2021年高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题八数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题练习1

1、-1 -第 1讲数学文化及核心素养类试题考情研析数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源 远流长高考中多以选择题的形式出现，难度中等核心知识回顾1.以古代数学书籍九章算术数书九章等书为背景的数学文化类题目.2 与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数.3 以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶 算法、二进制、割圆术、阿氏圆等.4 以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问 题、四色猜想等经典数学小问

2、题.热点考向探究考向 1 算法中的数学文化例 1 （2019 哈尔滨市第三中学高三第二次模拟）我国古代名著 庄子天下篇 中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远 都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）1A. i20,S=ST,i=2i1-2 -B. iw20,S=S- -,i=2ic S .C. i20,S= ,i=i+1S D. iw20,S=2，i=i+1答案 D1S1解析 根据题意可知，第一天S=2，所以满足S=2，不满足S=S p，故排除A B；由框图

3、可知，计算第二十天的剩余时，有S=S，且i= 21,所以循环条件应该是iw20.故选 D.方法指导以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律， 理解程序框图的算法功能. 对点精练我国古代数学著作孙子算经中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？ ”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）A.121 B . 81 C . 74 D . 49答案 B解析 满足aw32，第一次循环：S= 1，n= 2，a= 8;满足aw32，第二次循环：S= 9

4、，n= 3，a= 16；满足aw32，第三次循环：S= 25，n= 4，a= 24；满足aw32，第四次循环：S=49，n= 5，a= 32；满足aw32，第五次循环：S= 81，n= 6，a= 40.不满足aw32，输出S故选B.考向 2 数列中的数学文化-3 -例 2 （2019 陕西省高三第三次教学质量检测）我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n1，若去除所有为1 的项，依次构成数列=390,-4 -A. 110 B . 114 C . 124 D . 125答案 B

5、解析由题意，n次二项式系数对应的杨辉三角形的第n+ 1 行，令x= 1,可得二项展开式的二项式系数的和2n，其中第 1 行为 20,第 2 行为 21,第 3 行为 22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1,公比为 2 的等比数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为 S1 2nn=厂石=2n 1,若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4，可以1 2看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则Tn=n n；1，令n n；1= 15,解得n= 5, 所以前 15项的和表示前 7 行的数列之和减去所有的 1,即（27 1） 13= 114，即前 15 项的数 字

6、之和为 114,故选 B.方法指导以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题解题的关键是将古代实际问题转化为 现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方 程思想求解.对点精练张丘建算经卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹 三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布.记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为an,贝Ua14+a15+a16+a仃的值为（）A. 55 B . 52 C . 39 D . 26答案 B16

7、a14+a1s+a16+ 亦=4a + 58d= 4X5+ 58X区=52.故选 B.考向 3 立体几何中的数学文化例 3（2019 六安市第一中学高三模拟）我国齐梁时代的数学家祖2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列的前 15 项和为（解析设从第 2 天开始，每天比前一天多织d尺布，则390,所以 30X5+30X2916解得d= 29所以-5 -暅提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异” 意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积 相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将底面 直径都为 2b,高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆

8、柱放置于同一平面3上，用平行于平面3且与平面3任意距离d处的平面截这两个几何体， 可横截得到S圆及S环两截面.可 以证明S圆=S环总成立据此，半短轴长为1,半长轴长为 3 的椭球体的体积是 _ 答案 4n解析因为S圆=S环总成立，21222则半椭球体的体积为nba 3nba= 3nba,3342所以椭球体的体积为 V= 3nb a,因为椭球体的半短轴长为 1，半长轴长为 3,4242所以椭球体的体积为 V= -nb a= 3n1 X3= 4n,33故答案是 4n.方法指导依托立体几何，传播数学文化立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位

9、置关系、几何体的体积等知识，既 符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化.刘点精练九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC- A1B1C1中，AC丄BC,若AA=AB=2，当阳马B- AACC体积最大 时，则堑堵ABC-ABC的体积为（）-6 -A.3 B. .-2 C . 2 D . 2 :2答案C12114解析 由阳马的定义，知 VB-A1ACC=-AiA - AC- BO-AC- BC-(AC+B=：AB=-,33333当且仅当AC= B

10、C= .2时等号成立，所以当阳马B- AACC体积最大时，则堑堵ABC- ABG的1体积为；2X.2X2= 2,故选 C.考向 4 概率中的数学文化例 4 (2019 -山西省高三高考考前适应性训练)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边 长组成的一组数据成为勾股数现从115 这 15 个数中随机抽取 3 个数，则这三个数为勾股数的概率为()1346A.9i0B.910C.455D.455答案C解析 从这 15 个数中随机抽取3 个数所有基本事件个数为C,其中为勾股数的为44(3,4,5), (6,8,10), (9,

11、12,15), (5,12,13)，共 4 个，故概率 P=C=亦 5,故选 C方法指导数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解.对点精练丨数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521 等，两位数的回文数有11,22 , 33,，99 共 9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 _.4答案 9解析 三位数的回文数为ABA-7 -A共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1B1,2B2,3B3,B共有 0 到 9 共 1

12、0 种可能，即A0A, A1A A2A,A3A,共有 9X10= 90 个，其中ABA是偶数则A是偶数，共 4 种可能，即 2B2,4B4,6B6,8B8.B共有 0 到 9 共 10 种可 能，即A0A, A1A A2A,A3A,共有 4X10= 40 个，404三位数的回文数中，偶数的概率P=90= 9.考向 5 推理与证明中的数学文化例 5 （2019 南充市第三次诊断）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数

13、列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）5435A. 4 钱 B. 3 钱 C. 2 钱 D. 3 钱4323答案B解析 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a 2d,ad,a,a+d,a+ 2d,贝 Ua 2d+ad=a+a+d+a+ 2d,解得a= 6d,又a 2d+ad+a+a+d+a+ 2d= 5,a44a= 1,贝 Ua 2d=a 2x（ ） =a=，故选 B.633方法指导以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵 及特点，并会用这些方法

14、分析、解决具体问题.对点精练（2019 上海市奉贤区高三一模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、 辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配， 排列起来，天干在前，地支在后， 天干由“甲”起， 地支由“子”起， 比如第一年为“甲子 第二年为“乙丑”， 第三年为“丙寅”， ，-8 -以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲” 重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此 类推，已知 2016 年为丙申年，那么到改革开放_100 年时，即2

15、078 年为年.答案戊戌解析 从 2017 年到 2078 年经过了 61 年，且 2017 年为丁酉年，61 - 10= 6 余 1,贝 U 2078年的天干为戊，61 - 12= 5 余 1,则 2078 年的地支为戌，所以 2078 年为戊戌年.考向 6 数学文化与现代科学例 62016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月 球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞

16、行.若用2C1和 2C2分别表示椭圆轨道I和n的焦距， 用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴长，给出下列式子：a1C1C2+C1=a2+C2； a1C1=a2-C2； ac2.a1a2其中正确式子的序号是()A.B . C . D .答案D解析 观察题图可知 aa2,C1C2,.a+C1a2+C2，即式不正确；a1C1=比一C2= |PF| ,a*1C1a2C2a1a2C1C2即式正确；由a1C1=a2C20,C1C20，知 ，即 a1C2, .C1C2C1C2a1a2即式正确，式不正确.方法指导(1) 命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽 象

17、出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造 两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.(2) 注意到椭圆轨道I和n共一个顶点P 和一个焦点 F,题目所给四个式子涉及长半轴长-9 -和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查， 是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.-10 - 对点精练第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图所 示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的 面积为 1，大正方形的面积为 25

18、,直角三角形中较大的锐角为答案 7n解析 依题意，得大、小正方形的边长分别是5,1 ,于是有 5sin9 5cos9= 1 09b,满足awb,故b= 20 16= 4；2A 3 B.5 C.5D.59-17 -第二次循环：第 层判断: 满足azb,进入第二层选择结构，第二层判断:满足ab,故a= 16 4 = 12；第三次循环：第 层判断: 满足b,进入第二层选择结构，第二层判断:满足ab,故a= 12 4 = 8 ；第四次循环：第 层判断: 满足azb,进入第二层选择结构，第二层判断:满足ab,故a= 8 4= 4；第五次循环：第一层判断：满足a=b= 4,故输出 4，选 C.3 中国古代

19、数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还” 其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地” 则该人第五天走的路程为（）A. 48 里 B 24 里 C 12 里 D 6 里答案 C4. （2019 河南洛阳高三阶段性考试）九章算术中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：我羊食半马马主曰：我马食半牛今欲衰偿之，问各出几何？ ”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5 斗粟羊主人说：“我羊所吃的

20、禾苗只有马的一半”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知解析设第一天的路程为ai1 ai里，则-1621= 378,121a1=192，所以a5=192X/=12设计程序框图如图所示，若输出k的值为 2,则m=（）1斗=10升，针-18 -505010100代亍 B. 7 C.亍 D. T-19 -答案 B解析 运行该程序，第一次循环，S= 50m k= 1；第二循环，s= 50 3m k= 2；第三次循环，S= 50 7m此时要输出k的值，则 50 7m= 0，解得 m=号，故选 B.5我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细

21、，所失弥少，割之又割,以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 它体现了一种无限与有限的转化过程比如在1表达式 1 +中“”即代表无限次重复， 但原式却是个定值，它可以通过方程1+1+x求得x= 5J 1.类比上述过程，则3+ 2 3 + 2=（）B.学答案令*3+ 23 + 2. =x(x0)，两边平方，得3+ 2 ,：3+ 2 =X2,即卩 3+ 2x=x2,解得x= 3,x= 1(舍去)，故-,3+ 2)3 + 2= 3,选 A.6.（2019 江西省名校高三 5 月联考）我国古代九章算术将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底

22、7.（2019 河北联考）九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有 圆堡瑽（cong）,周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺则它的体积是（注：1 丈=10 尺，取n=3）（）B. 2112 立方尺A. 3C. 6D . 2 .2解析的长分别为 2 和 6,高为 2,则该刍童的体积为（100104B. VC . 27 D . 18答案解析由题几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2 和 6,高为 2,所以几何体1的体积V= 3X(4 + 36 +4X36)X2= 104.故选B.A. 704 立方尺-20

23、 -C. 2115 立方尺答案 B解析 设圆柱体底面圆半径为r，高为h,周长为C.因为 C= 2nr,所以r，所以V2n8.（2019 南宁市高三第一次适应性测试）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒, 借问此壶中，当原多少酒？ ”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 3 的酒量”，即输出值是输入值的 3,则输入的x=（）答案 C解析i= 1 时，x= 2x 1;i= 2 时，x= 2(2x 1) 1 = 4x 3;i= 3 时，x= 2(4x 3)1 218x 7 = -x，解得x= 23.故选

24、C.9 .我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一, 次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问1本持金几何.”其意思为：今有人持金出五关，第1 关收税金为持金的 1,第 2 关收税金为剩111余金的第 3 关收税金为剩余金的：，第 4 关收税金为剩余金的 ？第 5 关收税金为剩余金的345D. 2118 立方尺=nr1 2h=nX2112（立方尺）.故选 B.A.5 B.5暮C.23D.薯1= 8x 7;i= 4 时，退出循环.此时,C?h482X114T =2曰+1/鈕治/-21 -1 1 1A.20 斤 B. 25 斤

25、C. 30 斤答案 B1i i解析 假设原来持金为X,则第 1 关收税金-x;第 2 关收税金 3 1 - 2x=11111111 1收税金；1 - 26x=x； 第 4 关收税金1 - 2612x=x； 第42 63X452 6 124X511111八e11111126悝20 x=5X?x.依题意得 2x+2X3x+3X4x+4X5x+页x=561161=1,6x= X解得X= 5，所以 5X?x= 5X6X5 = 25.故选 B.1X；第3关15 关收税金-611,即 1x-22 -10.（2019 陕西省高三第一次模拟）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增

26、加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n的值为（）（参考数据：sin 15 0.2588 , sin7.5 0.1305）A. 12 B . 24 C . 48 D . 96答案 B解析 模拟执行程序，可得n= 6,S= 3sin60 = ，不满足条件S3.10 ,n= 12 ,S=6Xsin30 = 3,不满足条件S3.10 ,n= 24,S= 12Xsin15 12X0.2588 = 3.1056，满 足条件S 3.10，退出

27、循环，输出n的值为 24.故选 B.11. “杨辉三角”又称“贾宪三角”， 是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261 年所著的详解九章算法一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由 若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 201465 4 3 2 120 16 12 83628204033 403140291197538064806016124/输血/-23 -A.2017X 22016B.2018X2C. 2017X 22015D.2018X2-24 -答案 B解析 从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为 1 的等差数列，第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4，即第n行从右到左的公差为 2n1,而从右向左看，每行的第一个数分别为1 = 2X2A B C D E F G H I J K3= 3X20,8 =4X21,20=5X22,48= 6X23，所以第n行的第一个数为(n+ 1)X2:显然第 2017 行只有一