极限计算方法总结(简洁版)

1、极限计算方法总结(简洁版)一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)。说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如:lim -b n an0 (a,b为常数且 a 0) ； lim(3x 1)5 ； lim qnx 2n0，当|q| 1时 不存在, 当|q|1时等等(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定 义证明。2 极限运算法则(1)定理1已知lim f (x), limg(x)都存在，极限值分别为A, B,则下面极限都存在，且有l

2、imf(x) g(x) A B(2) lim f (x) g(x) A B1imfgA,(此时需B 。成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3 两个重要极限(1)sin x limx 01 lim (1x)x e ；lim (1 丄)xex 0?xx说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介：靳一东，男，(1964),副教授。1例如：lim 泌1, lim(1 2x) 2x e, lim (1x 0 3xx o/x4.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是定理3当x 0时，下列函数都

3、是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有：x sin x tanx arcs in x arctanx ln(1 x)ex 1。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x) 0 ),仍有上面的等价3x2关系成立，例如：当x 0时，e 13x ； ln(1 x2) X。定理4如果函数f (x), g(x), f1(x), g1(x)都是x x时的无穷小，且f(x)fx), g(x)f1 (x)f(x)f1 (x)g1(x)，则当lim - 存在时，lim也存在且等于f(x) lim -,即x xo g-(x)x x g(x)x xo g-(x).f(x) f-(x)lim = lim

4、 -。x xo g(x) x 仓 g-(x)5 洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f(x)和g(x)满足：(1) f (x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；(2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；r f(X)(3) lim存在(或是无穷大)；g (x).f (x). f (x). f (x) f (x)则极限lim也一定存在，且等于lim，即lim=limg(x)g (x)g(x) g (x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极

5、限是否为“0 ”型或“一”型；条件0(2) 般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6 连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 X。是函数f (x)的定义去间内的一点，则有 lim f (x) f (x0)。x X07 极限存在准则定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。定理8 (准则2)已知Xn ,yn ,Zn为三个数列，且满足:(1)Zn , (n 1,2,3,)(2)lim yn a, lim z“ann则极限lim xn 一定存在，且极限值也是an，即 lim xnn1.求极限方法举例用初等

6、方法变形后，再利用极限运算法则求极限3x 12limx 1 x 1解：原式=lim 匕3x1)22lim。x 1 (x 1)( J3x 12) x 1 (x 1)(J3x 12)43x 3注：本题也可以用洛比达法则。例 2 limn(、n 2. n 1)n解：原式=nimn(n 2) (n 1)分子分母同除以讪例3 nim3n上下同除以3n解：原式limn1)n(I02. 利用函数的连续性(定理12 ：ex求极限例 4 lim xx 2解：因为X02是函数f(X)12 xx e的一个连续点,1所以原式= 22e24-. e3.利用两个重要极限求极限1 cosx lim 2 x 0 3x2 x2

7、sin -解：原式=lim严x 0 3x2lXm02 x2 sin 2x 2 12(3)注：本题也可以用洛比达法则。2例 6 lim (1 3sin x)xx 0解：原式=lim (1 3sinx) 3sinxx 01 6sin xxlim(101 6sin x3sin x) 3sinx x例 7nim(T7)解：原式=lim (1nn 1 3n3 )市 nlim(1nn 1 3n3 n 13)3e o4.利用定理2求极限2 1例 8 lim x sinx 0x解：原式=0 （定理2的结果）。5.利用等价无穷小代换（定理 4）求极限lim xln（1 3x）例 9 limx 0 arctan（

8、x2）解:2 2x0时，ln(1 3x)3x, arctan(x )x ,原式=limx 0 x2x sin x e e例 10 limx 0 xsin x解：原式=0。sinx # x sin x .e (e 1)x sin xsin x . e (x sin x), lim1 ox 0 x sinx注：下面的解法是错误的:xsin x.(e 1) (e 原式=lim01)x sin xlim x Sinx 1。x 0 x sin x正如下面例题解法错误一样:tanx sinx3xxm0tan (x2 sin )例 11 limx 0 sinx解： 当x 0时，x2sin丄是无穷小，tan(

9、x2sin1)与x2sin等价，xxx/sin1所以,原式=limlim xsin10x 0 x（最后一步用到定理 2）6.利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。洛比达法则还可以连续使用。同时,1例 12 lim -x 0cosx3x2(例 4)1O （最后一步用到了重要极限）6cos2x sin -解：原式=呱2 21sin xx解：原式=lim=lim）s -。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）x 0 3x2x 0 6x 6例15 |xm0sin x xcosxx2 sin x原式解：sin x xcosx lim 2 x

10、 0x2xsin x3x2lim0cosx (cosx limx 0xsin x)3x2例 18 lim x 0 xln(1 x)解：错误解法:原式= lim- x正确解法:原式 limln)xx 0 xln(1丄1lim x 0 2xx)lim ln(1 x)x 01 o2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。2x(1 x)解：易见：该极限是“-”型，但用洛比达法则后得到：1 2 cosxlim，此极限0x 3 sinx例 19 limx不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:x 2si nx3x cosx2sin x原式=ximdM （分子、分母同时除以x1X)=-3（利用定理1和定理2）7.利用极限存在准则求极限例20已知x1.2,Xn 12xn , (n1,2,)，求 limnXn解：易证：数列Xn单调递增，且有界（0 Xn2）,由准则1极限limnxn存在,设 lim xnn对已知的递推公式xn 12 xn两边求极限,得:a，解得:（不合题意，舍去）。所以lim xnn例21limn-)n解:易见:n一 n21一n221.n2 nnn21因