2020版高考文数大题增分课(三)数列中的高考热点问题

1、1高考大题增分课(三)数列中的高考热点问题命题解读数列在数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数 学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点 题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与 不等式的交汇，难度中等.等差、等比数列的基本I sail运算解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系， 并注重方程思想的应用，等差( (比)数列共涉及五个量 ai, an，Sn，d(q), n， “知三 求二*【例 1】(2016 天津高考) )已知an是等比数列，前 n 项和为 Sn(n N )，且(1) 求 an的通项公式

2、；(2) 若对任意的 n N*, bn是 log2an和 Iog2an+1的等差中项，求数列( 1)nb1 23的前 2n 项和.解(1)设数列an的公比为 q.1由已知，有二a1解得 q= 2 或 q= 1.61 26所以 a1= 63，得 a1= 1.1 21 1aia2a3,S6=63.1 2 =2a1qa1q21q又由 S6= a1= 63，知 qM 1，1 q所以 an= 2n4.亠 1(2)由题意，得 bn=2( (log2an+ log2an+1) )1, n_1 , .n、1=2( (log2_+ log22 ) = n_2，1即bn是首项为 Q,公差为 1 的等差数列.设数列

3、(_ 1)nb2的前 n 项和为 Tn，贝 UT2n= (_ b2+ b2) + (_ b2+ b2) + (_ b2n_1+ b)=b1+ b2+ b3+ b4+ + b2n_ 1+ b2n2n b1+ b2n2=2= 2n .规律方法1.若an是等差数列，则ban(b0，且 1)是等比数列；若an是正项等比数列，则logban(b0，且 bM1)是等差数列.2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.跟踪练习(2019 南昌模拟) )已知各项均为正数且递减的等比数列 an满足：3 a3，尹4，2a5成等差数列，前 5 项和 S

4、5= 31.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若等差数列&满足 b1= a4_ 1，b2= a3_ 1，求数列abn的前 n 项和.解(1)由 a3，器4，2a5成等差数列得 3a4=a3+ 2a5，设an的公比为 q，则 2q2 3q+ 1 = 0，解得 q= Q 或 q= 1(舍去)，彳丄a1 1 25S5=4_ 1所以31,解得 a1= 16.3设等差数列bn的公差为 d,由 bi= a4-1, b2= a3-1 得 bi= 1, d= a3a4= 4 2= 2,1 題型 2|数列的通项与求和数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、 等比数列的定义、

5、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征， 选择适当的求和方法常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例 2 (本小题满分 12 分)(2019 青岛模拟) )已知等差数列 an ， 公差 d= 2, S1,S2，S4成等比数列.求 an；n4n(2)令 bn= ( 1) a4，求bn的前 n 项和 Tn.anan+1信息提取看到条件中 S1，S2, S4成等比数列，想到S2=S1S4；看到(2)中(1)n想到 n 为偶数和奇数两种情况.规范解答 S1, S2, S4成等比数列.所以数列an的通项公式为 an= 16X数列abn的前 n 项和 Tn=所以

6、 bn= 2n 1, abn=4：S2=S1S4,1 分52 f 4X3 -(2ai+2)=ai4ai+2X2,解得 ai= 1,-an1+2(n1)=2n1.n4n(2)bn(-1) -anan+ 1j 11?( (1)nn;+2；+;y1 I 111 2n+ =一 1 +- =-gn1 2n+1丿2n+ 1 2n +112n + 21 2n+12n+1 2n,n 为偶数，2n+ 1故 Tn2n 2，n 为奇数.2n+ 1易错与防范易错误区：（1）在解答第（2）问时，不会处理 bn的表达式;（2）求 Tn时，没有对 n 进行分类讨论，导致解答错误.4n(-1)n-( (2n 1当 n 为偶数

7、时，bn的前(1、 /1 1)n项和Tn 1+3+3+5 当 n 为奇数时，bn的前 n 项和 Tn 1 + 3 +1+ 5 1脚一 11、+2n+ 1y11 分12 分6防范措施：（1）对于常见式子的裂项要心中有数，要根据分子的结构特征来 确定裂成两项之和还是两项之差.（2）出现（1）n求和时，一般要分 n 为奇数和偶数两种情况.通性通法(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出 发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、 分组转化法、裂项相消法等.跟踪练习 已知递增数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn+1+ an-1= S

8、n+ 2an(n N*且 n2),且 a2a4= 21, ai+ a5= 10.(1)证明：数列an是等差数列，并求其通项公式；1若 bn= ，试求数列bn的前 n 项和 Tn.anan+1解由 Sn+1+ an-1= Sn+ 2an可得 Sn+1 Si = 2an an-1，-an+1 an= an an 1( (n2).不妨令 an an 1= d(n2)，易知 d0，二数列an是首项为 a1，公差为 d的等差数列.(a1+ da1+ 3d )= 21， 又 a2a4= 21， a1+ a5=10，1+ a1+ 4d= 10，a1= 1，a1= 9，解得或7d= 2d= 2.a1= 1,又

9、 d0，ld= 2,故 an= a1+ (n 1)d= 2n 1.8(2)由知,an= 2n 1,n2n+ 1数列与不等式的交汇问题【例 3】(2019 哈尔滨模拟) )已知数列 仙满足 a1= 3, an+1= 2an n+ 1, 数列bn满足 bn= an n.(1)证明：数列bn为等比数列；若数列cn满足b+1b1+1,且数列Cn的前 n 项和为 Tn,求证:证明(1).an +1= 2an n+ 1,an+1 (n+ 1)= 2(an n)，即 bn+1= 2bn.又 b1= a1 1 = 2,数列bn是以 2 为首项、2 为公比的等比数列.由(1)知，bn= 2X2n1= 2n,=2

10、n= 1 1Cn=(2n+ 12n+1+ 1 = 2n+ 12n+1+ 1.1 1 1 1 1+ . + 一1( (2n1 j2n+1 厂1 211111-Tn二 213+35+12n 1+2n 112n12n+11 、2n+1;I 題型 3|TnV13.n=anan +12925+ 1 22+ 1 26+ 1 2n+ 1 2n+1+ 1v 62n+1+13.10规律方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不 等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题 要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等总之解决这类问题把 数列和不等式的知识巧妙结合起

11、来综合处理就行了.跟踪练习( (20 佃 贵州模拟) )已知数列an满足 2an+1= an+2+ an(n N ),且 a3+a7= 20, a2+ a5= 14.(1) 求数列an的通项公式；1 1(2) 设 bn=an_1 an+1，数列bn的前 n 项和为 Sn,求证：Sn2 解由 2an+1= an+ 2+ an得an为等差数列.设等差数列an的公差为 d,由 a3+ a7= 20, a2+ a5= 14,解得 d= 2, a1= 2,数列an的通项公式为 an= 2n.bn=-=-(an 1( (an+ 1) )(2n 1 )(2n+1)/ 1 1、20n 1 2n +1 /111

12、11 _ + + +13+3 5+5+故当nN, & =孑 2n+10,且 a2= a2a22.(1)求数列an的通项公式；设数列cn对任意正整数 n 均有 b1+an+1成立，其中 bn= 4n1 求数列Cn的前 n 项和 Sn.解因为 a2= 1 + d, a6= 1+ 5d, a22= 1 + 21d,所以(1+ 5d)2= (1 + d) (1 + 21d)，结合公差 d0,得 d= 3,所以 an= 1 + (n 1) 3 = 3n 2.(2)因为 b1+書+ +bn=an+1,所以当n2时，b1+b2+bn;=an,两式作差可得，cn= an +1 an= 3,所以 Cn=

13、 3bn= 3X4n1(n2).4(n=1),当 n= 1 时，C1= b1a2= 4, 故 cn= i13X4n(n212于是，当 n2 时,12n 112n 1Sn=4+3X4+3X4+ +3X4-=4+3(4+4+ +4 - )=4+n_ 141-4*=41-4当 n= 1 时，S1= 4.综上，Sn= 4n.3. (2019 蒲田模拟) )已知等差数列 an 的公差 d0,其前 n 项和为 Sn， 若 S3=12，且 2a1， a2,1 + a3成等比数列.(1) 求数列an的通项公式；1 * 1 1(2) 记 bn= (n N )，且数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：-0，二 d= 3， a1= 1.数列an的通项公式 an=a1