《高等数学A(二)》强化训练题三解答

1、高等数学A (二强化训练题三解答一、选择题:1. A; 2. C; 3. C; 4. D; 5. B;二、填空题:6. 7. 0; 8.2221cos d 2cos ; x t t x x +4, 2 38; 9. 10. 212e (cos3sin 3 x y c x c =+; x 22a .三、计算下列各题: 11. 00ln(1 dlim . sin x x t t t x x +解: 0000011ln(1 dln(1 1(1 lim lim lim lim 1. sin 1cos sin (1x x x x x t t t x x x x x x x x x +=+= 12. 计算

2、广义积分1. x + 解: 11122x += 222213(arctan. 41616+= 13.计算积分11. x x 解: 设sin , d cos d , x t x t t = 则112210 022sin d x x x x t t = 24201312(sinsin d 2224228t t t . =- 1 -14. 求微分方程d (d y y x y x =的通解. 解: d d d , , d d d x y x y y =1, y y x x x y x y y+= 通解为(111e 1e d d 2y y y y . y c x y c y y c y y=+=+=+

3、15. 讨论无穷级数15(1! (2! n n n n =+的敛散性. 解: 因为115(2! (2! 5(2 lim lim lim 01, (22! 5(1! (22(21 n n n n n n nu n n n u n n n n +=+=< 所以该级数收敛.16. 求幂级数21121n n x n +=+的收敛域及和函数. 解: 设211( 21n n x s x n +=+ 则2221( , (1,1. 1n n x s x x x x = 所以2122200011( ( (0(d d 1d 2111n x x x n x x s x s x s s x x x x n x

4、+=+x 11ln , 21x x x+= 收敛域为(1,1. 17. 将函数21( 23f x x x =展开为2x 的幂级数, 并指出其展开式的收敛域. 解: 1111( , (3(1 431f x x x x x =+其中011(2 , (1,3 31(2 n n x x x x =.011112(1 , (1, 5. 133313n n n x x x =+ 所以101(1 ( 1(2 . (1,3. 43n n n n f x x x +=+- 2 -18. 求微分方程x y y y x=+满足(12y =的特解. 解: 设, , y u y u xu x=+ 代入方程 2221d

5、, d , 2(ln, 2(lnx y u xu u u u u x c x c ux x +=+=+=+. 因为 所以(12, y =2, c =则所求的特解为222(ln2. y x x =+19. 设曲线ln . y x =(1 过原点作该曲线的切线;(2 求由曲线、切线及x 轴所围的平面图形D 的面积;(3 求平面图形D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积. 解: (1 1, y x= 设切点为0(, ln 0x x , 则切线方程为0001ln (. y x x x x = 切线过原点 00(0,0,ln 1, e, x x = 故切线方程为: . e x y =(2 11200e e (

6、ee d e 1. 22y y A y y y = (3 2e e e e 221011e d (ln d (ln 2ln d e 3x x V x x x x x x x = e 21. 3=20. 求微分方程2323ex y y y +=的通解. 解: 特征方程 特征根232(2(1 0r r r r +=+=, 122, 1, r r = 则的通解为32y y y +=0212ee ; x x C C =+ 设2*e , x y Ax = 代入方程解得3, A =则2323ex y y y +=的特解为2*3e ; x y x =- 3 -所以原方程的通解为2212*e e 3e . x

7、 x x y y C C x =+=+21. 设12201( (1 (d , 1f x x f x x x=+10(d . 求f x x 解: 设10(d , f x x A = 则221( (1, 1f x A x=+x 两边在0上作定积分, 则 ,1111220001(d d (1d , 1A f x x x A x x x =+ 13100arctan , 3x A x A x =+ 11, 43A A =+ 3, 4A = 所以103(d . 4f x x =四、证明题:22. 设( f x 在0上连续, 且递减. ,1证明: 当01<<时,100(d (d . f x x f x x 证明: 因为110000(d (d (d (d (d f x x f x x f x x f x x f x x =+ 10(1 (d (d f x x f x x = 121(1