2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第1讲函数及其表示

1、第 1 讲 函数及其表示一、知识梳理1 函数与映射的概念函数映射两集合 A, B设 A, B 是两个非空的数集设 A, B 是两个非空的集合对应关系 f:ATB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个兀素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f: ATB 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数称对应 f:ATB 为从集合 A 到集合 B的一个映射记法y= f(x)(x A)对应 f：ATB 是一个映射2函数的有关概念(1) 函数的定义域、

2、值域在函数 y= f(x), x A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.(2) 函数的三要素： 定义域、值域和对应关系.(3) 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表 _注意函数图象的特征：与 x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域

3、是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.二、习题改编1.（必修 1P23 练习 T2 改编）下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是（）答案：C2.（必修 1P18 例 2 改编）下列哪个函数与 y = x 相等（）C. y = /x2D. y=（扳）3答案：Dy=xB. y= 2log2x、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)对于函数 f:ATB，其值域是集合 B.()函数 f(x)= x2 2x 与 g(t) = t2 2t 是同一函数.()(3) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.()(4) 函数 f(x)的图象与直线 x= 1 最多有一个交

4、点.()(5) 分段函数是由两个或几个函数组成的.()答案：(1)X(2)V(3)X(4)V(5)X二、易错纠偏常见误区(1)对函数概念理解不透彻；(2)解分段函数不等式忽视范围.1.下列函数中，与函数y= x+ 1 是相等函数的是( )A.y=(px+1)2B.y=3,x3+1x2C. y = + 1D. y= . x2+ 1x解析：选 B.对于 A.函数 y= (“ x+ 1)2的定义域为x|x 1,与函数 y= x+ 1 的定义域x2不同，不是相等函数；对于 B定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于 C.函数 y= +x1 的定义域为X|XM0,与函数 y= x+ 1 的定义域不同，不

5、是相等函数；对于 D ,定义域相 同，但对应关系不同，不是相等函数.|x|, x 1 的自变量 x 的取值范围为.3x 5, x 1,解析：当 x 1 或 XW 1.所以 XW 1；当 x 1 时，3x 5 1,所以 x 2.所以 x2;所以 x 的取值范围为(一3 1U2 ,).答案：( 3, 1U2,+3)函数的定义域 （多维探究 ）角度一 求函数的定义域(2020 宁鞍山一中一模)函数 f(x)=1+ In(2x+ 1)的定义域为(4 x21c1cA. 2，2B. 2，21c1cC.-2，2D.-2，24 x?0 ,1【解析】要使函数 f(x)有意义，需满足解得x0,21域为，2故选 D

6、.【答案】 D求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求 f(x)的定义域转移法若 y= f(x)的定义域为(a , b),则解不等式ag(x) 0 对 x R 恒成立.当 m= 0 时，1 0 恒成立；m0,当 m 0 时，贝 U2A=m24mw0,解得 0m4.综上可得 00 ,解析：选 B.要使函数有意义,则2x x20,解得 1x0,所以 x|,所以 2 = 1,所以 a = 2.1 _3. (2020 山东安丘质量检测)已知函数 f(x)的定义域为0,2,则函数 g(x)= f 2x + .8 2x的定义域为()A. 0,

7、 3B. 0, 2C. 1 , 2D. 1, 310 2x 0,3,故选 A.函数的解析式(师生共研)2(1)已知 f 1 = lg x,贝 V f(x)的解析式为_.若 f(x)为二次函数且 f(0) = 3, f(x+ 2)-f(x) = 4x+ 2，则 f(x)的解析式为 _ .(3)已知函数 f(x)满足 f( x) + 2f(x)= 2x,则 f(x)的解析式为 _.一 2【解析】(1)(换兀法)令- + 1 = t,由于 x0,x2所以 t1 且 x=,t 12即 f(x)的解析式是 f(x) = lg (x1). x 1(2)(待定系数法)设 f(x)= ax2+ bx+ c(a

8、丰0),又 f(0) = c= 3.所以 f(x) = ax2+ bx+ 3,所以 f(x+ 2) f(x) = a(x+ 2)2+ b(x + 2) + 3 (ax2+ bx+ 3) = 4ax+ 4a+ 2b= 4x+ 2.4a = 4,所以4a + 2b = 2,a=1,所以b = 1,所以所求函数的解析式为f(x)= x2 x+ 3.所以 f(t) = lg2t(3)(解方程组法)因为 2f(x) + f( x)= 2x,将 x 换成x 得 2f( x) + f(x) = -2x,由消去 f( x),得 3f(x)= 6x,所以 f(x) = 2x.2【答案】(1)f(x)= lg(x

9、 1)(2)f(x) = x2 x+ 3(3)f(x)= 2xx 1求函数解析式的 4 种方法1.(一题多解)已知二次函数 f(2x+ 1) = 4x2 6x+ 5,贝 V f(x)=_t 1解析：法一(换元法)：令 2x+ 1 = t(t R),则 x=,t1t 1o所以 f(t) = 4 6 + 5 = t2 5t+ 9(t R),所以 f(x) = x2 5x+ 9(x R).法二(配凑法)：因为 f(2x+ 1)= 4x2 6x+ 5= (2x+ 1)2 10 x+ 4 = (2x+ 1)2 5(2x+ 1) + 9,所以 f(x) = x2 5x+ 9(x R).法三(待定系数法)：

10、因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x)= ax2+ bx+ c(a 工 0),贝 V f(2x+ 1)=a(2x+ 1)2+ b(2x+ 1) + c= 4ax2+ (4a + 2b)x+ a + b+ c.因为 f(2x+ 1) = 4/ 6x+ 5,4a = 4,a= 1,所以 4a + 2b= 6,解得b= 5,a+ b+ c= 5,c= 9 ,所以 f(x) = x2 5x+ 9(x R).答案：x2 5x+ 9(x R)2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+ 1) = 2f(x).若当 0wxw1 时，f(x) = x(1 x),则当一1 xw0 时,f(x)=_1 1

11、 1 解析：因为一 1wxw0,所以 0wX+ 1w1,所以 f(x) = ?f(x+ 1) = 2(x+ 1)1 (x+ 1) = 21X(X + 1).故当1 2,x 2八 1c 7x2则 f(f(1)=()x2+ 2, x 2,1A. 2B. 2C. 4D. 11(2020 山西太原三中模拟)设函数 f(x) = %1(x2)若 f(m)=3，则log2x (0 x2 时，m2- 1= 3,所以 m= 2 或 m= 2(舍);当 0m2 时，Iog2m= 3,所以 m= 8(舍).511所以 m = 2.所以 fqm= f 2 = Iog2 = 1.【答案】(1)C1(1)(2020 合

12、肥一检)已知函数f(x)=分段函数的求值问题的解题思路(1) 求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.(2) 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.角度二分段函数与方程、不等式问题(1)( 一题多解)设 f(x)=x, 0 x 1,aA. 2B. 4C. 6D. 82x, x 0(2)(一题多解)(2018 高考全国卷I)设函数 f(x)=,则满足 f(x+ 1)0取值范围是()A.(-m,-1B.(0,+8)C.(1,0)D.(-m,0)【解析】法一：当 Ovav1 时，a +1 1,所以 f(a)=i；a, f(a+ 1) = 2(a + 1 1) = 2a.由 f(a