二元泰勒展开ppt课件

1、第九节第九节 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式三、极值充沛条件的证明三、极值充沛条件的证明一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式意义：可用意义：可用n次多项式来近似表达函数次多项式来近似表达函数)(xf，且，且误差是当误差是当0 xx 时比时比nxx)(0 高阶的无穷小高阶的无穷小 问题问题 能否用多个变量的多项式来近似能否用多个变量的多项式来

2、近似表达一个给定的多元函数，并能详细地估算出误表达一个给定的多元函数，并能详细地估算出误差的大小差的大小. .即即 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内连续的某一邻域内连续且有直到且有直到1 n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, , ),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点, ,能否把函数能否把函数),(00kyhxf 近似地表达为近似地表达为00,yykxxh 的的n次多项式，次多项式，且误差是当且误差是当022 kh 时比时比n 高阶的无穷高阶的无穷小小 定理定理 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内连的某一邻域内连续 且 有 直 到续 且 有

3、直 到1 n阶 的 连 续 偏 导 数阶 的 连 续 偏 导 数 , , ),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点, ,则有则有 二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式)10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中记号其中记号),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地, ,记号记号表表

4、示示),(00yxfykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC 证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由由 的定义及多元复合函数的求导法那的定义及多元复合函数的求导法那么么, ,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx ),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtx

5、pnpnnppnppnnC 利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn) ), ,( () )0 0( (0 00 0y yx xf f= =F F) ), ,( () )1 1( (0 00 0k ky yh hx xf f+ + += =F F将将, ,及及上面求得的上面求得的直到直到阶导数在阶导数在的值的值, ,以及以及在在) )( (t tF Fn n0 0= =t t) )( () )1 1( (t tn n+ +F Fq q= =t t的值代入上式的值代入上式. .即得即得)1

6、(,),(!1),(! 21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf 其中其中)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn证毕证毕 公公式式)1(称称为为二二元元函函数数),(yxf在在点点),(00yx的的n阶阶泰泰勒勒公公式式, ,而而nR的的表表达达式式)2(称称为为拉拉格格朗朗日日型型余余项项. . 由由二二元元函函数数的的泰泰勒勒公公式式知知, , nR的的绝绝对对值值在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内都都不不超超过过某某一一正正常常数数M. .于于是是, ,有有下下面面的的误误差差估

7、估计计式式: : )3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由)3(式可知式可知, ,误差误差nR是当是当0 时比时比n 高阶高阶的无穷小的无穷小. . 当当0 0= =n n时时, ,公式公式) )1 1( (成为成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为二元函数的拉格朗日中值公式上式称为二元函数的拉格朗日中值公式. .推 论推 论 如 果 函 数如 果 函 数),(yxf的 偏 导 数的 偏 导 数),(yxfx, ,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零在某一邻域内都恒等于零,

8、 ,则函则函数数),(yxf在该区域内为一常数在该区域内为一常数. . 在泰勒公式在泰勒公式)1(中中, ,如果取如果取0, 000 yx, ,则则)1(式成为式成为n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . ),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. . 解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 233

9、3yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0 , 0( f, ,故故 ,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41)

10、,(!414443 yxyxyxfyyxxR三、极值充沛条件的证明三、极值充沛条件的证明定定理理 2 2（充充分分条条件件） 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数， 又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2 2则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下： （1 1）02 BAC时

11、时有有极极值值， 当当0 A时时有有极极大大值值， 当当0 A时时有有极极小小值值； （2 2）02 BAC时时没没有有极极值值； （3 3）02 BAC时时可可能能有有极极值值. . 证证依二元函数的泰勒公式，依二元函数的泰勒公式，对对于于任任一一)(),(0100PUkyhx 有有 ),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6() )1 1( ( 设设0 02 2 - -B BACAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因) ),

12、 ,( (y yx xf f的二阶偏导数在的二阶偏导数在) )( (0 01 1P PU U内连续内连续, ,由由不等式不等式) )7 7( (可知可知, ,存在点存在点0 0P P的邻域的邻域) )( () )( (0 01 10 02 2P PU UP PU U蘿蘿, ,使得对任一使得对任一) )( () ), ,( (0 02 20 00 0P PU Uk ky yh hx x蝳蝳+ + +有有 .02 xyyyxxfff)8(注注: :将将) ), ,( (y yx xf fxxxx在点在点) ), ,( (0 00 0k ky yh hx xq qq q+ + +处的值处的值记为记为

13、xxxxf f, ,其他类似其他类似. . 由由)8(式式可可知知, ,当当)(),(0200PUkyhx 时时, , xxf及及yyf都都不不等等于于零零且且两两者者同同号号. .于于是是)6(式式可可写写成成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 当当kh、不不同同时时为为零零且且)(),(0200PUkyhx 时时, ,上上式式右右端端方方括括号号内内的的值值为为正正, ,所所以以f 异异于于零零且且与与xxf同同号号. . 又又由由),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数的的连连续续性性知知xxf与与A同同号号, ,因因此此f 与与A同同号号, ,当当0 A时时),(0

14、0yxf为为极极小小值值, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极大大值值. . )2( 设设02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先假定先假定, ,0 0) ), ,( () ), ,( (0 00 00 00 0= = =y yx xf fy yx xf fyyyyxxxx那么那么. .0 0) ), ,( (0 00 0箎箎y yx xf fxyxy分别令分别令h hk k= =及及h hk k- -= =, ,那么由那么由) )6 6( (式可得式可得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyh

15、xfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其中其中. .1 1, ,0 02 21 1 q qq q 当当0h时时, ,以以上上两两式式方方括括号号内内的的式式子子分分别别趋趋于于极极限限 ),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 从从而而当当h充充分分接接近近零零时时, ,两两式式方方括括号号内内的的值值有有相相反反的的符符号号, ,因因此此f 可可取取不不同同符符号号的的值值, ,所所以以),(00yxf不不是是极极值值. . 再证再证) ), ,( () ), ,( (0 00 00 00 0y yx

16、 xf fy yx xf fyyyyxxxx与与不同时为零的情形不同时为零的情形. .无妨无妨. .0 0) ), ,( (0 00 0箎箎y yx xf fxyxy先取先取0 0= =k k, ,于是由于是由) )6 6( (式得式得).,(21002yhxfhfxx 当当h h充沛接近零时充沛接近零时, , f fD D与与) ), ,( (0 00 0y yx xf fxxxx同号同号. .但假如取但假如取, ,) ), ,( (, ,) ), ,( (0 00 00 00 0s sy yx xf fk ks sy yx xf fh hxxxxxyxy= =- -= =其中其中s s是异于零但充沛接近于零的数是异于零但充沛接近于零的数 , ,那么可发现那么可发现, ,当当s s充沛小时充沛小时, , f fD D与与) ), ,( (0 00 0y yx xf fxxxx异号异号. .) ), ,( (0 00 0y yx xf fD D 如此证明了如此证明了: :在点在点的任意邻近的任意邻近, , 可取可取不同符号的值不同符号的值, ,因而因而) ), ,( (0 00 0y y