2021年江苏高考数学一轮复习讲义第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

1、i第四节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.必备知识填充1. 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1) 三种位置关系：相交、相切、相离.(2) 两种研究方法:口 相交得-=次方程圆心到直线的距离为&半徑为丁dvr?相交，弦长 1= 2 . r2-d2d= r? 相切d r?相离2. 圆与圆的位置关系设圆 Oi： (x ai)2+ (y- bi)2= ri(ri0),圆 02： (x- a2)2+ (y- b2)2=

2、 r2(r20).位置关系几何法：圆心距 d 与 ri, r2的 关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dri+ r2无解外切d = ri+ r2一组实数解相交Iri r2ldri+ r2两组不同的实数解内切d = Iri r2|(ri工 r2)一组实数解内含0 d|ri r2(ri工 r2)无解护密底独也坍.课前自主几何法2常用结论31. 当两圆相交(切)时，两圆方程(x2, y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公 切线)所在的直线方程.2.圆的切线方程常用结论过圆 x2+ y2= r2上一点 P(xo, yo)的圆的切线方程为 xox + yoy= r2(2) 过圆(x- a)2

3、+ (y- b)2=r2上一点 P(xo, yo)的圆的切线方程为(xo a)(x a)2+ (yo b)(y b) = r .(3) 过圆 x2+ y2= r2外一点 M(xo, yo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 xox+ yoy= r2学情自测验收:一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(2) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(3) 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(4) 过圆 0: x2+ y2=r2外一点 P(xo, yo)作圆的两条

4、切线，切点分别为 A，B， 则 0, P, A, B 四点共圆且直线 AB 的方程是 xox+ yoy= r2()答案(1)X(2)X(3)X V二、教材改编1 .若直线 xy+1 = o 与圆(x a)2+ y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是()A. 3, 1B . 1,3C.3,1D.(,3U1, +)4C 由题意可得，圆的圆心为(a,o)，半径为.2,5|a 0+ 1| li -W：J2,即 |a+ 1|w2,解得一 3waw1.-12+ - 122圆(x+ 2)2+ y2= 4 与圆(x 2)2+ (y- 1)2= 9 的位置关系为()A 内切B 相交C 外切D 相离B 两圆圆

5、心分别为(-2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d=42+ 12=17./ 3-2d(1)一题多解直线 I: mx y+ 1 -0 与圆 C： x2+ (y_1)2= 5 的位置关系是()A 相交B 相切C相离D不确定(2)若直线 x+ my= 2+ m 与圆 x2+ y2 2x 2y+ 1= 0 相交，则实数 m 的取值 范围为()A.( x,+x)C.(0,+x)D.( x,o)u(0,+x)圆(x 3)2+ (y 3)2= 9 上到直线 3x+4y 11 = 0 的距离等于 1 的点的个数mx y+ 1 m= 0,(1)AD (3)C (1)法一：(代数法)由22x2+

6、 y 12= 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2 2m2x+ m2 5 = 0,因为= 16m2+ 200,所以直线 I 与圆相交.法二：(几何法)圆心(0,1)到直线 I 的距离 d =1/5.故直线 I 与圆/m2+ 1相交.法三：(点与圆的位置关系法)直线 l: mx y+ 1 m= 0 过定点(1,1), 点(1,1) 在圆 C： x2+(y 1)2= 5 的内部，二直线 l 与圆 C 相交.(2)圆的标准方程为(x 1)2+ (y 1)2= 1,圆心 C(1,1),半径 r = 1因为直线与|1 + m2 m|圆相交，所以 d=0 或 mr 或 dvr 建立关于参数的等式或不等

7、式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合，转化为点到直线的距离求解.脸琢 1已知点 M(a, b)在圆 O： x2+ y2= 1 夕卜，则直线 ax+ by= 1 与圆 0 的位置关系是()A 相切D .不确定B 因为 M(a, b)在圆 0: x2+ y2 1 夕卜，所以 a2+ b2 1,而圆心 0 到直线1ax+ by 1 的距离 d-v1所以直线与圆相交.A/a2+ b22.若直线 I: x+ y m 与曲线 C: y：1 x2有且只有两个公共点，则 m 的取值范围是_1 ,2)画出图象如图，当直线 I 经过点 A, B 时，m 1,此时直线 I 与x2有两个

8、公共点；当直线 I 与曲线相切时，m ”，因此当 K m0)截直线 x+ y= 0 所得线段的长度 是2 2，则圆 M 与圆 N : (x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置关系是()A .内切B .相交C.外切D .相离2 2x + y 2ay= 0,B 由得两交点为(0,0), ( a, a).x+ y= 0,圆 M 截直线所得线段长度为 2 2, ：a? + a 2= 2.2.又 a0,10圆 M 的方程为 X + y2 4y= 0,即 x2+ (y 2)2= 4,圆心 M(0,2),半径 ri= 2.又圆 N: (x 1)2+ (y 1)2= 1,圆心 N(1,1),半径 r2= 1

9、,|MN|=0 12+ 2 12= .2. r1 r2= 1, r1+ r2= 3,1|MN|4,点M在圆 C 外部.当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为 x= 3,即 x 3 = 0.又点 C(1,2)到直线 x 3 = 0 的距离 d= 3 1 = 2= r,即此时满足题意，所以直线 x= 3 是圆的切线.当切线的斜率存在时，设切线方程为y1 = k(x 3),即 kx y + 1 3k= 0,|k 2+ 1 3k|3则圆心 C 到切线的距离 d=r = 2,解得 k=：.詔 k2+13 4E/5(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建3 切线方程为 y 1= 4(

10、x 3), 即卩 3x 4y 5= 0.综上可得，过点M的圆 C 的切线方程为 x 3 = 0 或 3x 4y 5= 0.|MC|=3 12+ 1 22= 5,过点 M 的圆 C 的切线长为jMC|2 r2= 5 4= 1.当切线为 x= 3 时，切线长为 1.12立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的 切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜 率不存在的情况，以防漏解.旳比药 由直线 y= X+ 1 上的动点 P 向圆 C： (x 3)2+寸=1引切线，则切 线长的最小值为()A. 1B . 2 2C.7D . 3C 如图，切线

11、长|PM|= , |PC|21,显然当|PC|为 C 到直线 y=x+ 1 的距上I1: 2 弦长问题矗强弦长的 2 种求法(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2) 几何方法：若弦心距为 d,圆的半径长为 r，贝 U 弦长 I 二 2 r2 d2.FJU 啜设圆 x2+ y2 2x 2y 2= 0 的圆心为 C，直线 I 过(0,3),且与圆 C 交于 A，B 两点，若 AB| = 23,贝 U 直线 I 的方程为()A.3x+ 4y 12 = 0 或 4x 3y+ 9= 0B.3x+ 4y

12、12= 0 或 x = 0C.4x 3y+ 9 = 0 或 x= 0D.3x 4y+ 12 = 0 或 4x+ 3y+ 9= 013(2)(2018 全国卷I)直线 y= x+ 1 与圆 x2+ y2+ 2y 3 = 0 交于 A, B 两点，则|AB|=_ .(1)B (2)2 2 (1)当直线 I 的斜率不存在时，直线 I 的方程为 x= 0,联立方x= 0，x= 0，x= 0,程得22得或L -AB|= 2 3x2+y22x2y2=0，y=1/3y=1+3，符合题意.当直线 I 的斜率存在时，设直线 I 的方程为 y= kx+ 3，圆 x2+ y22x 2y 2 = 0,即(x 1)2+

13、 (y 1)2= 4,其圆心为 C(1,1),圆的半径 r = 2,圆心C(1,1)到直线 y = kx+ 3 的距离 d=k：+3|=|k：21,d2+ 愕1 2= r2,寸 k2+1彳 k2+12=0.综上，直线 I 的方程为 3x + 4y 12= 0 或 x= 0.故选 B.(2)由题意知圆的方程为 x2+ (y+ 1)2= 4,所以圆心坐标为(0, 1),半径为 2, 则圆心到直线 y=x+ 1 的距离 d=2 = 2,所以|AB| =222 J22= 2.2E-5 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为-1 列方程来简化

14、运算.提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1).詡遁(2019 太原一模)已知在圆 x2+ y2 4x+ 2y= 0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，贝 U 四边形 ABCD 的面积为()A. 3 5B. 6 5C. 4.15D.2 15k+ 22k2+1+ 3= 4,解得k=-3,3直线 I 的14D 将圆的方程化为标准方程得(x 2)2+ (y+ 1)2= 5,圆心坐标为 F(2,1),半径 r = .5,如图，显然过点 E 的最长弦为过点 E 的直径，即 AC| = 2 5,而过点 E 的最短弦为垂直于 EF 的弦,

15、|BD|=2?r2-|EF|2=2 3,S四边形ABCD=1|AC|X|BD|=2 15.E 向活直线与圆的综合问题蠹辭直线与圆的综合问题的求解策略(1) 利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问 题，通过代数的计算，使问题得到解决.(2) 直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用.啜 已知直线 1: 4x+ 3y+ 10= 0,半径为 2 的圆 C 与 I 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 I 的右上方.(1) 求圆 C 的方程；(2) 过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半 轴上是否存在定

16、点 N,使得 x 轴平分/ ANB?若存在，请求出点 N 的坐标；若不 存在，请说明理由.5|4a+10|解(1)设圆心 C(a,0) a-，则5 = 2? a = 0 或 a=-5(舍)所以圆 C: x2+ y2= 4.(2)当直线 AB 丄 x 轴时，x 轴平分/ ANB.15当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y= k(x- 1)，N(t,0)，A(x1,y1)，B(X2，y2)，16得，(/+ 1)x2 2k2x+ k24 = 0,V1V2若 x 轴平分/ ANB，贝 U kAN= kBN?+= 0?X1 t X2 t2 k2 4 2k2t+ 12X1X2 (t+ 1)(X1+ X2)+ 2t= 0?22+ 2t = 0? t= 4,k2+ 1k2+ 1所以当点 N 为(4,0)时，能使得/ANM=ZBNM 总成立.E，-本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“X 轴平分/ ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kAN= kBN”，然后借助方程思想求解.教师备选例题如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以M为圆心的圆M: X2+ y212X14y+ 60 = 0 及其上一点 A(2,4).(2)设平行于 OA