第二部分期权定价模型与数值方法

1、参考文献1、 期权、期货和其它衍生产品，John Hull，华夏出版社。2、 期权定价的数学模型和方法，姜礼尚著，高等教育出版社。3、 金融衍生产品定价的数学模型与案例分析，姜礼尚等著，高等教育出版社。4、 金融衍生产品定价数理金融引论，孙建著，中国经济出版社。5、 金融衍生工具中的数学，朱波译，西南财经大学出版社。6、 Numerical methods in finance and economicsa MATLAB-based introduction，Paolo Brandimarte，A JOHN WILEY & SONS,INC.,PUBLICATION7.金融计算教程MATLAB

2、金融工具箱的应用，张树德编著，清华大学出版社。8、 数值分析及其MATLAB实现,任玉杰著，高等教育出版社。9、 数学物理方程讲义，姜礼尚著，高等教育出版社。10、 英汉双向金融词典，田文举主编，上海交通大学出版社。11、偏微分方程数值解法，孙志忠 编著，科学出版社。第三部分 期权定价模型与数值方法 期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推出了

3、在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定、完善与繁荣。一、期权定价基础1.1 期权及其有关概念1期权的定义 期权分为买入期权（Call Option）和卖出期权（Put Option）买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。针对有效期规定不同期权又分为欧式期

4、权（European Option）与美式期权（American Option）欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间可以行使的权利美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。2期权的要素 期权的四个要素：施权价（exercise price或striking price）；施权日（maturing data）；标的资产（underlying asset）；期权费（option premium）对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。3期权的内在价值 买入期权在执行日的价值为 其中， E为施权价

5、， 为标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值为 根据期权的施权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为币内期权（in the money）（、币上期权（at the money）（和币外期权（out of the money）（。.2 买入期权与卖出期权的平价买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在一种价格依赖关系，这种依赖关系就称为买入期权、卖出期权平价（call and put parity）。以欧式股票期权为例，考察一下这种平价关系。设为股票市价，为买入期权价格，为卖出期权价格，为施权价，为施权日股票价格，为距期权日时间， 为利率（常数）。假设投资者现在以价格出售一单位买入期权，以价

6、格购入一单位卖出期权，以价格购入一单位期权的标的股票，以利率借入一笔借期为的现金，金额为 ，以上的权利义务在施权日全部结清，不考虑交易成本和税收，投资者的现金和在施权日现金流量如下表：投资者的现金和在施权日现金流量现 在 实权日 出售买入期权，C 0 购入卖出期权，-P 0购入股票， -S 借入现金， 总计 0 0不管在施权日价格如何变化，该组合的价值为0。由于上述组合为无风险投资组合，期末价值为零。如果假设市场无套利机会，它的期初价值也必然为零，即 即 这就是买入期权和卖出期权平价。同样施权价、同样到期日的买入期权和卖出期权的价格必须符合上式，否则就会出现套利机会。1.3 期权的应用1应用期

7、权进行保值保值是指投资者将自身不愿意承担的风险转让给愿意承担这种风险的投资者的行为。期权工具可以用来防范不利的价格波动产生的风险。（1） 持股购入看跌期权例如：一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股票在未来几个月会下跌，于是就购买其“看跌期权”这样他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票的价格真的下跌，那么投资者就可以事先协定的较高价位售出该股票而获得利润。若股票价格上升 ,期权就变得分文不值，但投资者只是损失了购买期权的少量期权费，却在股票上获利。（2） 买空，购入看涨期权2应用期权增值3. 期权的“或有性”可防范其它金融衍生工具的风险所谓“或有”即是在所期望的情况发生时，行使

8、其对标的物的买权或卖权才有意义。期权的作用一是保险：买者可以一个可能性很大的小损失换取一个可能性很小的大收入，卖者可以一个可能性很大的小收益换取一个可能性很大的小损失；二是转移风险：期权购买者有利则履约，无利则不履约。期权卖者以权利金弥补接受履约的损失，若不需接受履约，则净赚期权费。期权是对标的物的买权或卖权，期权交易是对标的物的买权或卖权进行竞价。期权既然是一种权利，那么就有一种时间价值和内涵价值。“有权不用，过期作废”，是指权利的时间价值。有效期时间越长，权利的时间价值越大。“谁的官大，就听谁的”是指权利的内涵价值。“官位”(标的物价格 )越高，权利的内涵价值越大。从“官位”看，期权的内涵

9、价值与其标的物价格和价值是相关的，但为非线性相关；而时间价值既与有效期时间的长短有关，也与在有效期内竞争状况和获利时机的把握有关。所以期权的定价要用到随机过程和随机微分方程等相当艰深的数学工具，因此非常困难。布莱克斯科尔斯(Black-Scholes) 1971年提出这一期权定价模型 , 1973年在政治经济学报上得以发表他们的研究成果。一个月后, 在美国芝加哥出现第一个期权交易市场。期权交易诞生后 , 许多大证券机构和投资银行都运用 Black-Scholes期权定价模型进行交易操作，该模型在相当大的程度上影响了期权市场的发展。其成功之处在于：第一，提出了风险中性 (即无风险偏好 )概念 ,

10、 且在该模型中剔除了风险偏好的相关参数，大大简化了对金融衍生工具价格的分析；第二 ，创新地提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能 ,创立了新的金融衍生工具标准期权。70年代以后， 随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快，汇率和利率的波动更加频繁，变动幅度也不断加大，风险增加。控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。 Black-Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权，同时，也为将数学应用于经济领域，创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。 Black-Scholes定价模型指出，在一定条件下，人的集合行为满足一定数学规律。这一论断打破了传统的“人的行为无法定量描述”的

11、旧观念。通过数学的定量分析，不仅投资者可更好地控制自身交易的风险，更为管理层进行风险管理、减小整个市场的风险提供了可能。由于布莱克的专业是应用数学和物理，最早从事火箭方面的研究，因此布莱克也被称为是“火箭科学向金融转移的先锋”。斯科尔斯和默顿把经济学原理应用于直接经营操作，堪为“理论联系实际”的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路，也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段。这对整个经济发展显然是有益的。为此，1997年诺贝尔经济学奖授予了哈弗大学的R.Merton教授和斯坦福大学的M.Scholes教授（F.Black已于1995年逝世，未分

12、享到这一殊荣）。二、期权定价方法的理论基础_布朗运动、伊藤引理和Black-Scholes微分方程 期权定价的主要研究工具是随机过程的一个分支随机微分方程。随机微积分起源于马尔可夫过程结构的研究。伊藤在探讨马尔可夫过程的内部结构时，认为布朗运动(又称维纳过程 )是最基本的扩散过程，能够用它来构造出一般的扩散运动。布莱克斯科尔斯考察一类特殊的扩散过程：这里表示股票价格，股票预期收益率 及波动率均为常数 ，代表时间 ,为标准布朗运动：，（标准正态分布）在无交易成本、不分股利的假设下 ,得出欧式看涨期权价格应满足如下微分方程 (为无风险利率 ) ： 利用偏微分方程的理论求出的方程解析解，即著名的布莱

13、克斯科尔斯公式。21 布朗运动股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。布朗运动是马尔柯夫过程的一种特殊形式。布朗运动最早起源于物理学，物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞的结果成为布朗运动。股票价格的变化也是受着很多种因素的影响，所以形象的说，股票价格运动的轨迹类似于布朗运动。定义1 随机过程 如果满足：（1） 随机过程具有正态增量；（2） 随机过程具有独立增量；（3） 是一个连续函数；则称为布朗运动，也称维纳过程。 布朗运动的性质：（1）假设一个小的时间间隔为 为在时间内维纳过程的变化，则， =， ；（2） 划分： ，相互独立则有， 下面几幅图片可以帮助我们理解布朗运动的几何意义

14、。 由于 所以 ； 当 时 ； 通过迭代方法，我们可以产生布朗运动的近似图像 当时，我们通过迭代方法近似的得到了布朗运动的轨迹。可以看出，布朗运动的轨迹确实没有什么规律可言。 .定义 2 设为布朗运动，则称 为一般化的维纳过程。称 为漂移系数（或漂移率）， 为过程的平均波动率。 并且我们有 （1） ， ， ， （2）； 。在现实生活中, 我们用一般化的布朗运动来描述股票价格的变化。影响股票价格变化的因素主要有以下两点：股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短；后者至取决于布朗运动造成的随机波动。所以，股票价格的变化可以看成是两个力共同决定的。如果

15、我们不考虑, 则 ，即。这说明股票价格具有线性增长的性质。如果我们考虑项在内，则有 这说明股票价格 在线性增长的同时，还有随机波动的倾向，下图有助于我们形象的理解这一点。 其中，最上边那条随机波动的曲线代表股票价格，斜向上的直线代表不计随机波动影响的股票价格,下面那条随机波动的曲线代表没有线性增长趋势的股票价格的变动（布朗运动）。由此可见，真实的股票价格是由线性增长和随机波动两种因素共同影响而成。2.2 伊藤引理 定义3 如果过程 可以表示为 其中为布朗运动，称为伊藤（ITO）过程（日本数学家Ito1951年发现）。定理1(伊藤引理)设是由 给出的伊藤过程， 上的二次连续可微函数，则 仍为伊藤

16、过程，并且 。证明：由于是二次可微连续函数，所以由泰勒展开式得： （2.1） 又 ， ；则 （2.2） ；又 ，当时于是，可以看成一个非随机量，并且等于它的数学期望。所以 （2.3） 代入（2.1）式得到： 令，得 将 代入上式，得： ， 证毕。定义4 如果随机过程为布朗运动，称为几何布朗运动。定理2 股票价格服从对数正态分布证明：设为股票的平均收益率，为股票的平均波动率，则由金融学的知识得到： ；其中为布朗运动，（离散形式：）即： 由Ito公式，则满足： 如果, 则： ，代入Ito公式： 于是： ，即： 证毕。可以计算：即， 此式可用于模拟股票在未来某个时间的价格以及未来价格的可能分布。例:

17、 某股票现行的市场价格为40元，已知该股票年收益对数的均值和标准差分别为15% 和30%，要求模拟该股票两个工作日后的可能价格. 按1年为250日算产生产生实际的模拟过程: 把整个时段分成若干个小的时间区间，对每个时间区间递推使用上述模拟式, 得出资产在整个时段内价格的一个走势，由此得出资产在期末的一个价格。多次模拟得出期末价格的一个分布. 也可用Matlab模拟股票所服从的几何布朗的运动路径function SPaths=AssetPaths(S0,mu,sigma,T,NSteps,NRepl) randn(state,0); paths=AssetPaths(40,0.15,0.3,1,

18、250 ,3); plot(1:length(paths),paths(1,:) hold on plot(1:length(paths),paths(2,:) hold on plot(1:length(paths),paths(3,:) 2.3 Black-Scholes 微分方程上个世纪七十年代初期，Fish Black 和 Myron Scholes 取得了一项重大的突破。推导出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必然满足的微分方程，他们运用方程推导出了欧式看涨期权和欧式看跌期权的价值的解析解。该理论的创立极大的推动了期权交易的发展，为此，Scholes 和后来为该方程推广做出重大

19、贡献的 R.C Merton 共同获得了1997年度的诺贝尔经济学奖。1、推导BlackScholes 微分方程用到的基本假设：（1）股票价格服从对数正态分布（服从几何布朗运动）：平均收益和平均波动率为常数；（2）允许使用全部所得卖空衍生证券；（3）没有交易费或税收，所有证券都是高度可分的；（4）在衍生证券的有效期内没有红利支付；（5）不存在无风险的套利机会；（6）证券交易是连续的；（7）无风险利率为常数，且对所有到期日都相同。我们现在来推导BlackScholes 微分方程，假设股票价格遵循几何布朗运动： （2.4）并且假设是某个看涨期权或者其它衍生证券的价格，变量一定是和的某种函数。因此，

20、由伊藤引理知： 写成离散的形式为： （2.5）（2.4）写成离散的形式为： （2.6）易知，方程（2.5），（2.6）遵循相同的伊藤过程, 所以可以选择某种股票和其相应的衍生证券的组合,这样就可以避免因为股价波动带来的风险, 从而获得无风险收益。恰当的证券组合应当是： 也即证券组合持有者每卖空一份衍生证券，再买入数量为份的股票。定义证券组合的价值为，则有 时间后证券组合的价值变化为： 将（2.5）和（2.6）代入，得：只要选择 ，则有= 因为这个方程不再含有随机项，经过时间后证券组合必定是无风险的。然而，该证券组合的瞬时收益率一定同其它短期无风险证券的收益率相同。如果该证券组合的收益率大些，套

21、利者就会卖出无风险证券然后购入证券组合获取无风险收益；如果该证券组合的收益率小些，套利者就会通过卖出该证券组合购买无风险证券来获得无风险收益。所以，得到的结果是： =， 其中为无风险利率 因此有： 化简为： 该方程就是著名的BlackScholes 微分方程。对于欧式看涨期权，其边界条件为（行权日）： 对于欧式看跌其权，其边界条件为（行权日）： 对于欧式期权而言，可以求得BlackScholes 微分方程的解析解。而对于美式期权而言，仅能对到Black-Scholes 微分方程的数值解。 记 为在时刻 ，股票价格为时的欧式看涨期权价格：可以计算出 其中 或者写成： 由期权的平价公式： 和正态分

22、布函数的性质：，欧式看跌期权的价值为： 如果当前时刻，计为 ，则有：其中Black_Scholes 公式的性质:(1) 当 时 (2) 当 时； 。 应当强调的一点是：证券组合并不是永远无风险的，只是对于无限短的时间间隔内，它才是无风险的。当和 变化时， 也将发生变化。因此，为了保持证券组合无风险，有必要连续调整证券组合中衍生证券和股票的比例。2.4 BlackScholes求解方法（仅限欧式期权，以欧式看涨期权为例）1、用风险中性定价方法风险中性定价原理在风险中性世界中，以下两个结论称为风险中性定价原则。(1) 任何可交易的基础金融资产的瞬时期望收益率均为无风险利率，即恒有(2) 任何一种衍

23、生工具当前时刻的价值均等于未来时刻其价值的期望值按无风险利率贴现的现值。风险中性定理表达了资本市场中的如下结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险偏好无关的。将上述对的积分转换成对Q的积分，有如此就得到black-scholes方程如下：2、偏微分方程定价方法（以欧式买入期权为例）BlackScholes方程 初始条件（这里实际上是终值条件）为： 边界条件为： 尽管布莱克-休尔斯方程看上去很像扩散方程，但是它的项数更多，而且不是常系数。为了可以套用傅里叶变换，必须对原方程进行恒等变换。先去掉乘在偏微分项前的

24、和项。令： 根据导数运算法则和复合函数求导法则，布莱克-休尔斯方程变形为：，代入方程整理后得： (2.7)其中 同时初始条件相应地变成： （2.8）再令 （2.9）其中，为待定常数。利用e函数的n阶导数形式不变的性质，求导得 (2.10)我们想同时消去上式中的和项，就必须使得下面的联立方程组： (2.11)成立。注意到是常数，解这个二元方程得： (2.12)这样（2.9）式就变为： (2.13)而方程（2.10）变成了一维齐次热传导方程： (2.14)而初始条件由（2.8）式变为： 经过这种略显复杂的代换，我们就得到了在数学物理方法中的热传导方程。这样就使问题的解决有了一个数百年积累获得的深厚

25、知识基础。根据热传导方程(2.14)的通解式，就有： (2.15)令，得： 由 ，知当 ，有 当 ，有 于是 (2.16)我们先求A：对e的指数进行配方： 所以 (2.17)令 并注意到 ，代入上式就有： (2.18)其中 这是我们所熟知的标准正态分布函数，它给出了正态分布下，变量大于或者小于的概率（注意到对称性），因此： (2.19)其中N（.）是标准正态分布函数： (2.20)且 (2.21)B的解法是类似的，只要把换成即可。因此相应的有： (2.22) (2.23)把上述结论代入（2.16）式，就有： (2.24)然后沿着来得时的路再走一遍，注意到： 这样我们就有： (2.25)其中 M

26、atlab计算欧式期权的价格函数为blsprice调用方式Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数Price %标定资产价格Strike %执行价Rate %无风险利率Time %距离到期日的时间，即期权的存续期（单位：年）Volatility %标定资产的标准差Yield %标定资产的红利率输出参数Call %欧式看涨期权价格Put %欧式看跌期权价格例：在Matlab中执行如下命令： Call,Put=blsprice(42,40 ,0.1 ,6/12 ,0.2 ,0)Call = 4.7594Put =

27、0.80862.5 影响期权价格的因素分析期权价格受到下列5个因素影响：当前价格、执行价格、期权的期限、股票价格方差率、无风险利率。我们以欧式看涨期权为例来分析这5个因素对期权价格的影响。1、德尔塔（Delta）期权德尔塔是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，Delta是期权价格相对于标的资产价格的偏导数例如某个看涨期权值为0.5，表示当股价变化时，期权价格变化为。例如期权价格为10，股票价格为100，某个投资者购买了1份（100股股票期权）该股票看涨期权，投资者购买股股票来对冲风险，这样的投资组合为Delta中性策略。假如股票价格下跌1元，投资于股票的损失为50元，而期权的收

28、益为元。当投资者持有0.5单位的股票，同时卖出1份看涨期权，使组合成为成为为无风险组合。因此称为对冲比率。对于看跌期权， 2、西塔（Theta） , （为期权的续存期）表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。表示随着时间的推移，带来盈利。3、维伽（Vega） 表示方差率对期权价格的影响。因为期权有跌幅保障，值恒为正，表示随着方差率的增加，期权的价格增加。4、珞（Rho） 为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。5、伽玛（Gamma） 表示与标的资产价格变动的关系。6、MATLAB中调用函数方式(1) 德尔塔（Delta）CallDelta, putDelta=bl

29、sdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)例如：股票价格为50，执行价为50，无风险利率为10%，期权存续期为0.25，波动率的标准差伪，存续期内股票无红利，计算该期权的值。在MATLAB中执行命令如下：CallDelta, putDelta=blsdelta(50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallDelta = 0.5955putDelta = -0.4045（2）西塔（Theta）CallTheta,putTheta=blstheta (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) Call

30、Theta, putTheta=blstheta (50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallTheta = -8.4283putTheta = -3.5517(3) 维伽（Vega）Vega=blsvega (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) Vega=blsvega (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Vega = 9.6865(4) 珞（Rho）CallRho, putRho=blsrho (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) CallRho, putRho=blsrho(50,

31、50,0.1,0.25,0.3,0)CallRho = 6.5409putRho = -5.6505(5) 伽玛（Gamma）Gamma=blsgamma (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) Gamma=blsgamma (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Gamma = 0.05172.6 资产对数收益的波动性估计对于欧式期权还需考虑如下几个问题：（1）支付红利（连续支付或离散支付）（2），等（3）随机利率、随机波动率、利率的期限结构问题（4）有交易费用问题（5）标的资产服从跳扩散问题关于美式期权定价公式（自由边界问题）1、美式看跌期权

32、定价的PDE（自由边界问题）， ， 其中：为美式看跌期权的最佳实施边界。2、美式看涨期权定价的PDE（自由边界问题）， ， 3、关于期权的最佳实施边界及性质定理1 设 是支付红利的美式期权的最佳实施边界，则（1）是连续的；（2）（参见期权定价的数学模型和方法（第二版）姜礼尚著）定理2设 是支付红利的美式期权的最佳实施边界，则（1）单调非减，当是一条凸曲线（2）单调非增且有估计式，其中与分别是相应的永久美式看跌与看涨期权的最佳实施边界（有显式表达式）（参见期权定价的数学模型和方法（第二版）姜礼尚著）(画图)4、美式看涨、看跌期权定价关系定理3 设，以及，分别是具有相同期限和相同执行价格支付红利的

33、美式看跌和看涨期权的价格和最佳实施边界，则和其中，是期权的执行价，为无风险利率，为红利率。（参见期权定价的数学模型和方法（第二版）姜礼尚著）三、求解Black-Scholes 微分方程数值方法Black-Scholes期权定价模型是现代期权定价理论的基础，对于欧式期权有解析解。但对于美式期权（特别是美式看跌期权），提前执行，可能会获得更大的收益，于是边界条件是一类自由边界条件（或移动边界条件），一般无法得到解析解，只能用近似解或者数值解。一般采用数值方法（Numerical Procedures）为期权定价，常用的方法有：二叉树方法（Binomial Trees），蒙特卡罗模拟（Monte C

34、arlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。 下面将着重介绍这三种方法及其发展。3.1 二叉树期权定价模型 二叉树期权定价模型是由J.C.Cox1二叉树模型的假设条件有：（1）证券价格遵循几何布朗运动。在二叉树中，假设股价的波动具有独立同分布，且这种分布是二项分布，亦即把期权的有效期分为多个相等的区间，在每一个区间结束时，股价将上浮或下跌一定的量；（2）资本市场是完全有效的，且资产可以无限的细分；（3）市场处于风险中性。2. 二叉树的定价过程 二叉树的定价过程分为两个部分：模拟股票价格的波动和（倒推）计算期权的价格。二叉树模型首先把期权

35、的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种变化：从开始的上升到原来的倍，即到达；下降到原来的倍，即。其中，价格上升的概率假设为，下降的概率假设为 。相应的，期权价值也会有所不同，分别为和。以下以股票期权的定价为例，首先运用单步二叉树为期权定价，一般采用风险中性定价方法。 在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益率都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率，则有 （3.1）假定期初的股价为，则在很短的时间间隔末的股票价格为，于是故的数学期望和方差分别为：，因此，参数, ,的值必须满

36、足这个条件： 即 （3.2）而 化简后得： （3.3）公式（3.2）、（3.3）给出了，和的两个条件。Cox，Ross和Rubinstein所用的的三个常用条件是（不是必须得）取 （3.4） 由公式（3.2）求出概率（风险中性概率）： 代入（3.4）式，得：于是使用Cox，Ross和Rubinstein所用的条件是（不是必须得）取 有取二次方程的根取的Taloy展式的一阶近似（忽略的高阶无穷小）于是得到：，从而期权的价值为： 这就是著名的CRR公式。上面参数的取法不是唯一的。例如：取，由公式（3.2）、（3.3）得到：解之得： （3.5） （3.6）当，式（3.5）、式（3.6）的一阶近似为：

37、 实际上，式（3.5）、式（3.6）还可以取更高阶近似 ， （3.7）称为EQP方法。 以下介绍二叉树方法的一般定价过程。以无收益证券的美式看跌期权为例。将该期权有效期（存续期）划分为N个长度为的小区间，令表示在时间时第j个节点处的美式看跌期权的价值，我们将称为结点（i，j）的期权价值，同时用表示结点（i，j）处的证券价格（在i个时期，证券价格上升了j次）。美式看跌期权在到期日的价值是，因此有：，当时间从变为时，从结点（i，j）移动到结点（i+1，j+1）的概率为，移动到（i+1，j）的概率为。假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：如果考虑提前执行的可能性的话，式中的必须与期权的内在价值比

38、较，由此可得： 按这种倒推法计算，就可以算出初始的期权价值。当时间间隔的划分趋于无穷小时，就可以求得美式看跌期权的准确价值。即对于欧式看跌期权可以推出现在的期权价格 ，其中： 为二项式分布。二叉树图方法的MATLAB算法例：股票价格为50，无风险收益率为10%，期权距离到期日为5个月，股票波动率的标准差为0.4，欧式看跌期权执行价为50，假设将时间离散为5个时间段，利用二叉树模型估计看跌期权的价格。直接用B-S公式计算 Call,Put=blsprice(52,52 ,0.1 ,5/12 ,0.4 ,0)Call = 6.3612Put = 4.2390二叉树调用方式AssetPrice,Op

39、tionValue=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)输入参数Price %股票价格Strike %执行价Rate %无风险利率Time %距离到期日的时间，即期权的存续期（单位：年）Increment %时间的增量Volatility %标定资产的标准差Flag %期权种类，看跌期权Flag=1，看涨期权Flag=0DividendRate %（Optional）红利发放率，默认值为0，如果给出了红利率，Dividend与ExDiv值为0Dividend

40、%（Optional）标的资产价格外的红利金额，除固定红利之外的红利ExDiv %（Optional）标的资产的除息日输出参数Price %二叉树每个节点标的资产价格Option %二叉树每个节点标的期权价格在MATLAB中执行如下命令：AssetPrice,OptionValue=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)（1）假设没有红利， Price,Value=binprice(52,52,0.1,5/12,1/12,0.4,0,0,0,0)Price =

41、52.0000 58.3648 65.5088 73.5271 82.5269 92.6282 0 46.3293 52.0000 58.3648 65.5088 73.5271 0 0 41.2769 46.3293 52.0000 58.3648 0 0 0 36.7756 41.2769 46.3293 0 0 0 0 32.7651 36.7756 0 0 0 0 0 29.1920Value = 4.6680 2.2490 0.6614 0 0 0 0 7.2381 3.9220 1.3537 0 0 0 0 10.7757 6.6332 2.7707 0 0 0 0 15.2244

42、 10.7231 5.6707 0 0 0 0 19.2349 15.2244 0 0 0 0 0 22.8080（2）在3个半月发放红利2.06元，看跌期权执行价为50元Price,Value=binprice(52,50,0.1,5/12,1/12,0.4,0,0,2.06,3.5)Price = 52.0000 58.1367 65.0226 72.7494 79.3515 89.0642 0 46.5642 52.0336 58.1706 62.9882 70.6980 0 0 41.7231 46.5981 49.9992 56.1192 0 0 0 37.4120 39.6887

43、44.5467 0 0 0 0 31.5044 35.3606 0 0 0 0 0 28.0688Value = 4.4404 2.1627 0.6361 0 0 0 0 6.8611 3.7715 1.3018 0 0 0 0 10.1591 6.3785 2.6645 0 0 0 0 14.2245 10.3113 5.4533 0 0 0 0 18.4956 14.6394 0 0 0 0 0 21.9312（3）美式看跌期权的二叉树计算函数程序：function price = AmPutLattice(S0,K,r,T,sigma,N) price = AmPutLattice (5

44、0,50 ,0.05,5/12,0.4 ,1000)price = 4.67393. 三叉树图定价法另一种树图定价法是三叉树图。在每一个时间间隔内证券价格有三种变化：从起初的上升到原来的倍，保持不变仍为；下降到原来的倍，即。分别为每个结点价格上升、持平、下降的概率。令，则在经过时间后，以概率增加到，或者以概率保持不变，或以概率下降到。由于标的资产服从几何布朗运动，由前面的推导，在风险中性的世界里，有， 其中：于是，我有： 将看成自由变量，解之得：如果忽略的高阶无穷小量后，则有： （3.8）为了计算的稳定性，（即：），则有式 （3.9）单步三叉树图法得到的期权价格为： 三叉树图的计算过程与二叉树

45、图的计算过程相似。可以证明三叉树图方法为外推的显式有限差分法是一致的。4. 控制方差技术其基本原理是：期权A和期权B的性质相似（比如其它条件都相同的欧式期权和美式期权），我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。用代表期权B的真实价值（解析解），代表关于期权A的较优估计值，和代表用同一个二叉树得到的估计值，这时，我们假设用数值方法计算出的期权B的误差应等于数值方法计算出的期权A的误差：，从而得到期权A的较优估计值为：这里即为控制变量，它是第二种期权B的模拟误差，且有如果有，一定有亦即这种方法减少了对期权A的价值估计的方差，我们利用和的信息改进了对期权A的价值估计。因此，当

46、两种衍生证劵的协方差很大时，或者当两种衍生证劵的价格高度相关时，上述关系式是成立的，两种衍生证劵的正相关性越强，估计效率越理想。然而从实际应用的角度看，这种控制变量技术的应用十分有限，因此，下面提出更一般的控制变量技术，其控制变量的形式为：方差为这是关于控制变量系数的二次三项式，只要取 就可以保证达到最小。这种控制变量技术的缺点是需要提前指导协方差的信息，而这一般要靠经验实现。5. 小结 由上述可见，二叉树图模型的基本思想在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成的，用离散的二项式分布模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时二叉树模型与风险中性定价原理一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险利率，资产价格向上运动和向下