数学分析教学—10-4ppt课件

1、4 旋转曲面的面积 定积分的一切运用问题, 都可按 “分一、微元法二、旋转曲面的面积用以导出旋转曲面面积的计算公式. “微元法来处置. 本节将引见微元法,并量的积分方式, 但在实践运用中又常用割、近似、求极限 三个步骤导出所求( )( )d ,xaxf tt 那么那么( )( ) ,d( )dxf xf xx 或或, 且且( )0 ,( )( )d .baabf xx 当当,baf 为为上的延续函数时，假设上的延续函数时，假设令令一、微元法如今恰好要把问题倒过来如今恰好要把问题倒过来: 假设所求量假设所求量 是分布在是分布在区区 , (),a xaxb间间上上的的 或者说它是该区间的端点或者说

2、它是该区间的端点 x 的函数的函数, 即即( ) ,f xx 其中其中 f 为某一延续函数为某一延续函数, 而且当时而且当时,0 x( )( ),f xxox 而且当而且当 x = b 时时,)(b 适为最终所求的值适为最终所求的值. 那么只需把那么只需把( )dbaf xx计算出来计算出来, 就是该问题所就是该问题所,),(baxx 在恣意小区间上在恣意小区间上, 假设能把假设能把 的的 , , x xxa b 微小增量近似表示为的线性方微小增量近似表示为的线性方式式 x( ) .f xx 在普通情况下在普通情况下, 要严厉检验要严厉检验( )f xx 以上方法通常称为微元法以上方法通常称为

3、微元法, 在用微元法时在用微元法时, 应留意应留意:求的结果求的结果.(2) 微元法的关键是正确给出的近似表达式微元法的关键是正确给出的近似表达式 为的高阶无穷小量不是一件容易的事为的高阶无穷小量不是一件容易的事.x (1) 所求量所求量 关于分布区间必需是可加的关于分布区间必需是可加的. ),0)(, )( xfbaxxfy这段曲线绕这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面轴旋转一周得到旋转曲面(如以下如以下图图).设平面光滑曲线设平面光滑曲线 C 的方程为的方程为二、 旋转曲面的面积Oabxyxxx ( )yf x经过经过 x 轴上点轴上点 x 与与 分别作垂直于分别作垂直于 x 轴的轴的平

4、平 xx 22 ( )( ) Sf xf xxxy 22 ( ) 1(),yf xyxx 其中其中( )( ).yf xxf x由于由于2200lim0, lim1()1( ),xxyyfxx 时时, , 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, , 即即面面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带它们在旋转曲面上截下一条狭带. 当很小当很小x因此由的延续性可以保证因此由的延续性可以保证)(xf 22 2 ( )12( ) 1( )yf xyxf xfxxx( ),ox所以得到所以得到2d2 ( ) 1( )d ,Sf xfxx22( ) 1( )d .baSf xfxx假设

5、光滑曲线由参数方程假设光滑曲线由参数方程,),(),( ttyytxx给出给出, 且且, 0)( ty那么曲线那么曲线 C 绕绕 x 轴旋转所得旋轴旋转所得旋转转曲面的面积为曲面的面积为222( )( )( )d .Sy txtytt 例例1 求将椭圆求将椭圆)(12222babyax 绕绕 x 轴旋转所得轴旋转所得椭球面的面积椭球面的面积.解解 将上半椭圆写成参数方程将上半椭圆写成参数方程cos ,sin ,0.xat ybtt 令令222,ccabea则则222202sinsincosdSbt atbt t2222204sin()cosdbt aabt t222204cosd(cos )b

6、actt 122041dabe uu2211141arcsin022abue ueue 2arcsinbacabaca222222arcsin.aabb baab aba特特别别当当时时, ,即即半半径径为为 的的球球面面的的面面积积: :02222/204sin d4cos4.Sat tata例例2 求心脏线求心脏线)cos1( ar绕极轴旋转所得曲绕极轴旋转所得曲面的面积面的面积.当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解解 将曲线用参数方程表示将曲线用参数方程表示:cos(1cos )cos ,xra 于是于是sin(1cos )sin .yra 请读者自行指出这应该怎样做？请读者自行指出这应该怎样做？2