2020版高考数学(理科)复习作业答案-第五单元数列

1、全品一线咼考总复习数学（理科）课时作业（二十七）1.C 解析方法一：特例淘汰法令n=1,淘汰 D 选项,令n=2,淘汰 A,B 选项.方法二：数列变形为,-,，分子、分母都是等差数列，分子为 2（n-1）,分母为 2n-1.故选 C.2.C 解析当n2 时,an=Sn-Sn-i=2n-3,当n=1 时,ai=Si=-1,适合上式，所以an=2n-3,所以a2+ai8=34.故选 C.-为正奇数f、3. B 解析因为an+an+i=-,a2=2,所以an=所以S21=11乂-丿+10炫丄.故选为正偶数B.4.10 解析令一=0.08,得 2n2-25n+50=0,即（2n-5）（n-10）=0,

2、解得n =10 或（舍去）,即0.08 是该数列的第 10 项.5.3解析由已知得a3=-,a4=-,a5=-,a6=-,a7=2,a8J=3, .数列an具有周期性，且周期T=6,a0i8=a336冷+2=a2=3.6.C解析因为数列an是递增数列，所以an+i-an=2n+i-b0（n讯*）,所以b2n+i（neT）,所 以b（2n+1）min=3,即b2), -3i=2=bi,a2=28,b2=28-10 2=8,同理可得b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,b8=8,-b+6=bn,即数列bn的周期为 6,-b018=b336 6+2=b2=8.故选 D.11.an=2n-

3、1解析当n=i 时,4Si=(ai+l)2,解得ai=l；当n2 时，由 4Sn=(an+i)2=+2an+i.得 4Sn-i=+2an-i+1,两式相减得 4Sn-4Sn-i=(an+an-i)(an-an-i-2)=0,因为an0,所以an-an-i-2=0,即an-an-i=2.又ai=i,故数列an是首项为i,公差为 2 的等差数列，所以an=i+2(n-i)=2n-i.-(n2+6n+5)-n2-4n =(i0-n2).当nan；当n4 时,an+ian.因 此,aiva2a3a5a6,故a4最大,所以k=4.=-，所以an=aiux- =1 xx14.C 解析由已知条件可知，当n支

4、 时,an=ai+(a2-ai)+(a3-a2)+(an-an-i)=33+2+4+2(n-1)=n2-n+33,又当n=1 时,ai=33 满足上式，所以一=n+-1.令f(n)=一=n+-1,由对勾函数的性质知，当n取 1,2,3,4,5 时,f(n)的值减小,当n迨且nN*时,f(n)的值增大.又f(5),f(6)=,则f(5)f(6),故f(n)=的最小值为一.15.C 解析由题知I 是首项为 1,公差为 2 的等差数列，则=2n-1,所以an=xXXXai=(2n-3)X2n-5)Xi .所以=4027X4025=(4026+1)X4026-1)=40262-1=4X20132-1.

5、专题集训(三)1. B 解析Tai=1,an=2an-i+1(n2), a=2ai+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.2. C 解析由已知得a4=a2+a2=-12,a8=a4+a4=-24,ai0=a8+a2=-30.3.A 解析.31=1,.Si=1.iS+Sm=Sn+m,令m=1,可得Sn +1=Sn+1,Sn+1-Sn=1,即当n羽时,an+1=1, Aai0=1.4.18 解析由-=-，得an=ai=2XXX=4n-2,贝Ua5=18.5. 解析数列an中,an+i=-，两边取倒数得 -=3+?-=3,又+2an-2an-i=4an,整理得

6、i2.4解析设数列为an,则an+i-an=(n+i)(n+5)-)n+i-n(n+4)i3.解析由题意知n,.a=2n+nlnn,故选 C.7.D 解析Ta=-,an=i-（n淳），a=1-=5,a3=1-=-,a4=1=,数列an是周期数列，且周期为 3, 32018=a672 32=a2=5,故选 D.8.C 解析Tb=2,b2=5，且an(bn+1-bn)=an+1,.a1(b2-b1)=a2,即a2=3a1,又数列an为等比数列，数列an的公比q=3,b+1-bn= =3,/数列bn是首项为 2,公差为 3 的等差数列，数列bn的前n项和Sn=2n+ 3=-.故选 C.10.解析由递

7、推关系可得anan-1+（n-1）an=2nan-1（n2）,则一=-+-,即一-1=-11.n2n解析Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以 2n,有-=1,又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,所以数列 一是以 1 为首项,1 为公差的等差数列，所 以一=n,所以Sn=n2n.12.解:（1）由 3Sn=（n+2）an得 3Sn-1=（n+1）an-1（n丝）, 两式相减得 3an=（n+2）an-（n+1）an-1,=（n丝）,=,，一=_，=_，累乘得一=-，又a1=2, .a=n(n+1).（2）由（1）知一=-,.T=

8、1 -_+_4 -_+ +一-=6.C 解析由题意得=ln(n+1)-lnn,运用累加法得=lnn-I n 1=lnn,即一=2+ln丄,51=-,.aAx1=-,a3-）9.D 解析Ta=1,an+1an=L）4X22=（2,a6=L）5x22=（3,a7=L）6x23=（-）3,a8=（-）7x23=（-）伽=（-）,以此类推,2017=1+1008 2,ao17=.故选 D.2,a5=匚)8X24=-11-（一 1J是首项为 1=-，公比为-的等比数列，故1=-n-1=-,则,据此可得，数列an的通项公式为an=则|Tn-1|=1-1=.由|Tn-1|V得V,解得n9,故满足条件的集合M

9、存在，且集合32=2x2=-,a4(n浆)，据此可得，数列M=n|n9,n 3 .13.A 解析由 2an-an-i=3 2n-1(n丝),得一=可得 2a2-ai=6,又 3ai=2a2,.2ai=6,解得ai=3.数列一-1 是以-为首项，-为公比的等比数列对任意n讯：Tnm,.m的最小值为-.14.-解析由Sn+Sn+i= n2+2n+p可得Sn-i+Sn=(n-1)2+2(n-1)+p(n丝),两式相减得an+an+i=2n+1(n2),a-i+an=2n-1(n濾),两式相减可得an+i-an-i=2(n濾)，数列a2,a4,a6,是以 2 为公差的等差数列 擞列a3,a5,a7,是

10、以 2 为公差的等差数列.将n=1 代入Sn+Sn+i=n2+2n+p结合ai=1 可得a2=1+p，将n=2 代入an+an+i=2n+1(n2)可得a3=4-p, .a=a2+2=3+p.要使对任意n 3*,anan+i恒成立，只需要aia2a3a4即可,即 11+p4-p3+p,解得-2=10.5.4036解析令m=1,可得ai+an=an+i,则an+i-an=2,-an为等差数列，首项和公差均为2, Aan=2+2(n-1)=2n, -018=4036.6.B 解析由已知，得a3+ai3=2a8=20, a=10,又a2=-2,/公差d=2, a=a2+13d=-2+13 2=24.

11、7.D解析设等差数列an的公差为d,由ai0=15,S2=S7,可得解得a=ai+7d=-12+21=9.故选 D.8.D 解析等差数列an中,a4,a7是函数f(x)=x2-4x+3 的两个零点,二 a+a7=4,an的前 10贝1=_ (_)n-1=(_)2n-1, Ajh=2n(21-2n+1)=21-n+2n,ASi=1+-+(2+22+23+=2 2n-21一-1丿，由 2an-an-i=3 2n-1(n丝),-+v_项禾口Sio=- =-=5 4=20.故选 D.9.C 解析依题意知a1008+a1009=20170,a1008a1009=-20 1 80,a10090,S2017

12、=-=2017a10090 成立的正整数n的最大值是 2016,故选 C.10.D 解析Sn=n2,Sn-1=(n-1)2(n丝),两式作差得到an=2n-1(n支),当n=1 时,a1=S1=1,也符合上式,故an=2n-1,贝 Ua2=3,am=2m-1,1=-=一,b2=-=一,bm=-.由b1,b2,bm成等差数列,得b1+bm=2b2,即一=一+一,整理得m=3+, /,m N*, 当m=4 时,t=5;当m=5 时,t=3;当m=7 时,t=2.的最大值为-.故选 D.11.60解析TS10,S20-S10,S30-S20构成等差数列，且S10=10,S20=30,S20-S10=

13、20, . .S0-30=10+220-10)=30, 830=60.12.9 解析设良马与驽马第n天跑的路程分别为an,bn,由题意有an=103+(n-1)3=13n+90,bn=97+(n-1)丿-=-n+97-,令cn=an+bn=187 12-n,当满足题意时，数列Cn的前n项和Sn=1125 2=2250,由等差数列前n项和公式可得- n=250,得n=9,即需 9 日相逢.13.an=3n-解析由Sn=pn2-2n可知，当n=1 时,a1=p-2,当n汽时,an=Sn-Sn-1=2pn-p-2,a1=p-2 符合上式，所以对任意的n讯*均有an=2pn-p-2,则an+1-an=

14、2p,所以数列an是公差为 2p的等差数列，所以a2=3p-2.b1=a1=p-2,b2=-=,则b2-b1=-(p-2)=2,得p=-,所以a1=-,所以数列an的通项公式为an=-+(n-1) X2=3n-.14.解 :根据题意,有解得- 故Sn=-(an+2)2,当n丝时，有Sn-1=(an-1+2)2,两式相减得(an+an-1)(an-an-1)=4(an+an-1)(n2), 又an0 恒成立，所以an-an-1=4(n2),所以数列an是以 2 为首项,4 为公差的等差数列,故an=4n-2.(2)证明：根据题意，有因为ai+a3=2a2,所以可设a3-a2=a2-ai=d,2

15、-得a2=(入 a 入 a+2(J)入d3 -得a3=(入2+入3+2川入d-得d=2用d2,当d=0 时a2=0,不满足题意，故舍去，则有長=代入式得 4入比易知治0,结合式得ai=-.所以Sn=用+2入口n+p2=+Tn+-,当n淳时有Sn-1= _+-an-1,两式相减得an=(-_)+-(an-an-i),整理得(an+an-i)(an-an-i-d)=O(n丝).又an0 恒成立，所以an-an-i=d(n2),所以an是-为首项,d为公差的等差数列15.解：(1)因为 4Sn=(an+1)2,所以当n=1 时,4ai=(ai+1)2,解得ai=1,当n=2 时,4(1+a2)=(a

16、2+1)2,解得a2=-1 或a2=3, 因为an是各项均为正数的等差数列，所以a2=3,所以an的公差d=a2-a1=2,所以an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-1.因为 4Sn=(an+1)2,所以Sn= - = n2,所以Sr-an=n2-(2n-1)=n2-7n+=n-2,又n 3*,所以当n=3 或n=4 时，Sn-an取得最小值16.5解析数列an为等差数列，且前n项和为Sn,.数列也为等差数列，L-+- =(m述),即一+=0,解得m=5.17.121 解析设数列an的公差为d,由题意得 2 =_+ ,所以2=_+,化简可得d=2a1=2,所以an=1+(n-1) 2

17、=2n-1,Sn=n+X2=n2,所以=一)2=_ -=-( 1+)2.又易知数列( 1+)J 为递减数列，所以2n3.5.解析由题知,该女子每天织布的尺数构成公比为2 的等比数列，设第一天织布的尺数为a1,则由题知 -=5,得a1=,故答案为一.6. D 解析S1oo=a1+a2+a1oo=90,设S=a1+a3+a99,贝 U 2S=a2+a4+a1oo,vS-2S=90,/2S=60.故选 D.7.C 解析正项等比数列an满足 Io _(a1a2a3a4a5)=0,二1a2a3a4a5=1,即=1,.a=1,又a6=,31=4,公比q=-,.$=-=-= 7.故选C.8.D 解析设等比数

18、列an的公比为q,所以q=-=-,所以a1+a3=a1（1+q2）=a11+-9.A解析设an的公比为q,由 3a2+2a1=5,得=2a3+3a4-20q=q2(3a2+2a1)-20q=5q2-20q=5(q-2)2-20 二 20,因为q0,所以当q=2 时,上式取 得最小值-20,故选 A.10.D 解析设等比数列an的公比为q,由a1=1,a4=8，可得q3=-=8,即q=2,所以an-1=-an(n淳),所以 A 中等式不成立；易知数列；LI 是以 1 为首项，-为公比的等比数列，所以bn+1=an+1+-=2an+-吃an+2 =2bn,所以 B 中等式不成立；又Tn=(a1+a

19、2+ +an)+) - -T+ + =+-=2n-1+2-=2n-+1,-+1=2n-2-+1,所以Tn斗-一+1,-所以 C 中等式不成立；由bn=an+，得bn+1-bn=2n+-2n-1-=2n-1-0,所以bn+1bn,所以 D=2n-1.故选 D.解得a1=2,所以an=2中不等式恒成立.故选 D.11.B 解析令S3=2,S6=1,则S6-S3=-1,由等比数列的性质可知，S3,S6-S3,S9-S6是等比数列则S9-S6=_,所以S9=1+-=_,所以一=-.12-解析因为an是各项均为正数的等比数列，且a2a3a4=a2+a3+a4,所以-a3=a2+a4,则-a3=a2+a4

20、支=2a3,当且仅当a2=a4时等号成立，即(-3)a3为,即為所以a3 ,即a3的最小值为13.8 解析在等比数列an中，根据等比数列的性质，可得S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列，所以(S4-S2)2=S2(S6-S4)，因为an0,所以S20,所以S6-S4=一.又因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4=- =-=S2+42+4=8,当且仅当S2=时,等号成立,所以S6-S4的最小值为 &14.解:(1)设等差数列an的公差为d,则依题意有解得d=1 或d=0(舍去),a=1+(n-1)=n.(2) 由 (1)知an=n, b=2n, -=2,bn是首项为 2

21、,公比为 2 的等比数列， T=2n+1-2.15.解:(1)设an的前n项和为Sn,当q=1 时,Sn=a1+a1+a1= na1；当q詢时,Sn=a1+ag+a1q2+a1qn-1，qSn=a1q+a1q2+agn,-得(1-q)Sn=a1-a1qn, S=-. S=-证明：假设an+1是等比数列，则对任意的 kN*,都有(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),即+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,即q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.Ta和，2qk=qk-1+qk+i,/(p0, :.q2q+1=0,Aq=,这与已知矛盾.故

22、数列an+1不是等比数列.16.C 解析.an是各项均为正数的等比数列，a2a4=a3,=a3,.a=1.又公比q1,ia2l(n3),TTn-i(n/4),又Tiv1,T2=aia21,T3=a1a2a3=a1a2=T21,T4=a1a2a3a4=a11,满足Tn1 的n的最小值为 6,故选 C.1.A 解析由题知，该数列的前n项和Sn=1+3+5+(2n-1)=- +-=n2+1 -一.2.B 解析S100=(4 X1-3)-(4 3-3)(4 X100-3)=4 蛋 1-2)+(3-4)+(99-100)=4 -50)=-200.3.B 解析由已知an+1+(-1)nan=2n-1,得a

23、n+2+(-1)n+1an+1=2n+1,得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),分别取n=1,5,9 及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+an+a12=78.故选 B.4.100解析设an的前 100 项和为S100.因为an+1+(-1)n+1an=2，令n=2m-1,得a2m+a2m-1=2,所以S100=(a1+a2)+(a3+a4) (a99+a100)=2 6+4,所 以这个数列的前 16 项之和S16=2S6+S4=2+7=7.7.C 解析由递推公式可得，当n为奇数时,an+2-an=4,所以数列a2n-1是首项为 1,公差为 4的等差

24、数列，当n为偶数时,an+2-an=0,所以数列a2n是首项为 2,公差为 0 的等差数 列.S2017=(a1+a3+a2017)+(a2+a4+a2016)=1009 +-X1009 X1008 4+1008 X2=2017010-1.故选 C.17.D 解析依题意得，当n2 时,an=22n-1,又a1=21=22介1,所以an=22n-1,所以,所以数-是以-为首项，-为公比的等比数列，等比数列项和为-,因此实数t的取值范围是课时作业(三十)的前n+1n=2n+1,bn=2n-1=(2n+1)(_)n-1厂Tn=3xh+5X-n-1+(2n+1)-n,两式相减，得-Tn=3+2 -I-

25、+8.A 解析Ta+i-an=n +1,an-an-1= n-1+1,a2-ai=1+1,累加可得an+i-ai=9.B 解析由题意，得a1+a2+a3+a1oo=12-22-22+32+32-42-42+52+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+-(99+100)+(101+100)=-(1+2+99+100)+(2+3+100+101)=-50X01+50 X103=100.故选 B.- =-，即前n项和Sn=n(2n+1)=2n2+n.当n=1 时,a1=S1=3,当n丝时,an=Sn-Sn-1=4n-1,a1=3 满足该式，所以an=4n-1,b

26、n=-=n.因为- =- =-11.5解析由题,Sn=1X21+2X22+n2n,2Sn=1X22+2X23+n2n+1,两式相减得-Sn=2+22+2n-n2n+1=-n2n+1,故Sn=2+(n-1)2n+1.又an+1=2n+1,所以由Sn-nan+计50=2+(n-1)2n+1-n2n+1+50=52-2n+132+3 X33+n3n,3Tn=1 X32+2X33+3X34+n3n+1,两式相减，得-2Tn=3+32+33+3n-n3n+1=-n3n+1,15.解:(1)设an的公差为d.依题意a1a1o=a3a4,即a1(a1+9d)=(a1+2d)(a1+3d),即+9a1d= +

27、5a1d+6d2,因为d0,所以 2a1=3d.又a1+a2+a3=15,即a1+d=5,故a1=3,d=2.故数列an的通项公式为an=2n+1.16.C解析由已知,an+(-1)n=3+(-1)1 2n-1=2n,.a=2n-(-1)n.当n为偶数时,a1+a2+an=(2+22+2n)-(-1+1-+1)=2n+1-2,an+1=2n+1-(-1)n+1=2n+1+1,由a什a2+anXa+1对任意nN*恒成立,得 疋_-=1 -对任意nN*恒成立，.茶 1 - 亠;当n为奇数 时，a1+a2+an=(2+22+2n)-(-1+1-+1-1)=2n+1-1,an+1=2n+1-(-1)n

28、+1=2n+1-1,由a*2+an入 a+1对任意n讯*恒成立，得區-=1 对任意n讯*恒成立.综上可知存.17.解:(1)当n=1 时，由题意得a2=4.当nA!时,4Sn=anan+1,4Sn-1=an-1an,两式相减，得 4an=an(an+1-an-1).Va0,.a+1-an-1=4, /an的奇数项和偶数项分别是以4 为公差的等差数列.(2n+1)(_)n, .T=6+4(1-2(2n+1)n=100,所以b2=2,所以-=-.5.- - 解析由题意得an=-=一且ak=(an)min,. =.2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,当n為时,(n-1)2-20,即 2n2(n+

29、1)2,/当n濾 时,an+1an,同理当n3时,an+1an-1a4a3a22n-1,bn= n,因为从早 晨 6 时 30 分至上午11 时 30 分共有 10 个 30 分钟，所以上午 11 时 30 分公园内的人数S=2+-=212-57.9.D 解析由题意,an=iog2n.当n=1 时,a1=0,S1=0；当 21n4+S3=10;当 23qv24时，a8=a9=a15=3,共 8项,S15=38+S7=34;当 24勺25时,a16=a17=-=a31=4，共 16 项,S31=4 X16+S15=98;当 25勺26时，a32=a33=a63=5,共 32 项,S63=5X32

30、+S31=258;当 26n27时，a64=a65= =a127=6,共 64 项,S127=6X54+S63=642;当 27弓 128时,a128=a129= =a255=7,共 128项,S255=7 X128+S127=1538;当 28n2018.当Sn=2018 时，n=255 +-=315, 满足Sn2018 的正整数n的最小值为 316.故选 D.10.C解析在数列an中,a1=1,当n丝 时,其前n项和Sn满足=an(Sn1),当n丝时，=(Sn-Sn-1)(Sn-1),化为一-=1.数列一 是等差数列，且首项为 1,公差为1, =1+(n-1)=n,=-./-blogz=l

31、og2一，数列bn的前n项和Tn=log2-+log2-+log 厂+log2+log2=log_XXXX X)=log2-.由Tn%,即 log2-为,得(n +1)(n+2)丝7.令f(x)=x2+3x-126=(x+-2-128 -,可得f(x)在1,+马上单调递增.而f(9)=-180,若xZ，则当x0 时,f(x)为，.满足Tn6 的正整数n的最小值是 10.q=1（舍去）,所以a1=1,由an的前n项和Sn=,可得S4i11 -解析公比不为 1 的等比数列an满足a1a2a3=-,所以=-,解得a2=-.设公比为q,则a3=-q,a4=-iq2,因为a2,a4,a3成等差数列，所以 2a4=a2+a3,即 2 X -=-q,解得q=-或12,5 L（5,15） L（15,+为解析因为后三个数成等差数列且和为15,故可依次设后三个数为 5-d,5,5+d（d老