机械能守恒问题也要分析过程

1、AB水平面为重力势li，m2到C时斜机械能守恒问题也要分析过程 邬鹏举（市第一中学，市0i4040某参考资料中出现一道机械能守恒的计算题，原题及详解如下： 一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为300角的光滑斜面上的物体mi连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体m2连接，设定滑轮到竖直杆距离为3m，又知物体 m2由静止从 AB连接为水平位置开始下滑im时，mi和m2受力恰平衡，如图所示 .（g=i0m/s 2） 求：（i） m2下滑过程中的最大速度；（2） m2沿竖直杆能够下滑的最大距离。原题解析：（i ） mi、m2与地组成的系统的机械能守恒，物 体m2由静止开始先做加速度不断减小的加速运动，当加

2、速度减小到零时，随后m2向下做加速度不断增大的减速运动，速度为零时，m2下滑到最大距离。选取能零势面，设 m2的最大速度为 Vm。对m2从B到C的过程中，设开始时斜面上绳长为 面上绳长为12，由机械能守恒定律：0 i 2 i 20（ i ）miglisin30miVim2Vm m2gh migl2 sin302 2设/ ACB=，tan = 3，=60 0，贝U Vi = Vm cos =0.5 Vm ，（ 2）AC AB (2 . 3)m ，( 3)再根据mi、m2此时受力平衡，可知绳子拉力:Tcos =m2g，T=migsin ，所以 m2=0.25 m i。(4)将(2 ) (3 )（4

3、）代入（1 ）式，整理得：Vm2(2.3 3)2.15m/s。（2）设m2沿竖直杆能够下滑的最大距离为H，设此时斜面上绳长为13，m1gli s in 30°m2gH mgl3s in30 0，又li l3 H2 33，代入上式解得则由机械能守恒定律：Hm 2.3im3评析：此题的确为一道典型的机械能守恒问题，但却是一道过程很复杂的题目，题目中提到m2下落i米时mi、m2都平衡，意味着在此时刻 mi和m2同时达到最大速度， 否则必然存在一个物体有加速度而 另一个物体加速度为零的情况。但是实际运动的情况是否如题中分析呢？我们可以做如下推导：因为运动过程中机械能守恒，所以m2减少的重力势

4、能等于 mi增加的重力势能和 mi与m2各自增加的动能。由此可列方程如下：Sin30 0，其中 Vi V2，h2 3h_，代入左式得:m2gh imivi2 im2v22 mig( h2 33)V2i2m2gh 2mig( h2 33)sin30 0.h2h23 m2按题目中所给条件 m i=4 m 2的结论 代入结果中，并以 h为横坐标、vi和V2 为纵坐标作函数图象如图 1 （注：本文所 有数据图中的单位都统一如下：时间（妙）、高度位移（米）、加速度（米每二 次方秒）。从图上可以看出 mi和m2并不是同h32m2gh 2mg(3 J3)si n30h2U 32 2时达到最大速度，意味着题干

5、中mi和m2同时平衡的假设是不成立的。为了更进一步了解系统运动过程的详细情况，即运动物体的各个物理量（位移、速度、加速度）随时间的变化情况，我们用微分方程来列 一下本题中的运动情景。本题中两个物体都是受完整约束的有势系，因此可以用完整有势系的拉格朗日方 程来表示，我们以 m2运动位移h作为广义坐标，AB平面为重力势能零势面，拉格朗日函数可表示如下:g2g22、.仁.厂,.厶LTV-m2hImih厂m2ghEpmmig(h3, 3)s in30°，Ep m1 为 mi 的初态重力势能。写22 h 3出拉格朗日方程:dt hL °，把L的表达式代入得:hgg gg h2m, h

6、 g h h2 3g2m1 h3h2 2(h2 3)2gg0，同样把m i =4 m 2的结论代入左式，并使用Matlab数值求解微分方程， 可分别求得h随时间 的变化，h的一阶导数（m2速度V2）、二阶导数（m2 加速度a2）随时间的变化情况，此时m1的速度w w h ;对m 1和m2分析受力可知，m1的加 v1 v2Jh 3速度m2g m2a2 . h2 30，以时间为横a1 g sin30m1h轴，其余变量为纵轴作图，如图2、图3。由图像可以看出 m1的确比m2晚达到最大速度， 且它们的加速度变化情况也不相同。利用Matlab数值解微分方程特点，分别计算了m1、m2速度、m“m2加速度随

7、下降高度的变化情况，如图4。从图4也可以看出 m1、m2的确不能同时达到最 大速度。由以上几幅数据图可以看出，m1、m2、滑轮、且二者存在一定的相位差，它们不能同时达到最大速度。(圈2)沁下熬陽胃 度斜面组成的系统中的两个物体实际做周期性振动,I|6 4 2 0一一曲加谨度 一耐加連度m2下蓿高虔图们 8 & 4对第（2 ）问分析，m 2沿竖直杆能够下滑最大距离时速度为零，因此沿绳方向的分运动一定也为零， 此时m1和m2同时速度为零。从 m1和m2的速度位移图（图 4）中我们也能够看到这个结论，此时位移为2.31m，因此第（2）各问题的研究过程是符合实际运动过程的，因此使用机械能守恒定律就能够 得到正确的结果。通过以上分析，我们得出这样一个结论