算的主要公式有：(1.8.12)(1.8.13)(1.8.14)(1.8.15)(1.8.16)(1.8.17)以上各式中，为矢量函数，为标量函数，为常数。图1.8.3封闭曲线l包围的曲面S1.8.3斯托克斯定理斯托克斯定理是场论中常用的重要积分定理，它可以通过旋度的定义式来导出。图1.8.3给出了一个以封闭曲线为边界的有限开曲面，将曲面划分成n个面积微元（i=1,2,n），包围面积微元的的闭合曲线为，对应的面积微元的单位法向矢量为。对于第i个闭合曲线，根据旋度定义式(1.8.4)，当时，有(1.8.18)对曲面

42、所有的闭合曲线上的矢量场的环量求和，有 (1.8.19)曲面上任意两个相邻面积微元，如图1.8.3中的和，它们在公共边界上的积分路径方向是相反的，因此公共边界上的线积分互相抵消的，这样在式(1.8.19)的右端求和后，只有曲面最外面的边界曲线上的积分得以保留，所以当，即时，有 (1.8.20)上式就是斯托克斯定理，实质上它反映了矢量场沿闭合曲线的环量与该闭合曲线所包围面积上的漩涡源之间的关系。例如，对磁场强度矢量的闭合环路积分与所包围的电流成正比（安培环路电流定律）。1.9 场函数的二阶微分运算及重要定理前面我们讨论的梯度、散度和旋度都是场函数的一阶微分运算。如果所讨论的场函数具有二阶连续偏导

43、数，我们还可以对标量场的梯度以及矢量场的旋度再作散度或旋度运算；而对矢量场的散度再进行梯度运算。对这些场函数的二次运算实际上就是场函数的二阶微分运算。我们通过研究场函数的二阶微分运算，可以引出矢量分析的许多重要性质和定理，并引入标量位函数或矢量位函数。1.9.1对标量场的梯度求旋度对标量场函数的梯度再求旋度恒为零，即 (1.9.1)上式给出了矢量分析的一个重要性质，可以直接应用梯度与旋度的计算公式在同一个坐标系进行运算来证明。为便于记忆，我们可以将该性质简称为“有梯无旋”。该性质也可以陈述为：若一个矢量场的旋度为零，它一定可以表示为某个标量场的梯度。从物理角度讲，一个矢量场无旋（即保守场），则

44、对应着一个标量场（称作位函数），这个位函数的梯度即为该保守场，可以写为(1.9.2)负号是人为加入的，它不会改变的无旋性。然而无旋场的标量位函数不是唯一的，有无数个标量位函数对应着无旋场，这些标量位函数只相差一个常数。显然，对应着，有， C为常数 (1.9.3)例如，在静电场中，电场强度矢量是无旋场，有，因此有，称为标量位函数。又如，重力是保守力，即重力场为无旋场，其旋度，对应着重力保守场，存在着势能（或称位能），因此有。1.9.2 对矢量场的旋度求散度对矢量场函数的旋度再求散度恒为零，即 (1.9.4)该式给出了矢量分析的另一个重要性质，其证明可直接应用旋度与散度的计算公式在同一个坐标系进行运算来完成。为便于记忆，我们可以将该性质简称为“有旋无散”。该性质也可以陈述为：若一个矢量场的散度为零，它一定可以表示为另一个矢量场的旋度。从物理角度讲，一个矢量场无散，则对应着一个矢量场（称作矢量位函数），这个矢量位函数的旋度即为该矢量场，可以写为(1.9.5)通过分析可知，能够满足上式的矢量位函数不是唯一的。例如，令，是一个标量函数，显然有(1.9.6)因此，无源场的矢量位函数不是唯一的，它们相差一个标量函数的梯度。1.9.3 拉普拉斯算符对标量场函数