第五章无穷级数1ppt课件

1、第五章 无穷级数第一节第一节 数项级数数项级数第二节第二节 幂级数幂级数第三节第三节 傅里叶级数傅里叶级数第一节 数项级数一、数项级数的定义与性质一、数项级数的定义与性质二、数项级数的审敛法二、数项级数的审敛法一、数项级数的定义与性质1. 数项级数的定义数项级数的定义 给定一个数列 则由这数列构成的表达式 叫做常数项无穷级数，记为其中第 项 叫做级数的一般项或通项。 ,321nuuuu nuuuu321 1nnunnu部分和数列部分和数列niinnuuuuS121级数的部分和级数的部分和,11uS,212uuS,3213uuuS,21nnuuuS级数的收敛与发散级数的收敛与发散余项nnSSr2

2、1nnuu1iinu0limnnr如果级数收敛，则有解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛 发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散 综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn等比级数是一个常等比级数是一个常用的级数用的级数 性质性质2 如果级数如果级数 ， 都收敛，那么都收敛，那么级数级数 也收敛，也收敛，性质性质1 如果级数如果级数 收敛于和

3、收敛于和 ，则级数，则级数 也也敛，敛， 且其和为且其和为 。其中。其中c为任一常数。为任一常数。2. 数项级数的基本性质数项级数的基本性质 1nnu1nncucS 1nnu1nnv)(1nnnvu 111)(nnnnnnnvuvuS注意：两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如注意：两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如11111111,) 1(1,) 1(,1nnnnnn发散收敛而发散发散性质性质3 一个级数增加或减少有限项，不改变级数的敛散性一个级数增加或减少有限项，不改变级数的敛散性 性质性质4 收敛级数各项之间按顺序任意加括号后形成的新级收敛级数各项之间按顺序任意加括号后形成的新级

4、数收敛于原来的和数收敛于原来的和S。 )()()(1111211kknnnnnuuuuuu注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. . )11()11( 1111推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散, ,则则原原来来级级 数数也也发发散散. . 收敛收敛 发散发散例如例如性质性质5 （级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件）如果级数如果级数 收敛，那么收敛，那么 1nnu0lim nnu 注意注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。例例 调和级数调和级数n131211的一

5、般项趋于零，但它却是发散的。的一般项趋于零，但它却是发散的。二、数项级数的审敛法1.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 定理定理1 1 正项级数收敛的充分必要条件是：它正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列的部分和数列 SnSn有界。有界。 正项级数概念正项级数概念:各项都是正数或零的级数称为正项级数。各项都是正数或零的级数称为正项级数。1) 比较审敛法比较审敛法（比较审敛法）（比较审敛法） 设设 和和都是正项级数，且都是正项级数，且(1)(1)若级数若级数收敛，收敛， 则级数则级数收敛；收敛；发散，则级数发散，则级数 也发散。也发散。定理定理2 1nnu 1nnv1nnv1nnu1n

6、nv1nnunnvu )., 2 , 1( n(2)(2)若级数若级数解解, 1 p设设,11nnp .级级数数发发散散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211)11,11,1(ppnxnxnxn npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级级数数收收敛敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP 重要参考级数重要参考级数: : 几何级数等比级数）几何级数等比级数）, P-, P-级级数数, , 调和级数实际上就是调和级数实际上就是P=1P=

7、1的的P-P-级数）级数）. .2) 2) 达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法 例例 判别级数判别级数的敛散性的敛散性证明证明所以级数收敛3) 3) 柯西根值判别法柯西根值判别法2.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法例如例如,交错级数交错级数nn1)1(4131211满足条件满足条件),2, 1(111)1(1nunnunn01limlim)2(nunnn所以该级数是收敛的所以该级数是收敛的,且且11nrn3.级数的绝对收敛和相对收敛级数的绝对收敛和相对收敛概念概念 设设 为常数项级数，如果它的各项的绝对值所构成的为常数项级数，如果它的各项的绝对值所构成的 正项级数正项级数 收敛，则称级数收敛，则称级数 绝对收敛；如果级绝对收敛；如果级 数数 收敛，而级数收敛，而级数 发散，则称级数发散，则称级数 条件收敛条件收敛 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu定理定理 绝对收敛的级数必收敛绝对收敛的级数必收敛例例判