复变函数6-4几个初等函数所构成的映射ppt课件

1、第四节 几个初等函数所构成的映射一、幂函数一、幂函数二、指数函数二、指数函数三、小结与思考三、小结与思考一、幂函数一、幂函数)2(为为自自然然数数 nzwn1dd nnzzw :0 )1(时时当当 z ,0dd平面内除原点外平面内除原点外则在则在zzw .形形的的所所构构成成的的映映射射是是处处处处共共由由nzw 平面内处处可导，导数平面内处处可导，导数该函数在该函数在 z : 0 )2(时时当当 z, , iiewrez 令令 ., nrn 有有那么那么: 1) rz 圆圆周周nrw 圆周圆周(特殊地特殊地: 单位圆周映射为单位圆周单位圆周映射为单位圆周)0 射射线线0 n 射射线线 )0

2、0 ( 映映射射成成正正实实轴轴正正实实轴轴2) 20 )30 n 角形域角形域 0 0 n 角角形形域域. 0 倍倍来的来的射变为原射变为原处角形域的张角经过映处角形域的张角经过映即在即在nz )0 )0 n0)(w0)(z .0 ,2 ,处没有保角性处没有保角性在在映射映射时时当当因此因此 zzwnn0)(z特殊地特殊地: 20 n 角角形形域域 20 角角形形域域)n 2 00 映映射射成成正正实实轴轴的的上上岸岸 22 映映射射成成正正实实轴轴的的下下岸岸n上岸上岸)(w0沿正实轴剪开的沿正实轴剪开的w平面平面下岸下岸映射特点映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原把以原点为顶点的角

3、形域映射成以原点为顶点的角形域点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的但张角变成为原来的 n 倍倍. 4arg0 映射成单位圆映射成单位圆求把角形域求把角形域 z . 1的一个映射的一个映射 w0)(z)4 ?0)(w?如果要把角形域映射成角形域，常利用幂级数如果要把角形域映射成角形域，常利用幂级数.例例1 1解解4z iiw izizw 440)(z)4 0)(w0)( 因此所求映射为因此所求映射为:2C1C 0)(z 21所所围围成成的的交交角角为为与与求求把把下下图图中中由由圆圆弧弧CC arg 00的一的一的月牙域映射成角形域的月牙域映射成角形域 z个映射个映射.0)(w 0 ? ?例例

4、2 20)( 解解i 2C1C 0)(z1 , 21iiCC 的的交交点点为为与与, 0 iz, izi实现此步的映射是分式线性函数实现此步的映射是分式线性函数: . 为为待待定定的的复复常常数数其其中中kizizk izizk 1 z此映射将此映射将, 1 , 使使取取ik . 1平平面面上上的的正正实实轴轴则则 C.arg0 ,根据保角性根据保角性:月牙域被映射成角形域月牙域被映射成角形域0)( i 2C1C 0)(z1i izizk .11ikiik i0)( i 2C1C 0)(z1i izizi .0)(w 0 0 逆时针旋转逆时针旋转 0iew 因此所求映射为因此所求映射为: iz

5、iziewi0 izizei)2(0 B D.)(ihaC a )Im(0 ,)Re( 的的上上求求把把具具有有割割痕痕hzaz .的一个映射的一个映射半平面映射成上半平面半平面映射成上半平面分析分析: 关键点是将垂直于关键点是将垂直于x轴的割痕的两侧跟轴的割痕的两侧跟x轴轴之间的夹角展平之间的夹角展平. 2zw 映映射射可可利利用用0)(z0)(w? ?例例3 3解解 如下图如下图:0)(zB D.)(ihaC aazz 10)(1zB D.ihC212zz 0)(2zBD.C2h 0)(3zBD.C2h223hzz 0)(zB D.)(ihaC a0)(3zBD.C2h0)(4zBDCh

6、.h azw 40)(wBDCha .ha .34zzahazw 22)(解解 如下图如下图:二、指数函数二、指数函数zew )( zew因因为为, , iewiyxz 设设 , , yex 那末那末平面平面z平平面面wzew wzln , 0 ze.的共形映射的共形映射平面上平面上所构成的映射是一个全所构成的映射是一个全所以由所以由zew 常数常数直线直线 x常常数数圆圆周周 0)(z0)(w1)常数常数直线直线 y 常常数数射射线线 0)(z0)(w2) 0)(z0)(z)(w00)(w特殊地特殊地:az )Im(0 )3 带形域带形域)20( aaw arg0 角角形形域域aii 2?

7、?映射特点映射特点: )Im(0 映射成映射成把水平的带形域把水平的带形域az .arg0aw 角形域角形域如果要把带形域映射成角形域如果要把带形域映射成角形域, , 常利用指数函数常利用指数函数. . )Im(0 映映射射成成单单位位圆圆求求把把带带形形域域 z1 . w 的一个映射解解 )Im(0z 0)Im( 上上半半平平面面1w ze iiw ieiewzz 例例4 4i ab . 0)Im(的一个映射w解解 0)(z0)( 0)(w)(azabi ew ? ?)(azabiew )Re( 映射成上半平面求把带形域bza例例5 5三、小结与思考三、小结与思考 本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特点点, 将分式线性映射与初等函数相结合将分式线性映射与初等函数相结合, 求一些求一些边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的共形映射问题是本章的难点共形映射问题是本章的难点. 思考题思考题 . 0)Im( )Im( . 2的一个映射映射成下半平面求把带形域wbza . 0)Im( )Im( . 1的一