概率统计教学资料-5-9节第2章随机变量及其分布ppt课件

1、2022-1-3112022-1-3112022-1-311 在实践问题中，能够遇到多个随机变量的在实践问题中，能够遇到多个随机变量的情形，如：情形，如：1) 射击问题中射击问题中,对于弹着点往往需求横坐标和纵坐对于弹着点往往需求横坐标和纵坐标描画标描画;2) 研讨学龄前儿童的发育情况，察看身高研讨学龄前儿童的发育情况，察看身高,体重等体重等;3) 详细评价产品的质量详细评价产品的质量,能够有多个评价目的如尺能够有多个评价目的如尺寸寸,外形外形,外包装等外包装等.二维随机变量二维随机变量2022-1-3122022-1-3122022-1-3121定义：定义：设设 E 是一个随机实验，它的样本

2、空间是是一个随机实验，它的样本空间是S=e，设设 X=X(e) 和和 Y=Y(e) 是定义在是定义在 S 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机，叫做二维随机向量，或二维随机变量。向量，或二维随机变量。SeX(e)Y(e)二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数2022-1-3132022-1-3132022-1-313注注 意意 事事 项项我们应把二维随机变量) 1 ( SeeYeXYX ，之间是有联系的；与看作一个整体，因为YX上的随机点可看作平面，量在几何上，二维随机变YX)2(2022-1-3142022-1-3142

3、022-1-314 定义定义 假设假设X, YX, Y均为离散随机变量，那么均为离散随机变量，那么 (X,Y ) (X,Y ) 为二维离散随机变量为二维离散随机变量, ,且且二维离散随机变量)1,2,(ji,y,YxXPpjiji则则称称)的所有可能取值为)的所有可能取值为( (X,Y), 2 , 1,(),( jiyxji1. 二维离散随机变量的结合分布律二维离散随机变量的结合分布律为为(X，Y)的分布律或结合分布律的分布律或结合分布律.2022-1-3152022-1-3152022-1-315YXjyyy21ixxx2111p12pjp121p22pjp21 ip2ipijp其中其中满满

4、足足：ijp);, 2 , 1,(, 0)1( jipij. 1)2(11 ijijp2022-1-3162022-1-3162022-1-316 例例1 1 一枚硬币一面刻有数字一枚硬币一面刻有数字1 1，另一面刻有数字，另一面刻有数字2.2.将硬币抛两次，以将硬币抛两次，以X X表示第一次、第二次出现的表示第一次、第二次出现的数字之和数字之和. .以以Y Y表示第一次出现的数字减去第二次出表示第一次出现的数字减去第二次出现的数字，求现的数字，求X,YX,Y的分布律，的分布律，P(X+Y2).P(X+Y2).P()1,4jXi,Y解：解： 一切样本点一切样本点(1,1), (1,2), (2

5、,1), (2,2)X Y-101201/4031/401/4401/40对应的对应的X取值为：取值为：2， 3，3，4 Y取值为：取值为：0，-1，1，0()(2,0),(3,-1),(3,1),(4,0)ji,P()233212PP2X + Y2022-1-317二维延续随机变量二维延续随机变量若存在非负若存在非负有平面上的任意区域使得对于函数GxOyyxf),(GdxdyyxfGYXP),(),(，为为二二维维连连续续型型随随机机变变量量则则称称),(YX.),(称联合概率密度)称联合概率密度)称为联合密度函数(简称为联合密度函数(简yxf1. 二维延续随机变量二维延续随机变量 定义定义

6、 设设X, YX, Y均为延续随机变量，均为延续随机变量，2022-1-318 结合概率密度的性质：结合概率密度的性质：;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf)连续，则有)连续，则有在点(在点(若若另外，另外，yx,yx,f)( GdxdyyxfGYXP.),(),(这个公式非常重要！这个公式非常重要！).,(),(2yxfyxyxF Gxy( , )f x y随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 2022-1-319二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布()iP XxijjpipX的边缘分布的边缘分布Y的边缘分布的边缘分布()jP Yyi

7、jjipp), 2 , 1(j), 2 , 1(i2022-1-3110设二维随机变量设二维随机变量X, Y的结合概率分布如的结合概率分布如下下例例1 1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：求随机变量求随机变量X与与Y的边缘概率函数。的边缘概率函数。X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/5012022-1-3111二维延续随机变量的边缘分布二维延续随机变量的边缘分布 ),(yxfYX

8、的联合密度函数为的联合密度函数为，二维连续型随机变量二维连续型随机变量 dyyxfxfX，、Y Y的边缘密度函数：的边缘密度函数：那么随机变那么随机变量量X dxyxfyfY，2022-1-3112 dxyxfyfY，得得同理，由同理，由 yYPyFY ydvdxvxf，=P(-X+ ,Yy)2022-1-3113n 特别，对于离散型和延续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和延续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 (,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( , )( )( )XYf x yfxfyijijppp即2022-1-311

9、4 在实践问题或运用中，当在实践问题或运用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互不影响的取值互不影响时，我们就以为时，我们就以为X X与与Y Y是相互独立的，进而把上述定义式当是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用公式运用. . 在在X与与Y是相互独立的前提下，是相互独立的前提下，( , )( )( )XYf x yfxfy2022-1-3115例例1 1的联合概率分布为，设二维随机变量YXX Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9+1/18+ 2/3+ +ijijppp相互独立与使得随机变量，试确定常数YX解：由结合概率分布的性质知0, 0,

10、且2/3+ +=1,即即 +=1/3,由X,Y相互独立,有2112ppp)91(319192912022-1-3116 例例3 某种保险丝的寿命某种保险丝的寿命(以以100小时计小时计)X服从参数为服从参数为3的指的指数分布。数分布。1有两根此种保险丝，其寿命分别为有两根此种保险丝，其寿命分别为X1, X2设设X1, X2相相互独立，求互独立，求X1, X2的结合概率密度；的结合概率密度；2在在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入任务，于是两根保保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入任务，于是两根保险丝总的寿命

11、为险丝总的寿命为X1+X2，求概率，求概率P(X1+X21).12()/31129,0,0 xxexx., 0其他12(1)P XX1212( ,)Df x x dx dx121212( ,)()()XXf x xfxfx解解: X1, X2相互独立相互独立, 故故X1, X2的结合概率密度的结合概率密度:11211()/3112900 xxxdxedxx2oD121xxx111211/3/311123300 xxxedxedx1211/3/3111030()|xxxedxe11/31/31/3141330()1xeedxe 2022-1-3117随机变量函数的分布随机变量函数的分布X-212

12、3pk0.30.20.10.42 . 0) 1()0(XPYP4 . 01 . 03 . 0)2()2()3(XPXPYP一、一维随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布求Y=X2-1的分布律例1 设随机变量X的分布律如下，解：Y的一切能够取值为0,3,84 . 0)3()8(XPYP2022-1-3118例例2. 一提炼纯糖的消费过程，一天可消费纯糖一提炼纯糖的消费过程，一天可消费纯糖1吨，但由吨，但由于机器损坏和减速，一天实践产量于机器损坏和减速，一天实践产量X是一个随机变量是一个随机变量,设设X的概率密度为的概率密度为其他, 010,2)(xxxfX)(),(yFxFYX)()(21

13、yYPyFyY时，当解：分别记解：分别记X，Y的分布函数为的分布函数为一天的利润一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求也是随机变量，求Y的概率密度。的概率密度。)13 (yXP)31(yXP)31(yFX的概率密度为求导数，得关于将Y)(yyFY)31)(31()()(yyfyFyfXYY其他，, 02131)31(2yy其他，,0219)1(2yy2 , 1Y 1 , 0时，当X0)()(1yYPyFyY时，当1)(2yFyY时，当解解: (1)由于由于X在在(0, 1)上取值，所以上取值，所以Y=eX 在在(1，e)上取值。上取值。2022-1-3119例例3. 设随机变量设随机变量X

14、在区间在区间(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，(1)求随机变量求随机变量Y=eX的概率密度的概率密度; 0)(PyF1yYyY）（时，当上式对上式对y求导数，得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为)(ln)ln()()(PyFey1YyFyXPyePyYXX）（时，当1)(PyFeyYyY）（时，当)()(yFyfYY)(ln(lnyyFXeyy或, 1, 0ey 1)(ln1yfyX,1y例例3. 设随机变量设随机变量X在区间在区间(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布， (2)求求Y=-2lnX的概率密度。的概率密度。 解解: (1)由于由于X在在(0, 1)上取值，所以上取值，

15、所以Y=-2lnX 在在(0，+)上取值。上取值。2022-1-3120; 0)(PyF0yYyY）（时，当上式对上式对y求导数，得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为)(1)(1)()ln2()(PyF0y222YyXyyeFeXPeXPyXPyY）（时，当)()(yFyfYY)(22yyXeeF0, 0y0y)(2122yXyefe,212ye2022-1-3121习题二(P70)：13,14,17(1),22,23(写出结合概率密度)，24，27 作业作业2022-1-3122思索题 . 1, 0, 1, 1),(yxyxyxF令令.),(量的分布函数量的分布函数是否为某个二维随机向是否

16、为某个二维随机向请判断请判断yxF),5(),4()1(),(,但但不不满满足足性性质质满满足足性性质质虽虽然然不不是是 yxF)1, 1()1 , 1()1, 1()1 , 1( FFFF因因为为. 010111 2022-1-3123备用题备用题1.次，令：次，令：将一枚均匀的硬币掷将一枚均匀的硬币掷 3的的联联合合分分布布律律试试求求),(YX；数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现的的次次3 X；，的的可可能能取取值值为为3210X，的可能取值为的可能取值为31Y与与反反面面出出现现次次数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现次次数数3 Y之之差差的的绝绝对对值值 2022-1-3124 3

17、0 YXP，；81 11 YXP，；83 ；0 31 YXP， 12 YXP，；83 ；0 32 YXP，；0 13 YXP，81 33 YXP，；0 10 YXP，；数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现的的次次3 X与与反反面面出出现现次次数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现次次数数3 Y之之差差的的绝绝对对值值 的联合分布律为的联合分布律为由此得随机变量由此得随机变量),(YXXY0 1 2 3130838308181002022-1-31252.的指数分布，的指数分布，服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量1 Y如下：如下：定义随机变量定义随机变量kX, 2 , 1.,1,0 kkYk

18、YXk.21的的联联合合分分布布列列和和求求XX解解种种情情况况：的的联联合合分分布布列列共共有有如如下下 4),(21XX)1()2, 1()0, 0(21 YPYYPXXP,63212. 0e11- 2022-1-3126, 0)2, 1()1, 0(21 YYPXXP)21()2, 1()0, 1(21 YPYYPXXP,23254. 0ee2-1- )2()2, 1()1, 1(21 YPYYPXXP.13534. 0e)2(12- YP2022-1-3127的联合分布列为的联合分布列为所以所以),(21XX2X1X1063212. 000000. 023254. 013534. 01

19、02022-1-3128设随机事件设随机事件A,B满足满足.21)()(,41)( BAPABPAP .0,1不发生不发生若若，发生发生若若，令令AAX .0,1不发生不发生若若，发生发生若若，BBY求求(X,Y)的分布列的分布列.解解,21)()()(,41)( APABPABPAP，又，又所以所以81)( ABP,21)()()( BPABPBAP2022-1-3129从从而而所所以以.41)( BP)(1)()0, 0(BAPBAPYXP .858141411)()()(1 ABPBPAP.818141)()()()1, 0( ABPBPBAPYXP.818141)()()()0, 1(

20、 ABPAPBAPYXP.81)()1, 1( ABPYXP所以所以(X,Y)的结合分布列为的结合分布列为2022-1-3130YX108581818110所以所以(X,Y)的结合分布列为的结合分布列为2022-1-3131在长为在长为a的线段的中点的两边随机地各取的线段的中点的两边随机地各取相相互互与与且且则则YXaaUYaUX), 2/(),2/, 0(独立，它们的结合密度函数为独立，它们的结合密度函数为 .,0,2,20,4),(2其其他他ayaaxayxpY为线段中点右边所取点到端点为线段中点右边所取点到端点0的间隔，的间隔，一点，求两点间的间隔小于一点，求两点间的间隔小于a/3的概率的概率.记记X为线段中点左边所取点到端点为线段中点左边所取点到端点0的间隔，的间隔，解解Oxa 2aXY2022-1-3132的的交交集集为为的的非非零零区区域域与与而而3/),(ayxyxp 图图2.2的阴影部分，因此，所求概率为的阴影部分，因此，所求概率为)3(aXYP yaxaaxaad4d26322 .92 6axyO图图2