数列经典例题精析

1、经典例题精析类型一：数列的概念1写出数列-1,1,-1,1,三种以上不同形式的通项公式。思路点拨：从奇偶项考虑或从三角函数的周期性考虑。解析：； ；()； ()2写出数列：，的一个通项公式.思路点拨：从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，恰是, ,可用表示；解析：通项公式为：.总结升华：求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，项分别记作，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；

2、给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式1】数列：，的一个通项公式是（）A BC D【答案】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D.【变式2】给出数表： （1）前行共有几个数？（2）第行的第一个数和最后一个数各是多少？（3）求第行的各数之和；（4）数100是第几行的第几个数？【答案】（1）；（2），；（3）；（4）第14行的第9个数。类型二：等差、等比数列概念及其性质3在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积；解析：方法一：设插入的个数为，且公比为，则，（）方法二：设插入的

3、个数为，总结升华：第一种解法利用等比数列的基本量、，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.举一反三：【变式1】等比数列中，各项均为正数，且，求【答案】方法一：设等比数列首项为，公比为q， 则.方法二：， ，。【变式2】已知等差数列，公差，中部分项组成的数列，恰为等比数列，且知,.（1）求；（2）证明: . 【答案】依题意:，. ，为等比数列， ，解得. 等比数列的首项，公比， 又在等差数列中是第项， （）， 解得.（2） 4已知等差数列，, , 则（）A

4、125 B175C225D250解析：方法一：为等差数列， ,成等差数列，即 ， 解得, 选C.方法二：取特殊值，令，由题意可得, ， , 选C.方法三：, 两式相减可得， . 选C.总结升华：解法一应用等差数列性质，解法二采用特殊值法，解法三运用整体思想，注意认真体会每一种解法，灵活应用.举一反三：【变式】已知等比数列，, , 则（）A.75 B.2880 C. D.63【答案】方法一：为等比数列， ,成等比数列，即 ，解得， 选D.方法二：取特殊值，令，由题意可得,， 则， , 选.方法三：, 两式相除可得, , , 选D.5如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数

5、项的和之比为32：27，求公差.思路点拨：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量.解析：设等差数列首项为，公差为d，则总结升华： 1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要。2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键。举一反三：【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数。【答案】设这三个数为、， 由题知，解得， 又，构成等差数列， ，即， 解得或， 这三个数为2，6，18或18，6，2。6等差数列中，,，则它的前_项和

6、最大，最大项的值是_.思路点拨：等差数列前n项和, 当d0时是关于n的二次函数且常数项为零，当d=0时是关于n的正比例函数.而已知可知d0, 因此，研究Sn的最大值问题可转化为用函数方法求抛物线的最值问题.解析：设公差为d, 由题意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,有最大值.又S3=S11,可得n=7， S7为最大值，即S7=713+(-2)=49.举一反三：【变式】若数列an是等差数列，数列bn满足bn=anan+1an+2(nN)，bn的前n项和用Sn表示，若an中满足3a5=8a120，试问n多大时，Sn取得最大值，证明你的结论.【答案】3a5=8a120，3a5=8(a5+7d)

7、,解得a5=-d0 d0，a1=-d， 故an是首项为正的递减数列. 则有,即 解得：15n16，n=16，即a160，a170 即：a1a2a160a17a18 于是b1b2b140b17b18 而b15=a15a16a170 b16=a16a17a180 S14S13S1 ,S14S15，S15S16 又a15=-d0，a18=d0 a15|a18|，|b15|b16，即b15+b160 S16S14，故Sn中S16最大7已知an为等比数列（1）若，求；（2）若，求.解析：（1）化为关于的一元二次方程（也可化为关于，q的方程整体解决） 原式=或（舍）；（2）方法一： 或-3， 由 方法二：

8、 由， ， 成等比数列，且首项为A1公比为q3， 由前面解得q3=2， 则.总结升华：方法一是方程的思想，整体看作两个未知量，一个是q3，一个是.方法二是设辅助数列的思想，只需求出新数列的首项和公比即可求和.8设Sn、Tn分别为等差数列an，bn的前n项和，满足，求.解析：方法一：方法二：设(k0)， a11=S11-S10=11k(711+1)-10k(710+1)=148k b11=T11-T10=11k(411+27)-10k(410+27)=111k .【变式】等差数列an中，Sn=50，求项数n.【答案】， ， 由（1）+（2）得:， .类型三：与的关系式的综合运用9已知数列的前项和

9、，求数列的前项和。解析：当时，当时，。也适合上式，数列的通项公式为。由，得。即当时，；当时，。（1）当时， 。（2）当时， 。 故总结升华：已知Sn求an要先分n=1和n2两种情况进行计算，然后验证能否统一.举一反三：【变式1】已知数列an的前n项和公式分别为（1）Sn=n2-2n+2.（2）Sn=分别求它们的通项公式.【答案】（1）当n=1时, a1=S1=1； 当n2时, an=Sn-Sn-1=(n2-2n+2)-(n-1)2-2(n-1)+2=2n-3, 又n=1时，2n-3a1, （2）当n=1时, a1=S1=； 当n2时, an=Sn-Sn-1=()n-1-()n-1-1=()n-

10、1, 又n=1时, ()0=a1, (nN).【变式2】已知数列an前n项和为Sn, 且Sn=10n-n2(nN), 数列bn满足bn=|an|，求数列bn前n项和Tn的表达式.【答案】易求得a1=9, an=-2n+11. 当n5时an0, 当n6时，an0.故当n5时，Tn=Sn=10n-n2.当n6时Tn=(a1+a2+a5)-a6-a7-an=2(a1+a2+a5)-(a1+a2+an)=2S5-Sn=2(105-52)-(10n-n2)=n2-10n+50.【变式3】已知数列的前项和为，。（1）求；（2）求证：数列是等比数列。【答案】（1）由，得， ， 又，即，得。（2）证明：当时，

11、 得，又， 所以为首项为，公比为的等比数列。10. 数列的前n项和为，若对于恒成立，求.思路点拨： 由，得，再由连乘积求得，然后用裂项法求.解析： 则 得，即，在中，当n=1时，.举一反三：【变式1】在数列中，已知前项和与通项满足，求这个数列的通项公式. 【答案】因为从而由已知得到：即，于是得到，就可以得到：.【变式2】若数列的相邻两项、是方程的两根，又，求数列的前项和.【答案】由韦达定理得， ，得 ， 数列与均成等比数列，且公比都为， 由，得, , (I)当为偶数时，令（）, . (II)当为奇数时，令（）， .类型四：特殊数列的求和11求数列1，的前n项和.解析：（1）当时， （2）当时，

12、；（3）当，原数列为1，0，1，0，1，0， 若为偶数，令（），则； 若为奇数，令（），则。举一反三：【变式1】求数列的前n项和。【答案】所以可以得到：。【变式2】求和：【答案】a=0或b=0时，当a=b时，；当ab时，类型五：由递推关系求数列通项公式12已知数列中，求.解析：法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且法二： 由得：设，则数列为等比数列法三：，总结升华：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.举一反三：【变式1】设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.【答案】

13、由题意 ， ， ，又， 当时， 当时，符合上式 .【变式2】在数列an中，a1=1，an+1=，求an.【答案】 ， 将以上各式叠加，得 又n=1时， 类型六：应用题13某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）思路点拨：建立本题的数学模型是关键.解析：方法一：由题意，设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷， 于是现在的粮食单产量吨/公顷，10年后总人口为， 人均粮食占有量吨，若设平均每年允许减少公顷， 则10年耕地共有()公顷

14、， 于是10年后粮食单产量为吨/公顷. 由粮食单产10年后比现在增加得不等式： 化简可得 即， (公顷) 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.方法二：由题意，设现在总人口为人，粮食单产为吨/公顷， 现在共有耕地公顷，于是现在人均粮食占有量吨/人， 10年后总人口为，粮食单产吨/公顷， 若设平均每年允许减少公顷，则10年后耕地将有()公顷， 于是10年后粮食总产量为， 人均粮食占有量为， 由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式： ，（余与上同）.总结升华：解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.举一反三：【变式】某地区原有森林木材存量为，且每年增长

15、率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.（1）写出的表达式.（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果， 那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.【答案】（1）依题意，第一年森林木材存量为， 1年后该地区森林木材存量为：， 2年后该地区森林木材存量为：， 3年后该地区森林木材存量为：， 4年后该地区森林木材存量为：， 年后该地区森林木材存量为：（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于， 即 ， 解得，即， ， . 答：经过8年该地区就开始水土流失.例1设a, b, cR+，求证：。 分

16、析:本题的难点在于不易处理，如能找出a2+b2与a+b之间的关系，问题就能解决。 证明: a, b, cR+， a2+b22ab, 2(a2+b2) (a+b)2, , 同理:， 例2若a, b, cR+，求证(a+b+c)4(a2+b2+c2)243a2b2c2。 分析:这类不等式可看作是“和的形式积的形式”经迭乘而成。 证明: a,b,c0， ， , 又 ，(a+b+c)4(a2+b2+c2)35(abc)2。 (a+b+c)4(a2+b2+c2)243a2b2c2。 例3若a2，求证。 分析:两个对数的积不好处理，而和易处理，从而想到重要不等式。 证明: a2, loga(a-1)0,

17、loga(a+1)0，且 , loga(a-1)loga(a+1)1。 例4若0x0， 当且仅当5x=2-5x，即时，原式有最大值。 例5求函数的最小值 (a0)。 解: (1)当01时，令 (t)。 在为增函数， ，此时x=0。 综上可知，01时，。1常见致错原因分析 例1若x0，求的最小值。 解法1：由于，故知Pmin=1. 说明：以上解法是错误，虽说满足了“积为定值”这个条件，但使等号成立的先决条件：却不成立。正确解法如下： 解法2： ， 。 在即时，有。 说明：以上求解中采用了“变换系数”的办法，使得“第一”， “第二”两个条件都得以满足。“变换系数”是变形中的常用方法之一。 例2已知

18、x,yR+,且2x+y=4，求的最小值。 解法1：由2x+y=4，知y=4-2x，x(0,2)，故， 而x(4-2x)在x=1时有最大值2，故有最小值， 所以在x=1(0,2)时，有最小值。 说明：以上解法是错误的。其一，的积不是定值；其二，要取得等号，必须，即x=y。而当x=y=1时，与条件2x+y=4相悖。 解法2.由2x+y=4,得。于是。 说明：以上解法又是错的。这里两次用到基本不等式，然而，使等号成立的条件并不相同：对于中取等号，必须，即y=2x；对于取等号，必须，即x=y，这便导致2x=x，得出x=0，与已知矛盾。 解法3：由2x+y=4，得， 。 。 说明：以上解法满足“第一”，

19、“第二”两个要求，所以正确。等号在，即时成立，代入2x+y=4得x=2(2-)(0,2)。解法4:由2x+y=4，可令2x=4cos2,，y=4sin2，于是 ，。 说明：以上解法满足要求，答案正确。等号在即时成立，由此可得，满足2x+y=4。2. 常见一般方法 （1）变更系数法 例3. 若x1，求的最小值。 解：。 等号在即x=2(1,+)时,有。 例4边长为a的正方形铁片，在其四角剪去相等的小正方形后，折成一个方盒。问剪去的尺寸为多少时，小方盒有最大容积。 解：设剪去的小正方形边长为x，则小方盒边长为a-2x，又其高为x，故小方盒容积为V=(a-2x)2x，而4V=4x(a-2x)2,故当

20、4x=a-2x,时，有。 例5若ab0，求的最小值。 解：。 说明：本题两次用到基本不等式，第一次在条件2a-b=b即a=b时取等号，第二次在条件即a=2时取等号，并不矛盾，解法正确。 （2）取倒数或作平方 例6周长为定值时，哪种三角形面积最大？ 解：据海伦公式，三角形的面积，这里。 显然，同理p-b0,p-c0， 故S2=p(p-a)(p-b)(p-c), 即，等号在p-a=p-b=p-c即a=b=c时成立，即周长为定值时，等边三角形面积最大。 （3）待定系数法 例7总长为24m的铁丝剪成若干段，焊成一个长方体容器的框架。若底面长方形邻边之比为32，试问长方体的高为多少时，其容积有最大值。

21、分析：设底面长方形较长的一边为x，则其邻边长为，设长方体高为y，则有，即，故知x(0,3.6)为函数的定义域。 虽说为定值，但使等式成立的x却不存在，为此，需采用其他办法。 解法1：由于，所以 故得，等号在时成立，即x=2.4(0,3.6)，这时。 说明：以上解法仍是“变更系数法”，问题是（）处的变形很难想到，是否有别的方法呢？ 解法2 对于，取待定系数m，使。 要使，即为（与x无关的）定值，必须， 。于是。 。等号在，即x=2.4(0,3,6)时成立，这时. 说明：较之解法1，技巧性降低了，也就比较容易入手，解法2的方法就是最简单的待定系数法。用待定系数法目的，就是为了本文开头提到的“第一”

22、，“第二”两个条件得以实现，在构成积的三个因式中有两个相同，另一个不相等，总可以用变更系数法或待定系数法来处理。 例8若x0，求V=x(x+0.5)(3.2-2x)的最大值。 解：取待定系数m, n使 mnV=x(mx+0.5m)(3.2n-2nx) 要使 x+(mx+0.5m)+(3.2n-2nx)即0.5m+3.2n+(1+m-2n)x为（与x无关的） 定值，必须1+m-2n=0(*) 由x=mx+0.5m=3.2n-2nx得。 代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0，解得x=1及，当x=1时，于是即当x=1时，。 另解：取待定系数m,n使mnV=mx(nx+0.5n)(3.2-2x

23、). 要使mx+(nx+0.5n)+(3.2-2x)即0.5n+3.2+(m+n-2)x为（与x无关的）定值，必m+n-2=0(*). 而由mx=nx+0.5n=3.2-2x，即得。 代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0（下略） 说明：本例中构成积的三个因式互不相同，为确保“第一”，“第二”两个条件得以实现，用待定系数法求解时，需用两个待定系数。这两个系数如何配置，结果总为一样，惟繁简不同而已。经典例题透析类型一：观察法求数列的通项公式1写出下面各数列的一个通项公式：（1）1，；（2）2，11，101，1001，10001，；（3）3，0，3，0，3，；解析：（1）各项正负相间，可用表

24、示； 各项分母是21，221，231， 数列的一个通项公式为。（2）各项为100+1，101+1，102+1，103+1， 数列的一个通项公式。（3）因为1，0，1，0，的通项为， 3，0，3，0，的通项公式为。总结升华：（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号 n之间的关系。（2）熟记以下数列的前几项：，。（3）项若正负相间，注意用或表示。举一反三：【变式】写出下面各数列的一个通项公式：（1），。（2）8，88，888，8888，88888，【答案】（1）， 数列的通项公式为。（2）将数列改写为 .类型二：累加法求数列的通项公式2求分别满足下

25、列条件的数列的通项公式.（1），； （2），.思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等差数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.解析：（1），数列是等差数列，且首项为，公差为 .（2）， 当时， ， ， ， 将上面个式子相加得到： （）， 当时，符合上式 故.总结升华：1. 在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是 关于的式子，则数列不是等差数列.2当数列的递推公式是，可以利用累加的方法求数列的通项公式.举一反三：【变式1】数列中，求通项公式.【答案】当时， ，将上面个

26、式子相加得到：（），当时，符合上式故.【变式2】数列中，求通项公式.【答案】当时， ，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.类型三：累乘法求数列的通项公式3求分别满足下列条件的数列的通项公式.（1），； （2），.思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解.解析：（1），数列是等比数列，且首项为，公比为 .（2）， 当时， ， 将上面个式子相乘得到： ， （）， 当时，符合上式 故.总结升华：1在数列中，若为常数，则数列是等比数列；若不是一个

27、常数，而是关 于的式子，则数列不是等比数列.2当数列的递推公式是，可以利用累乘的方法求数列的通项公式.举一反三：【变式1】数列中，求通项公式.【答案】时，当时，符合上式【变式2】已知数列中，（nN+），求通项公式.【答案】由得， ，当时， 当时，符合上式类型四：转化法求通项公式4数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得，得为等差数列。把求数列的通项公式转化为求等差数列的通项公式。解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为，首项， ，.总结升华：对递推公式可变形为（为非零常数）的一类数列，两边同时除以，得，即把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再求的通

28、项.举一反三：【变式1】数列中，,，求.【答案】， 成等差数列，公差为，首项， ， .【变式2】在数列中，a1=1，求。【答案】由得。 是首项为1，公差为的等差数列， ， 。5已知数列中, ()，求的通项公式.思路点拨：把整理成，得数列为等比数列。解析：方法一：待定系数法()，,令，则，是首项为且公比为的等比数列，, 方法二：迭代法 = 。方法三：阶差法 ，-得: 成等比数列且公比为，首项，,当时 .当时，符合上式总结升华： （1）递推公式为（为常数）的数列是一类常见的递推数列，称之为线性递推数列。 当c=1，d=0时它是常数列；当c=1，d0时它是等差数列；当c0，d=0时它是等比数列。（2

29、）一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,均可用以下 几种方法求通项公式。 待定系数法： 设得，利用已知得即，从而将数列 转化为求等比数列的通项。 迭代法 阶差法。实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列等比数列的 问题，通过对辅助数列求和而得到原数列的通项公式，这一方法充分体现了数学中的换元思想 和转化思想。举一反三：【变式1】已知数列中，求【答案】， ，令，则是首项为公比为的等比数列，【变式2】已知数列中，求【答案】令，则，即，为等比数列，且首项为，公比，故.【变式3】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，数列是以为首项，3为公比的等比数列，

30、.。类型五：与的关系式的综合运用6数列满足，（1）用表示 ；（2）证明：数列是等比数列；（3）求和的表达式.思路点拨：由推出和，要证明是等比数列，只需利用定义证明是常数，这需要探求与的关系，再由等比数列的前n项和反过来求或直接利用关系式求.解析：（1）， 当时，即 当时 , ， 所以.（2）证明：,，显然, （常数）， 所以数列是等比数列，首项为，公比.（3) 由（2）知：是以2为公比的等比数列，首项为， ，即， , 方法一： 方法二： 数列的前n项和： ， 即， . 方法三： ， .总结升华：与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，可利用n2时，将条件转化为仅含或的关系式。注意分

31、n=1和n2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项公式求出递推数列的通项公式.举一反三：【变式1】如果数列的前n项和为，那么数列的通项公式是（ ）A B C D【答案】D，n2时，即是等比数列且a1=6。【变式2】已知数列中，是数列的前n项的和，且，求。【答案】将变形为。 将（n2）代入并化简，得。 由已知可求得S1=a1=1。 是等差数列，公差为1，首项为1。 。 ，。 n2时，。 而n=1时，a1=1也适合上式。 的通项公式。【变式3】已知数列，（1）设，证明是等比数列并求；（2) 设,证明

32、是等差数列并求.（3）求数列的通项公式.【答案】（1）, 当时， 当时， ， ，即(), 数列是等比数列，首项为,公比为. .（2）由(1)知: ,. ,即， ，即, 数列为首项,公差为的等差数列. .（3）由（2）知：，所以【变式4】在数列中，若存在常数，使得对任意的正整数，均有成立.（1）求的值；（2）求证是等差数列.【答案】（1）由已知得， 又，得或. 若，则当时，即，得， 这与已知矛盾， 当时，得， ，.（2）由（1）知， ， 解得，即. 所以， 即. 又因为（常数）， 所以数列成等差数列.类型六：应用题7某单位用分期付款的方式购买一套设备，共需1150万元，购买当天先付150万元，以

33、后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款后的第10个月应该付多少钱？全部贷款付清后，实际花了多少钱？解析：因购设备时已付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付清，则每次付款的数额顺次构成数列，(万元)(万元)(万元)(万元) (,) 数列是首项为，公差为的等差数列.(万元)，(万元)20次分期付款总和为：(万元),实际共付1105+150=1255(万元)答：第10个月付55.5万元，实际花1255万元.总结升华：存款、贷款与人民的生活休戚相关，解决此类问题常常转化为数列求解.8一工厂为提高产品质量、扩

34、大再生产，需要征地、扩建厂房、购置新机器设备、改造旧设备、培训职工，因而需要大量资金.已知征地、农户拆迁费需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及培训职工需15万元，而该厂现有资金125万元，但流动备用资金需40万元，厂内干部30人每人投资4000元，工人180人每人投资1000元(不计利息在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按照年利率9%的复利计算，若从次年年底开始分5年平均还清贷款及全部利息，那么该厂平均每年需还贷款多少万元(精确到0.1万元).思路点拨：本题涉及资金有以下几个方面：(1)扩大再生产急需资金40+100+60+15+40

35、=255(万元)(2)已筹集资金125+0.430+0.1180=155(万元)(3)需向银行贷款255-155=100(万元)(4)还款情况分析： 向银行贷款100万元从次年年底起5年后若一次还清应为100(1+0.09)5(万元) 根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起，连续5年每年向银行还相同的贷款，到第5年 底还完.解析：设该厂平均每年需还贷款x万元，则第1年年底还款x万元到第5年年底应为x1.094(万元)；第2年年底还款x万元到第5年年底应为x1.093(万元)；第3年年底还款x万元到第5年年底应为x1.092(万元)第4年年底还款x万元到第5年年底应为x1.09(万元)第5

36、年年底还款x万元仅本金x(万元)于是得方程x(1.094+1.093+1.092+1.09+1)=1001.095所以 =1001.095由计算器可计算得x25.7(万元).总结升华：分期付款问题可视作分期存款，即从次年年底每年存款x万元，按规定的利率，求得n年的本利和，然后向银行一次付清，这样就构成了以x万元为首项，1.09为公比的等比数列求前n项之和，从而列出方程，求出x.举一反三：【变式1】一个家庭为了给孩子将来上大学付学费，从孩子一出生起，每年到银行储蓄一笔钱，假设大学四年学费共需1万元，银行储蓄利率为月息4.725，每年按复利计算，为了使孩子到18岁上大学时本利共有1万元，他们每年要

37、存入多少钱？（精确到1元）【答案】设每年存入a元，n年后本利和为. 从0岁到17岁共往银行存入18笔钱，故本利和为. 所以， 利用计算器，解得. 故每年需存款316元.【变式2】国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2001年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增。（1）试问从2001年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？（1.128=2.476，1.127=2.211） （精确到年）（2）为支持退耕还林工作，国家财政从2002年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按 0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元。试问：西部完成退耕还林计划

38、，国家财政共需支付多 少亿元？（精确到亿元）【答案】（1）设从2001年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，an，万亩。 则a1=515(1+12%)，a2=515(1+12%)2，an=515(1+12%)n， 5151.12(1.12n1)=58550.12，即1.12n=2.218。 又nN*，当n=7时，1.127=2.211，此时完不成退耕还林计划， n=8 故到2009年底西部地区才能完成退耕还林计划。（2）设才政补助费为W亿元，则 W=(3000.7+20)(6370515)104=134.7（亿元）， 故西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.7亿元。【变

39、式3】某国产名牌彩电，每月销售量为a台，改进技术的新产品投放市场后预计第一月销售量的增长率为200，以后每月销售量的增长率为前一个月的一半.(1)当新产品投放市场3个月后，预计新产品的月销售量是老产品的多少倍？(2)由于国外企业参与竞争，国产新彩电实际月销售的增长率比预计减少10，那么经过多少个月后， 国产新彩电实际月销售量达到最大？最大月销售量是老产品的多少倍（结果保留小数点后一位）？【答案】(1)设n个月后新彩电销量为，则 故三个月后预计国产彩电月销售量是老产品的9倍.(2)由于国外进口彩电参与竞争，实际月销售量的增长率比预计减少10，故 因为数列是一个单调递减数列， 要使取得最大值，只要

40、， 又 ，则 即经过5个月国产彩电实际月销售量达到最大，最大月销售是老产品的9.1倍。经典例题透析类型一：分组转化法求和1已知数列中，求前项和思路点拨：该数列中是由等差数列和等比数列的对应项相加而成，可以将其拆开分为两个数列分别求和，即分组求和。解析： 总结升华：1一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常 数列，然后用熟知的公式求解。2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的 办法来求前项之和.举一反三：【变式1】求和【答案】【变式2】已知数列中，求前项和【答案】，【变式3】求和.【答案】(1+2+3+n)+ =【变式4】求和.【答案】当x=1时，Sn=4n；当x1时， = = 2已知数列的前项和，求，的值。思路点拨：该数列的特征：，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：（为奇数），可以将相邻两项组合在一起。解析：方法一：由 方法二：由 当为奇数，时， ， 当为偶数，时， ， ， 总结升华：1对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结果.