高等数学上复习ppt课件

1、高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学上 复习 高等数学期末辅导高等数学期末辅导题目类型：选择，填空，计算， 证明，综合考试注意事项：签名，时间控制，先易后难，答题规范。考试形式：闭卷考试时间：2小时高等数学期末辅导高等数学期末辅导一、极限计算 主要方法：两个重要极限，无穷小替换， 罗必塔法则，其他方法有理化、定积分定义等），特别注意各种方法的结合。如无穷小+罗必塔，罗必塔+积分上限函数等。1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0高等数学期末辅导高等数学期末辅导注意与 01sin lim0 xxx区别 例1 5151551sinlim51sinlimxxxxnx例

2、例2. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1高等数学期末辅导高等数学期末辅导例3 nnnnnnnn 3331lim31lim33331limennn注意“凑的技巧，想法凑成公式需要的形式。 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例4 计算 16x5373limxxx解： 16x16x5321lim5373limxxxxx416532253x5321limexxxx453162253x5321limexxxx高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例5： 求下列极限：求下列极限：)sin1(sinlim)

3、 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界高等数学期末辅导高等数学期末辅导令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121()1(ln12xxxx12)(lim12sincos0 xxxxx12e高等数学期末辅导高等数学期末辅导常用等价无穷小: xsin;xxtan;

4、xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求求解解: 原式 高等数学期末辅导高等数学期末辅导231x221x例例2. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32高等数学期末辅导高等数学期末辅导例 计算 7253-xlim23xx解： 7253-xlim23xx7257257253-xlim2223xxxx

5、23x2183-xlim10 x6593-xlim523xx分子或分母有理化高等数学期末辅导高等数学期末辅导0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且罗必塔法则罗必塔法则高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 求求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx高等数学期末辅导高等

6、数学期末辅导型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例2. 求求例例3. 求求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例4. 求求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00高等数学期末辅导高等数学期末辅导分析分析:203cos1limxxx30 limxx例例5.xxxx1sin1cotli

7、m0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim高等数学期末辅导高等数学期末辅导)sin(2cosxex例例6. 求求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21说明 目录 上页 下页 返回 完毕 例例7. 确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.

8、21c高等数学期末辅导高等数学期末辅导 )(0处连续在点函数xxf(1) )(0处的极限值处的函数值等于在该点在点函数xxf xfxfxx0 0lim)( 0)(lim0 0 xfxfxx0lim0yx是处极限存在的充要条件在点函数0)(xxf(2) )(0等处的左右极限存在且相在点函数xxf AxfAxfAxfxx00 lim00 0且二、连续性分段函数情形）高等数学期末辅导高等数学期末辅导例1 设0031lnxAxxxxf在x=0处连续,则A=( )解：计算函数值f(0)A, 计极限值 3)(lim0 xfx所以A=3 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 设函数设函数)(xf,2)c

9、os1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e高等数学期末辅导高等数学期末辅导例2 -1 2-1 a1- 1)(xbxxxxxf函数则处连续在,x 1a=( 0 ), b=2 解：计算函数值 ，？ af ) 1(计极限值 ？，)(lim1xfx此时，要考察左右极限，0)(lim)01(1？xffx右极限左极限 bxffx2)(lim)01(1？由连续的定义，可得 a=( 0 ), b=2 高等数学期末辅导

10、高等数学期末辅导三、导数与微分计算、应用、证明导数定义分段点可导性讨论，计算）复合函数求导，隐函数求导，参数方程确定函数求导导数几何意义切线法线计算） 单调区间，凹凸区间，求最大最小值 证明高等数学期末辅导高等数学期末辅导解解: 因为因为例例1. 设设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f高等数学期末辅导高等数学期末辅导)(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx

11、)0()(lim0例例2.所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0)0( f高等数学期末辅导高等数学期末辅导例3 处的，在点求曲线) 1- 1 ( 6-4 22 yxyx切线方程。解： 6-422 yxyx两边对x求导得： 028yyyxyx-算出 xyxyy28，斜率 311 yxyk所以切线方程为 1)-3(1xy高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例4. 求求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化

12、为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx高等数学期末辅导高等数学期末辅导.0sin21522xdydyyx导数所确定的隐函数的二阶求由方程例解解求求导导得得方方程程两两边边对对 xdxdy 1注意注意 y = y (x)0cos21 dxdyy解得解得ydxdycos22 上式两边在对上式两边在对 x 求导，得求导，得dxdyydyddxyd )cos22(222)cos2(sin2ydxdyy 3)cos2(sin4yy 注意：注意：.cossinyxdyd xdydydydxdyd sinsinxdydy cos高

13、等数学期末辅导高等数学期末辅导例例6 6解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd tdxdtdtd1)tan( ttatsincos3sec22 tatsin3sec4 )(tantdxd dxdttdtd )tan(高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例7.7.设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.dd22xy解解: :方程组两边对方程组两边对 t t 求导求导, ,得得txddt 2

14、txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22 ttyddycostydd0) 1(2ttyddtxdd高等数学期末辅导高等数学期末辅导22ddxy)(ddddxyttxdd )()cos1)(1(ddyttt) 1(2t yttysin) 1()cos1 (23)cos1 () 1(2yttydd yttysin) 1(2)cos1 (2233)cos1 () 1(2yt高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例8.8.设设, )(arctansin1sinxxxfeey其中)(xf可微 ,.dy求解解:yd)d(sinsinxxee)d(sinsinxxee)d(arcta

15、n)(arctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee)d(11)(arctan1112xxxfxexexxd) sin(cossinxfxxd)(arctan1112xxee cos高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例9 9 求曲线求曲线 的拐点及凹凸区间。的拐点及凹凸区间。43341yxx解解: :(,)D 321212,yxx 236 ().3yx x 0,y 1220,.3xx令令得：得：x(,0)2( ,)32(0, )3023( )fx( )f x 凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点(0,1)2 11(

16、,)3 270022(,0,0,).33凹凸区间为凹凸区间为高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例10. 求抛物线求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx高等数学期末辅导高等数学期末辅导)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且为最小点 .

17、 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例11. 设非负函数设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得高等数学期末辅导高等数学期末辅导又10d)(2xxfxxCxad2321022C

18、aaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因而5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1高等数学期末辅导高等数学期末辅导四、不定积分与定积分 计算：直接积分法、第一换元法、第二换元法三角代换，倒代换，最小公倍代换）、分部积分法 积分上限函数求导复合函数情形） 应用：面积不同坐标系）、旋转体体积、弧长 对称性应用：奇函数、偶函数 无穷限广义积分高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(22222

19、1dd) 1(xxxxCxxxarctan313高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例2. 求求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln221高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例3 xdxx2arccos2110解：解： xdxx2arccos2110 )(arccos10arccos2xdx )arccos2(1021arccos2xdxcx arccos21010ln21caaxdaxx ln1例例4xdxxxlnln1解：解： xdxxxln

20、ln1xdxxxd)ln1()ln( )ln(ln1xxdxxcxx |ln|ln高等数学期末辅导高等数学期末辅导22)(1d1axxa例例5. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令那么xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例6. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似高等数学期末辅导高等数学期末辅导Caxaxaln21例例7. 求求.d22axx解

21、解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例8. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例9. 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),

22、(,tan22ttax那么22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例10. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa高等数学期末辅导高等数学期末辅导,时当

23、ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例11. 求求.1d632xxxeeex解解: 令令,6xet 那么,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例12. 求求.d222axxx解解: 令令

24、,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222高等数学期末辅导高等数学期末辅导思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1高等数学期末辅导高等数学期末辅导例13 xdxx arctan2arctan2xdxxdxxxarctan22arctan22dxxxxx2221212arctandxxxxx222111212arctandxxxx22111212arctancxxxxarctan21arctan22cxxxxarctan212

25、1arctan22高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例14 14 求积求积分分cos.xexdx 解解cosxexdx cosxxde coc ()sosxxdxeex cossinxxexexdx sincosxxeexxd sincos(n )sixxxxexxede cossincosxxxexexexdx cosxexdx (sincos ).2xexxC注意循环形式注意循环形式高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例15 15 求积分求积分.xedx 第二换元法第二换元法+分部积分法分部积分法解解tx 设设xxed 2tdet t 2tdtet 2tetd 2xt 2dxtdt )2(t

26、tet det 22ttteeC2(1)tteC2(1)xxeC高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例16：求：求 22223cos)sin( xdxxx解：解： 22223cos)sin( xdxxx 2223cos xdxx 2222cossin xdxx0对对称称性性 2022cossin2 xdxx 2022sin21 xdx 2024cos121 xdx2044sin41 xx 8 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例17 计算广义积分计算广义积分 1 211dxx解解 1 211dxx 1 211limaadxx 1 arctanlimaax )arctan1(arctanlimaa

27、 )2(4 43 高等数学期末辅导高等数学期末辅导Dxyxy所围成的平面图形为及抛物线设两条例 .1822的面积？求D1) (体积？轴一周所生成旋转体的绕求xD)2(解： 31) 1 (102dxxxA面积 103 )2(10410222dxxxdxxxVx体积22 xyxyxy 或10高等数学期末辅导高等数学期末辅导五、微分方程 一阶：变量可分，线性非齐次常数变易法） 二阶：常系数非齐次通解高等数学期末辅导高等数学期末辅导思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量分

28、离变量(2) 方程变形为方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(高等数学期末辅导高等数学期末辅导: 这里12)(xxP, 25) 1()( xxQ. 解解 由通解公式得 非齐次线性方程yP(x)yQ(

29、x)的通解为 即 ) 1(32) 1(232Cxxy. )()()(CdxexQeydxxPdxxP. ) 1(122512Cdxexeydxxdxx ) 1() 1() 1(2252Cdxxxx) 1(32) 1(232Cxx) 1() 1() 1(2252Cdxxxx) 1(32) 1(232Cxx, 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 此题此题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2高等数学期末辅导高等数学期末辅导 解解 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x (3ax3b4c)c