二重积分的计算1ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、积分区域的描绘一、积分区域的描绘O)(1xy)(2xyxbyDax型型区区域域 X bxaxyxyxD)()(),(21 型型区区域域 YOydcx)(2yx)(1yxy dycyxyyxD)()(),(21 目录 上页 下页 返回 结束 二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分方法： 将重积分化成累次积分0),(yxf当被积函数依照二重积分的几何意义，Dyxyxfdd),(等于曲顶柱体的体积0 x),(yxfz zxyabDODdy

2、xf),(Ddxdyyxf),(目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为那么其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyy

3、d),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 假设D为 X - 型区域 那么O)(1xy)(2xyxbyDax假设D为Y - 型区域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那么当被积函数),(yxf在D上变号时,结论仍成立。目录 上页 下页 返回 结束 xyOxyDO说明说明: (1) 假设积分区域既是

4、假设积分区域既是 X - 型区域又是型区域又是Y - 型区型区域域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc那么有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 假设积分域较复杂,可将它分成假设干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD那么 目录 上页 下页 返回 结束 121221d y例例1. 计算计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将将D看作看作X - 型区域型区域, 那那么么:DI21d x

5、yyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y - 型区域型区域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及

6、直线那么 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因而取D 为X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 2例例4. 交换以下积分顺序交换以下积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:

7、,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为Y - 型区域 , 那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 交换积分顺序计算交换积分顺序计算32130010de dde dxxyyIxyxyyxIDydde1yxDydde213 20de dyyyyx103(1)e dyyy)2e(31xy )3(21xy1D2D3解解. 积分域如图积分域如图. xyO目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求抛物线及及与与直直线线022 yxxy012 yx所围区

8、域 D 的面积A .解解:如下图如下图xy2324,12DDD 12ddDDAyyx122d34dyyyx22d12dy4312331221yyy1D2DD212331221yyy3252,d),(时计算Dyxf1),(Dyxf可扩展到若注注: 那么也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 1yxO目录 上页 下页 返回 结束 三、利用二重积分计算曲顶柱体的体积三、利用二重积分计算曲顶柱体的体积0),(yxf当被积函数依照二重积分的几何意义，Dyxyxfdd),(等于曲顶柱体的体积思路：找出底，找出顶，然后积分。目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆

9、柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为那么所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 假设积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD那么)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 假设积分区域为)()(,)

10、,(21yxxyxdycyxD那么)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及本卷须知计算步骤及本卷须知 画出积分域 确定积分序 写出积分限 计算要简便积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式充沛利用对称性目录 上页 下页 返回 结束 axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax考虑题考虑题1. 给定给定改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aOxyayx2222yaax22yaax目录 上页 下页 返回 结束 111 xyO2. 计算二重积分计算二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分, 那么1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx; 1011:yxD，其中D 为圆域